湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020届高三下学期押题考试数学（文）试题 Word版含解析 26页

- 1 - 华中师范大学第一附属中学 2020 年高考押题考试 文科数学 一、选择题 1.若集合  2 ,A y y x x R   ，  2,B x x x R   ，则 A B  （ ） A.  2 2x x   B.  0 2x x  C.  0x x  D.  【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出集合 A 和集合 B ,再求交集即可. 【详解】解:    2 , 0A y y x x R y y     ,    2, 2 2B x x x R x       , A B   0 2x x  故选:B 【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题. 2.已知复数 z 满足     1 3i 1 i 3 iz    ，则 z 的共轭复数为（ ） A. 1 i  B. 1 i C. 1 i  D. 1 i 【答案】A 【解析】 【分析】 转化     1 3i 1 i 3 iz    为   1 i 3 i 1 3iz    ，再利用复数的乘除法运算计算即可. 【详解】解：由题知          1 i 3 i 2 4 1 32 4 10 10= = = 11 3i 1 3 1 3 1 3 10 i ii iz ii i i             ， 所以 z 的共轭复数为 1 i  . 故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，共轭复数的概念，是考查数学运算能力，是基础题. 3.已知 3 2a  ， 1 2 1log 3b  ， 1 31 3c      ，则（ ） - 2 - A. b a c  B. c a b  C. c b a  D. a b c  【答案】A 【解析】 【分析】 先比较和 0，1 的大小，易比较出 c 最小， ,a b 再进行同底对数变形比较真数的大小即可. 【详解】由已知可得： 3 2 1 2 3 1log2 2a       ， 1 2 11 log 3b  ， 1 310 3 1c        只需比较 3 21 2      和 1 3 的大小即可，同时平方 3 21 1 2 3           ，所以 a b 所以 c a b  故选：A 【点睛】此题考查指对数比较大小，一般先和 0，1 比较缩小比较范围，再同底变化或者通过 图像判断等，属于较易题目. 4.函数    2 3cos 2 cos x x f x x x          的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简函数表达式得   2 sin cos x xf x x x   ，然后利用特殊值法和排除法得到答案. - 3 - 【详解】解：    2 2 3cos sin2 cos cos x x x xf x x x x x            ， xR ，   2 2 sin sin ( )cos cos x x x xf x f xx x x x          ，  ( )f x 为奇函数，排除 A 选项，  当 2x  时， 2 2 1 2 42( ) 12 4 f          ，选项 B ,C 排除， 故选： D . 【点睛】此类题目多采用特殊值法，结合奇偶性、单调性得出答案，选特殊值时应该选具有 区分度的特殊值和好计算的特殊值. 5.本周日下午 1 点至 6 点学校游泳馆照常开放，甲、乙两人计划前去游泳，其中甲连续游泳 2 小时，乙连续游泳 3 小时．假设这两人各自随机到达游泳馆，则下午 5 点钟时甲、乙两人都 在游泳馆游泳的概率是（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 8 【答案】C 【解析】 【分析】 设出甲乙到达的时刻，求出满足条件的不等式组，作出对应的平面区域，利用几何概型的概 率公式即可得到结论． 【详解】解; 据题意，甲、乙应分别在下午 4 点、3 点之前到达图书馆,设甲、乙到达图书馆 的时间分别为 x ， y ，则应满足 1 4 1 3 x y      ，如图，所对应的矩形 ABCD 区域的面积为6，下 午 5 钟点时，甲、乙两人都在自习，则应满足 3 4 2 3 x y      ，所对应的正方形CEFG 区域的面 积为1，故 1 6P  . - 4 - 故选：C. 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键． 6.若平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， 6a  ，   2 3 72a b a b       ，则向量 b 的模为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量数量积公式，计算即可. 【详解】解：     2 22 22 3 6 cos60 6 72a b a b a a b b a a b b                       ， 又因为 6a  ，所以 2 36 6 cos60 6 72b b      整理得： 2 2 36=0b b   ，解得： =4b  或 9 2b   （舍），故 =4b  . 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积，是基础题. 7.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国， 快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是 2015 年—2019 年，我国对快递行业发展的 统计图.