八年级下数学课件八年级下册数学课件《三角形中的角平分线》 北师大版 (4)_北师大版 16页

1.证明三角形的三条角平分线交于一点。 2.应用角平分线定理解决数学问题。 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的 两边距离相等). A O C B 1 2 P D E 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个 角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上). A O C B 1 2 P D E 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 用尺规作角的平分线. 作法:1.在OA和OB上分别截取 OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于 DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB的平分线. A BO C D E 作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三个内角的角平分 线交于一点．这一点到三角形三边 的距离相等． 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分 线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与 同伴交流． 结论:三角形三个角的平分线相 交于一点. 怎样证明这个 结论呢? 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条 直线的交点在第三条直线上即可。 命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知：如图，设△ABC的角平分线． BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， PE⊥BC，其中D、E、F是垂足 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE 同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上 ∴△ABC的三条角平分线相交于点P． P D E F A B C M N 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 三边的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平 分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). 老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一 这个交点叫做三角形的内心. A B C P MN D E F 挑战自我 随堂练习 如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分 线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. 老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程. E D A BC 1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻 的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的 点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一 边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗? A B C 老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平 分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有 三个。 w 定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. w 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边 距离相等的点,在这个角的平分线上. w 定理:三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等(这个交点 叫做三角形的内心). w 三角形一个内角和与它不相邻的两个外 角的平分线交于一点, 这个的点叫做三 角形的傍心.这样点有三个. 小结 拓展 O C B 1 A 2 P D E 习题1.9 独立作业 w1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分 线. w求证:BD=2CD. 老师期望:你能写出规范的证明过程. A B CD 独立作业 w2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相 交于点F. w求证:点F在∠DAE的平分线上. 老师期望:养成用数学解释生活的习惯. A B C FD E 独立作业 w3.已知:如图,P是∠AOB平分线上 的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别 C,D. w求证: w(1)OC=OD; w(2)OP是CD的垂直平分线. 老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自 己的认知结构中去. B A P D C O 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据. 这是初学证明者谨记和遵循的原则. 下课了!