北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第1节 9页

第三章 第一节 一、选择题 1．曲线 y＝x3 在点 P 处的切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为( ) A．(－1,1) B．(－1，－1) C．(1,1)或(－1，－1) D．(1，－1) [答案] C [解析] y′＝3x2，∴3x2＝3. ∴x＝±1.当 x＝1 时，y＝1，当 x＝－1 时，y＝－1. 2．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)等于( ) A．－1 B．－2 C．2 D．0 [答案] B [解析] ∵f′(x)＝4ax3＋2bx 为奇函数， ∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 3．(文)(2014·黄石模拟)已知 f(x)＝xlnx，若 f ′(x0)＝2，则 x0＝( ) A．e2 B．e C．ln2 2 D．ln2 [答案] B [解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝lnx＋1， 由 f ′(x0)＝2，即 lnx0＋1＝2，解得 x0＝e. (理)若函数 f(x)＝x2＋bx＋c 的图像的顶点在第二象限，则函数 f ′(x)的图像是( ) [答案] C [解析] 由题意可知 －b 2 ，4c－b2 4 在第二象限 ⇒ －b 2<0 4c－b2 4 >0 ⇒b>0，又 f ′(x)＝2x＋b，故选 C． 4．f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数，若 f(x)，g(x)满足 f′(x)＝g′(x)，则 f(x) 与 g(x)满足( ) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数 [答案] C [解析] 由 f′(x)＝g′(x)，得 f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以 f(x)－g(x) ＝C(C 为常数)． 5．(文)设 f0(x)＝sinx，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则 f2 015(x)等于( ) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx [答案] D [解析] ∵fn(x)＝fn＋4(x)，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－cosx. (理)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数 f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则 f′(0)＝ ( ) A．26 B．29 C．212 D．215 [答案] C [解析] ∵{an}是等比数列，且 a1＝2，a8＝4， ∴a1·a2·a3·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212. ∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)， ∴f′(0)等于 f(x)中 x 的一次项的系数． ∴f′(0)＝a1·a2·a3·…·a8＝212. 6．(文)已知点 P 在曲线 f(x)＝x4－x 上，曲线在点 P 处的切线平行于直线 3x－y＝0，则 点 P 的坐标为( ) A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．(1,0) [答案] D [解析] 由题意知，函数 f(x)＝x4－x 在点 P 处的切线的斜率等于 3，即 f ′(x0)＝4x30－1 ＝3，∴x0＝1，将其代入 f(x)中可得 P(1,0)． (理)若函数 f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( ) A．π 2 B．0 C．钝角 D．锐角 [答案] C [解析] f ′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝ 2exsin(x＋π 4)． f ′(4)＝ 2e4sin(4＋π 4)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角，故选 C． 二、填空题 7．(文)已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f ′(－1)＝4，则 a 的值为________． [答案] 10 3 [解析] f ′(x)＝3ax2＋6x， 又∵f ′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝10 3 . (理)若函数 f(x)＝1 3x3－f ′(－1)·x2＋x＋5，则 f ′(1)＝________. [答案] 6 [解析] ∵f(x)＝1 3x3－f ′(－1)x2＋x＋5， ∴f ′(x)＝x2－2f ′(－1)x＋1， ∴f ′(－1)＝(－1)2－2f ′(－1)(－1)＋1， 解得 f ′(－1)＝－2. ∴f ′(x)＝x2＋4x＋1，∴f ′(1)＝6. 8．(文)(2014·广东高考)曲线 y＝－5ex＋3 在点(0，－2)处的切线方程为________． [答案] 5x＋y＋2＝0 [解析] 本题考查导数的几何意义及直线方程． ∵y′＝－5ex，∴y′|x＝0＝－5，∴k＝－5， ∴切线方程 y＝－5x－2. (理)(2014·广东高考)曲线 y＝e－5x＋2 在点(0,3)处的切线方程为________． [答案] y＝－5x＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义及直线方程求法． ∵y＝e－5x＋2，∴y′＝－5e－5x|x＝0＝－5. ∴k＝－5，又过点(0,3)， ∴切线方程 y－3＝－5x， ∴y＝－5x＋3. 9．(文)函数 f(x)＝lnx x 在点(x0，f(x0))处的切线平行于 x 轴，则 f(x0)＝________. [答案] 1 e [解析] ∵f(x)＝lnx x ，f ′(x)＝1－lnx x2 ，切线斜率 f ′(x0)＝1－lnx0 x20 ＝0，∴x0＝e，∴f(x0) ＝f(e)＝1 e. (理)(2013·江西高考)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝________. [答案] 2 [解析] ∵f(ex)＝x＋ex，∴f(x)＝x＋lnx，f ′(x)＝1＋1 x ，∴f′(1)＝1＋1＝2. 三、解答题 10．已知曲线 y＝1 3x3＋4 3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程． [分析] (1)在点 P 处的切线以点 P 为切点． (2)过点 P 的切线，点 P 不一定是切点，需要设出切点坐标． [解析] (1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2 ＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0. (2)设曲线 y＝1 3x3＋4 3 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A x0，1 3x30＋4 3 ， 则切线的斜率 k＝y′|x＝x0 ＝x20. ∴切线方程为 y－ 1 3x30＋4 3 ＝x20(x－x0)， 即 y＝x20·x－2 3x30＋4 3. ∵点 P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－2 3x30＋4 3 ， 即 x30－3x20＋4＝0.∴x30＋x20－4x20＋4＝0. ∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0. ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求的切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0. 一、选择题 1．(文)若曲线 y＝x－1 2 在点(a，a－1 2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18， 则 a＝( ) A．64 B．32 C．16 D．8 [答案] A [解析] 求导得 y′＝－1 2x－3 2(x>0)，所以曲线 y＝x－1 2 在点(a，a－1 2)处的切线 l 的斜率 k＝y′|x＝a＝－1 2a－3 2 ，由点斜式，得切线 l 的方程为 y－a－1 2 ＝－1 2a－3 2(x－a)，易求得直线 l 与 x 轴，y 轴的截距分别为 3a，3 2a－1 2 ，所以直线 l 与两个坐标轴围成的三角形面积 S＝ 1 2 ×3a×3 2a－1 2 ＝9 4a1 2 ＝18，解得 a＝64. (理)设函数 f(x)＝sinθ 3 x3＋ 3cosθ 2 x2＋tanθ，其中θ∈ 0，5π 12 ，则导数 f ′(1)的取值范围为 ( ) A．[－2,2] B．[ 2， 3] C．[ 3，2] D．[ 2，2] [答案] D [解析] ∵f ′(x)＝sinθ·x2＋ 3cosθ·x， ∴f ′(1)＝sinθ＋ 3cosθ＝2sin θ＋π 3 . ∵θ∈ 0，5π 12 ，∴θ＋π 3 ∈ π 3 ，3π 4 . ∴sin θ＋π 3 ∈ 2 2 ，1 ， ∴f ′(1)∈[ 2，2]，故选 D． 2．(文)(2015·南昌质检)若函数 f(x)＝excosx，则此函数图像在点(1，f(1))处的切线的倾斜 角为( ) A．0 B．锐角 C．直角 D．钝角 [答案] D [解析] 由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)． ∴f′(1)＝e(cos1－sin1)． ∵π 2>1>π 4. 而由正、余弦函数性质可得 cos1