下面描述错误的是（ ） - 5 - A. 从 2015 到 2019 年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势 B. 2016 年，快递业务量增长速度最快 C. 从 2016 到 2019 年，快递业务量增长速度连续上升 D. 从 2016 到 2019 年，快递业务量增长速度逐年放缓 【答案】C 【解析】 【分析】 本题首先可以结合图像判断出 A 正确，然后求出从 2016 到 2019 年每一年的快递业务量增长 率，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，A 正确， 2016 年，快递业务量增长率为 312.8 206.7 100 51206.7 - 椿 ％ ％； 2017 年，快递业务量增长率为 400.6 312.8 100 28312.8 - 椿 ％ ％； 2018 年，快递业务量增长率为 507.1 400.6 100 27400.6 - 椿 ％ ％； 2019 年，快递业务量增长率为 635.2 507.1 100 25507.1 - 椿 ％ ％； 故 2016 年的快递业务量增长速度最快，B 正确， 从 2016 到 2019 年，快递业务量增长速度逐年放缓，C 错误，D 正确， 故选：C. 【点睛】本题主要考查学生对增长率的理解，能否从题意中找出需要的信息是解决本题的关 键，考查计算能力，是简单题. 8.在锐角 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C   ， cos 3sin 2B B  ，则 a c 的取值范围是（ ） - 6 - A. 3 , 32      B. 3 , 32      C. 3 , 32       D. 3 , 32      【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简 cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C   求出 b ，由 cos 3sin 2B B  结合 2 2sin cos 1B B  ，求得sin ,cosB B ，从而求出 B 的值，再由正 弦定理将 ,a c 结合 ,A C 关系，转化为C （或 A ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用 三角恒等变换求出范围. 【详解】由 cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C   可得： cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B C bc b C    sin 2 3sin sin 3sin B C A b C C   ，∴ 3 2b  . 1 3cos 3sin 2 cos sin2 2B B B B        2sin 26B       ， 2 6 6 3B     ∴ 6 2B    ， 3B  ， 1sin b B  ， ∴ 2 3A C   ，又 20 3 2C A     ， 0 2A   ，∴ 6 2A   ， 2sin sin sin sin 3a c A C A A         3 3sin cos 3sin2 2 6A A A        ， ∵ 6 2A   ，∴ 2 3 6 3A     ， - 7 - ∴ 3 3sin 32 6A       . 故选 B. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质 的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题. 9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中《商功》有如下问题：“今有委粟 平地，下周一十二丈，高两丈．问积及为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上， 它底圆周长为 12 丈，高为 2 丈，问它的体积和堆放的粟各为多少？”如图所示，主人欲卖掉 该堆粟，已知圆周率约为 3，一斛等于 2700 立方寸，一斛粟米卖 540 钱，一两银子 1000 钱， 则主人欲卖得银子（单位换算：1 立方丈= 610 立方寸）（ ） A. 800 两 B. 1600 两 C. 2400 两 D. 3200 两 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算它的体积，在根据题意计算即可. 【详解】解：由底圆周长为 12 丈，圆周率约为 3 得底面半径为： 2r = 丈，该堆粟的体积为： 21 1 83 3V Sh r h      立方丈，故共有 68 10 立方寸， 故主人欲卖得银子为： 68 10 2700 540 1000=1600    两. 故选：B. 【点睛】本题考查空间几何体的体积的计算，考查数学文化的相关，是中档题. 10.设 A ， B 为双曲线   2 2 2 2 0x y a b     同一条渐近线上的两个不同的点，若向量  0,2n  ， 3AB  且 1AB n n       ，则双曲线的离心率为（ ） - 8 - A. 2 或 3 2 4 B. 3 或 3 2 4 C. 2 5 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得 1 1cos , 3 AB n AB nAB n nAB n AB               ， ∴ 2 2sin , 3AB n   ． ①当双曲线的焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 by xa   ，即 0bx ay  ， ∴点（0,2）到渐近线的距离为 2 2 2 4 2sin , 3 ad n AB n a b      ， 整理得 2 2 1 8 b a  ， ∴ 2 2 1 3 21 1 8 4 c be a a       ． ②当双曲线的焦点在 y 轴上时，其渐近线方程为 0ax by  ， ∴点（0,2）到渐近线的距离为 2 2 2 4 2sin , 3 bd n AB n a b       ， 整理得 2 2 8b a  ， ∴ 2 21 1 8 3c be a a       ． 综上双曲线的离心率为 3 2 4 或 3．选 B． 点睛： （1）解答本题时要读懂题意，结合 1AB n n       可得向量 AB 与 n 夹角的正弦值，进而得到点 （0,2）到渐近线的距离，这是解题的突破口．然后再根据点到直线的距离公式得到 - 9 - 2 2 2 4 2 3 b a b   ，变形后根据定义可得双曲线的离心率． （2）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 , ,a b c 的方 程或不等式，利用 2 2 2b c a  和 ce a  转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式 求得离心率的值或取值范围． 11.已知  f x 的定义城为 0,  ，  f x 为 ( )f x 的导函数，且满足    f x xf x  ，则不 等式      22 2 4f x x f x    的解集是（ ） A.  0,3 B.  2,3 C.  3, D.  2, 【答案】C 【解析】 【分析】 先由     0f x xf x  坐标结构特点想到构造函数  y xf x 并得到其单调性，再对      22 2 4f x x f x    两边同乘 2x  ，得到       2 22 2 4 4x f x x f x     ， 结合  y xf x 单调性可得不等式 22 4x x   ，解出答案. 【详解】解：构造函数  y xf x 则     0y f x xf x   所以  y xf x 在 0,  上单调递减 又因为      22 2 4f x x f x    所以        2 22 2 4 4x f x x f x     所以 22 4x x   解得 3x  或 2x   （舍） 所以不等式      21 1 1f x x f x    的解集是 3, 故选:C 【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论， 构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问 - 10 - 题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题， 常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也 是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换 不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 12.将函数 ( ) cosf x x 的图象先向右平移 5 6  个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为 原来的 1  ( 0) 倍，纵坐标不变，得到函数 ( )g x 的图象，若函数 ( )g x 在 3( , )2 2   上没有 零点，则 的取值范围是（ ） A. 2 2 8(0, ] [ , ]9 3 9 B. 2(0, ]9 C. 2 8(0, ] [ ,1]9 9 D. (0,1] 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，根据定义域求出 5 6x   的 范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数 ( ) cosf x x 的图象先向右平移 5 6  个单位长度， 可得 5cos 6y x      的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的 1  ( 0) 倍(纵坐标不变)， 得到函数 5( ) cos 6g x x      的图象， ∴周期 2T   ， 若函数 ( )g x 在 3( , )2 2   上没有零点， ∴ 5 5 3 5 2 6 6 2 6x         ， ∴ 3 5 5 2 6 2 6 2 T                    ， 2 1  ，解得0 1  ， - 11 - 又 5 2 2 6 3 5 2 2 6 k k               ，解得 3 4 1 2 3 2 3k     ， 当 k=0 时，解 2 8 3 9   ， 当 k=-1 时， 0 1  ，可得 20 9   ，   2 2 8(0, ] [ , ]9 3 9 . 故答案为：A. 【点睛】本题考查函数 y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结 合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 二、填空题 13.已知实数 x ， y 满足约束条件 0 1 0 1 0 y x x y y          ，则 3 1z x y   的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数过点 A 时， z 取得最大值，求解 即可. 【详解】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分， 联立 1 0 1 0 y x y       ，可得  2, 1A  ， 目标函数可化为 3 1y x z    ， 当目标函数过点 A 时， z 取得最大值， max 3 2 1 1 6z      . 故答案为：6. - 12 - 【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学方法的应用，属于基础题. 14.若数列{an}满足 a1＝2，an+1 1 1 n n a a   ，a2020＝_____. 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 分别求出 2 3 4 5, , ,a a a a ，得到数列 na 是周期为 4 的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】数列 na 满足 1 2a  ， 1 1 1 n n n aa a   ，  1 2 1 1 31 aa a    ，同理可得：  3 3 1 1 1 3 2a      ， 4 1 1 12 1 31 2 a          ， 5 1 13 211 3 a     ， … 数列 na 是周期为 4 的数列， - 13 - 又 2020＝505×4， 2020 4 1 3a a  ， 故答案为： 1 3 . 【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.已知数列的前几项， 写出数列的一个通项公式，常用的方法有： （1）通过观察、分析、联想、比较，发现项与项之间的关系； （2）如果关系不明显，可以将该数列同时加上或减去一个数，或分解等，将规律呈现出来， 便于找出通项公式； （3）正负号间隔的用 1 n 或  11 n 来调整； （4）若项中出现分式，则要分子分母分别找通项，同时要注意分子分母的关系； （5）分别观察奇数项与偶数项的的变化规律，可用分段函数的形式写出通项公式. 15.若 4 2x   ，则函数 32tan 2 tany x x 的最大值为______． 【答案】 16 【解析】 【分析】 先根据二倍角正切公式化简，取倒数转化为关于 2 1 tan x 的一元二次函数，再根据二次函数性 质求最值,即得结果. 【详解】解: , tan 14 2x x    Q 4 3 2 2 2tan 4tan2 tan1 tan 1 tan x xy xx x       . 4 2 1 1 1( )4 tan tan 1 y x x    令 2 1 tant x  ，则 (0,1)t  2 21 1 1 1 1( ) [( ) ]4 4 2 4t t ty       . 当 1 2t  时， 1 y 最小值为 1 16  ， 1 1 0, 1616 yy       . 即 y 的最大值为 16 - 14 - 故答案为： 16 【点睛】本题考查二倍角正切公式、利用二次函数求最值，考查基本分析求解能力，属基础 题. 16.菱形 ABCD 边长为 3， 60BAD   ，将 BCD 沿对角线 BD 翻折使得二面角C BD A  的大小为 120°，已知 A 、 B 、C 、 D 四点在同一球面上，则球的表面积等于______． 【答案】 21 【解析】 【分析】 利用三棱锥外接球球心与底面三角形外心的连线垂直于底面，作出 ABD△ ， BCD 的外心 1O ， 2O ，三棱锥 C ABD 的外接球球心 O ，利用 ABD△ ， BCD 均为等边三角形得到 1 2 1 3O E O E AE  ， 1 2 3AO AE ，由 120AEC   得到 60  AEO ，从而求出 1OO ， 进而求出外接球半径，得出答案. 【详解】如图， E 为 BD 的中点， 1O ， 2O 分别为 ABD△ ， BCD 的外心，O 为三棱锥 C ABD 的外接球 球心，  菱形 ABCD 边长为 3， 60BAD  ，  AEC 为二面角C BD A  的平面角， 故 120AEC   ， 2 2 3 3 2AE CE AB BE    ， 1 2 1 3 3 2O E O E AE   ， 1 2 33AO AE  ， 1 2,△ △OO E OO E 均为直角三角形， 1 2= =90  OO E OO E - 15 - 1 2O E O E ，OE OE 所以 1 2△ △OO E OO E ，所以 = 60   AEO CEO 由 1 1 tan OOAEO O E   ，  1 1 3 3tan tan 602 2     OO O E AEO ，  2 2 2 2 1 1 21 4R AO AO OO    ， 球的表面积为 24 21S R   ， 故答案为： 21 . 【点睛】此题关键是作出图形，找到外接球球心位置，要利用好“外接球球心与底面三角形 外心的连线垂直于底面”这个性质. 三、解答题 （一）必考题 17.在数列 na ， nb 中， 1n na b n   ， 1n nb a   ． （1）证明：数列 3n na b 是等差数列； （2）求数列 3 2 n n n a b    的前 n 项和 nS ． 【答案】（1）证明见解析；（2） 1 12n n nS   ． 【解析】 【分析】 （1）可将 1n nb a   代入 1n na b n   ，计算可得数列  na 的通项公式，然后根据 1n nb a   可得数列 nb 的通项公式，即可计算出数列 3n na b 的通项公式，再根据定义 法可证明数列 3n na b 是等差数列； （2）先根据（1）的结果计算出数列 3 2 n n n a b    的通项公式，然后利用错位相减法可求出前 n - 16 - 项和 nS . 【详解】（1）证明：由题意，将 1n nb a   代入 1n na b n   ， 可得 1 1n na a n     ，即 2 2na n  ， ∴ 2 2n na  ，∴ 21 12 2n n n nb a         ， ∴ 2 33 12 2n n n na b n     ． ∵      1 13 3 1 1 1 1n n n na b a b n n           ， ∴数列 3n na b 是以 1 为公差的等差数列． （2）由（1）知， 3 1 2 2 n n n n a b n  ， 则 2 0 1 1 2 2 2n n nS     ， 2 3 1 1 0 1 1 2 2 2 2n n nS      ， 两式相减， 得 1 2 3 1 1 1 111 1 1 1 1 14 2 12 2 2 2 2 21 2 n n n n n n nS                   1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n n n n n          ， 所以 1 12n n nS   ． 【点睛】本题主要考查数列求通项公式，等差数列的证明，以及运用错位相减法求和的问题， 考查了转化与化归思想、逻辑思维能力和数学运算能力，属于中档题. 18.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， 2 4AB AD  ， 3PD BD AD  ，且 PD  底面 ABCD ． - 17 - （1）证明： BC ⊥平面 PBD ； （2）若Q 为 PC 的中点，求三棱锥 A PBQ 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 【分析】 （1）通过条件各边长之间的关系得 AD BD ,再利用底面 ABCD 为平行四边形可得 BC BD ，再根据 PD  平面 ABCD 求得 PD BC ，即可证明 BC ⊥平面 PBD . （2）利用三棱 A PBQ 的积和三棱锥 A QBC 的积相等，将体积转化即可。 【详解】（1）证明：∵ 2 2 2AD BD AB  ，∴ AD BD ， ∵ //AD BC ，∴ BC BD ．又∵ PD  底面 ABCD ， ∴ PD BC ．∵ PD BD D  ，∴ BC ⊥平面 PBD ． （2）三棱锥 A PBQ 的体积 A PBQV  与三棱锥 A QBC 的体积相等， 而 1 1 1 1 2 2 3 2 3 22 2 3 2A QBC Q ABC P ABCV V V               ． 所以三棱锥 A PBQ 的体积 2A PBQV   ． 【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系，以及等体积公式的应用.涉及几何体，特 别是棱锥的体积计算问题，一般要进行转化，变换顶点后，有时还需要利用等底等高转换， 还可以利用直线上的点为中点或三等分点再进行顶点变换，从而求出几何体的体积. 19.2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体上在线学习，为了研究上学习的情况，某上随机 抽取 100 名学生对于线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为3:2 ，其中男生有 50 人表示对线上教育满意，女生中有 15 名表示对线上教育不满意 （1）完成 2 2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； - 18 - 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 100 （2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 9 名学生，再从这 9 名学生中 抽取 2 名学生，介绍线上学习的经验，求抽取的两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率． 参考公式：附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，没有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2） 1 2 ． 【解析】 【分析】 （1）根据男女生的人数之比为 3：2，以及总人数 100 人，可求出男女生的人数，即可完成 2 2 列联表，并根据独立性检验的基本思想，求出 2K 的观测值，对照临界值表，即可判断是否有 把握. （2）利用分层抽样可得，男生 6 人，女生 3 人，列出抽取 2 人的所有基本事件和恰好抽取到 一名男生和一名女生的情况，由古典概型即可求出概率. 【详解】（1）列联表如下： 满意 不满意 总计 - 19 - 男生 50 10 60 女生 25 15 40 合计 75 25 100  2 2 100 50 15 10 25 100 250000 50 5.556 6.63560 40 75 25 2400 75 25 9K             所以没有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”． （2）由题知，从对线上教育满意的 75 人中，分层抽样抽取 9 人， 则 9 人中，男生人数为： 950 675   人，设 1A ， 2A ， 3A ， 4A ， 5A ， 6A ， 女生人数为： 925 375   人，设为 1B ， 2B ， 3B ，则 9 人中再抽取 2 人，有以下情况： 1 2A A ， 1 3A A ， 41A A ， 1 5A A ， 1 6A A ， 2 3A A ， 2 4A A ， 2 5A A ， 2 6A A ， 3 4A A ， 3 5A A ， 3 6A A ， 4 5A A ， 4 6A A ， 5 6A A ， 1 1A B ， 1 2A B ， 1 3A B ， 2 1A B ， 2 2A B ， 2 3A B ， 3 1A B ， 3 2A B ， 3 3A B ， 4 1A B ， 4 2A B ， 4 3A B ， 5 1A B ， 5 2A B ， 5 3A B ， 6 1A B ， 6 2A B ， 6 3A B ， 1 2B B ， 1 3B B ， 2 3B B ，共有 36 种，其中恰好抽取到一名男生和一名女生共有 18 种， 所以 9 人中抽取 2 人，抽到一名男生和一名女生的概率为： 18 3 1 26p   ． 【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想的初步运用、分层抽样和古典概型，考查了数学 运算能力、数据分析能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 20.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yM a ba b     经过点  0, 2A  ，离心率为 3 3 （1）求椭圆 M 的方程； （2）经过点  0,1E 且斜率存在的直线l 交椭圆于 Q 、 N 两点，点 B 与点 Q 关于坐标原点对 称．连接 AB ， AN ．是否存在实数  ，使得对任意直线l ，都有 AN ABk k 成立？若存在， 求出  的值；若不存在，请说明理由． - 20 - 【答案】（1） 2 2 16 4 x y  ；（2） 3  ． 【解析】 【分析】 （1）由题意可知 2b  ，根据离心率和 , ,a b c 的等量关系可求得 ,a c ，从而确定椭圆方程. （2）设直线l 方程为 1y kx  ，直线l 与椭圆联立，设  1 1,Q x y ，  2 2,N x y ，  1 1,B x y  ， 利用韦达定理和斜率公式计算可得 AQ ANk k 和 AQ ABk k ，从而可得所求  值. 【详解】（1）由题意可知 2b  ， 3 3 ce a   ， 又 2 2 2a c b  ，得 6a  ， 2c  ， 所以椭圆 M 的方程为 2 2 16 4 x y  ． （2）设直线 l 的方程为 1y kx  ， 联立 2 2 1 16 4 y kx x y     ，可得 2 22 3 6 9 0k x kx    ， 设  1 1,Q x y ，  2 2,N x y ，则有 1 2 2 6 2 3 kx x k     ， 1 2 2 9 2 3x x k    ，因为 1 1 2 AQ yk x  ， 2 2 2 AN yk x  ， 所以  2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 3 92 2 AQ AN k x x k x xy yk k x x x x        2 2 22 2 3 2k k k      ，又因为点 B 与点 Q 关于原点对称， 所以  1 1,B x y  ，即 1 1 2 AB yk x    ， 则有 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 4 AQ AB y y yk k x x x         ， 由点Q 在椭圆 2 2 : 16 4 x yC   上，得 2 2 1 1 24 3y x  ， - 21 - 所以 2 3AQ ABk k   ，所以 2 32 3 AQ ANAN AB AQ AB k kk k k k      ， 即 3AN ABk k ，所以存在实数 3  ，使 AN ABk k 成立． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆位置关系和韦达定理以及斜率公式 的应用，考查学生的计算能力，属于中档题. 21.函数   sinxf x e x ax   . （1）若 0x  为  f x 的极值点，求实数 a ； （2）若   1f x  在 0, 上恒成立，求实数 a 的范围. 【答案】（1）-2（2） 2,  【解析】 【分析】 （1）求得函数的导数，根据   00 cos0 0f e a     ，求得 2a   ，验证即可求解； （2）由（1）知  0,x  时，  f x 为增函数，根据 2 0a   和 2 0a   分类讨论，结合 函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数   sinxf x e x ax   ，可得   cosxf x e x a    ， 令   00 cos0 0f e a     ，解得 2a   ， 当 2a   时   2xf x e sinx x   ，   cos 2xf x e x    ， 当 0x  时， 0 1xe  ，   cos 2 0xf x e x     ； 当 0x  时，令     cos 2xg x f x e x    ，   sin 0xg x e x    ， 即  g x 为增函数，     00 cos0 2 0g x g e     ，   0f x  ， 综上 0x  时，   0f x  ； 0x  时，   0f x  ， 2a   时， 0x  为  f x 的极值点. （2）因为   00 sin0 0 1f e a     ，   00 cos0 2f e a a      ； - 22 - 由（1）知  0,x  时，  f x 为增函数， 当 2 0a   ，即 2a   时，    0 2 0f x f a     ，  f x 为增函数，    0 1f x f   ，即   1f x  在 0, 上恒成立 当 2 0a   ，即 2a   时，  0 2 0f a    ， 2 4a  ，  ln 2 0a  因为         ln 2ln 2 cos 2 cos 2 0af a e a a a a            0 0,x   ，使  0 0f x  ， 当  0 ,x x  ，  0 0f x  ，  f x 为增函数； 当  00,x x  0 0f x  ，  f x 为减函数，    0 0 1f x f   ，与   1f x  在 0, 上恒成立相矛盾， 2  a 不成立 综上 2a   时，   1f x  在 0, 上恒成立. 所以，实数 a 的范围是 2,  . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化 与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研 究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可 分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （二）选考题 22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 1 cos sin x t y t       （t 为参数，0    ）， 在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin    ． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点 M 的坐标为 1,0 ，直线l 与曲线C 相交于 A ， B 两点，求 1 1 MA MB  的值． 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ； （2） 4 3 【解析】 - 23 - 【分析】 (1) 由 2 2 12 3 sin    得 2 2 23 sin 12    ，把 2 2 2x y   ， sin y   代入上式即可. (2) 将 1 cos sin x t y t       代入 2 24 12x y  中,得 1 2 2 6cos 3 sint t      ， 1 2 2 9 03 sint t    ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 MA MB t t t t MA MB MA MB t t t t       ， 把 1 2 2 6cos 3 sint t      ， 1 2 2 9 03 sint t    代入上式即可. 【详解】解：（1）曲线 2 2 12 3 sin    ，即 2 2 23 sin 12    ， 由于 2 2 2x y   ， sin y   ， 所以 2 23 4 12x y  ，即 2 2 14 3 x y  ． （2）将 1 cos sin x t y t       代入 2 24 12x y  中， 得 2 23 sin 6 cos 9 0t t     ，  2 236cos 36 3 sin 0      ，设两根分别为 1t ， 2t ，则 1 2 2 6cos 3 sint t      ， 1 2 2 9 03 sint t    ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 MA MB t t t t MA MB MA MB t t t t       ，     2 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 6cos 36 1444 3 sin 3 sin 3 sin t t t t t t                 2 12 3 sin   ． 所以 21 2 1 2 2 12 1 1 43 sin 9 3 3 sin t t MA MB t t         ． 【点睛】考查把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线方程中t 的几何意义求与两根之和、 之积有关的式子的值，中档题. - 24 - 23.已知函数 ( ) | 4| |1 |f x x x    ， xR . （1）解不等式： ( ) 5f x  ； （2）记 ( )f x 的最小值为 M ，若实数 a ，b 满足 2 2a b M  ，试证明： 2 2 1 1 2 2 1 3a b    . 【答案】（1） | 0 5x x  （2）证明见解析 【解析】 【分析】 (1)先将 ( )f x 化为分段函数形式,然后根据 ( ) 5f x „ ,分别解不等式即可; (2)由(1)可得 min( ) 3f x M  ,从而得到 2 2 3a b  ,再利用基本不等式求出 2 2 1 1 2 1a b   的 最小值. 【详解】(1) ( ) | 4| |1 |f x x x    2 5, 4 3,1 4 2 5, 1 x x x x x        „ „ . ( ) 5f x „ , 2 5 5 4 x x    „ 或1 4x„ „ 或 2 5 5 1 x x     „ , 4 5x  „ 或1 4x„ „ 或 0 1x „ , 0 5x „ „ , 不等式的解集为{ | 0 5}x x„ „ ; (2)因为 ( ) | 4| |1 | | ( 4) (1 ) | 3f x x x x x         (当且仅当1 4x  等号成立), 所以 ( )f x 的最小值 3M  ,即 2 2 3a b  , 所以    2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 12 1 2 1 6a ba b a b                2 2 2 2 1 2 12 2 1 6 b a a b          2 2 2 2 1 2 1(2 2 )2 1 6 b a a b       2 3  (当且仅当 2 1a  , 2 2b  等号成立). 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题. - 25 - - 26 -