高一数学必修5课件-1正弦定理 19页

1.1.1 正弦定理 一、正弦定理： 二、可以用正弦定理解决的三角问题： 2 sin sin sin a b c R A B C    ①知两角及一边，求其它的边和角 ②知三角形任意两边及其中一边的对角，求 其它的边和角 回顾 例2、在△ABC中，b= ，c=1，B=60o，解这个三角形.3 sin 1 sin 60 1 sin sin sin 23 b c c BC B C b        解： , 30 , 90 b c B C C C A         故 为锐角 故 2 2 2a b c    正弦定理可解决的第二类问题： 知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角 可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角 20 , 28 , 40 , ( 1 1 ) ABC a cm b cm A cm      例3、在 中，已知 解三角形。 角度精确到 ，边长精确到 .8999.0 20 40sin28sinsin   a AbB解：根据正弦定理，   116,64,1800 BBB 或所以因为 64 180 ( ) 180 (40 64 ) 76 , sin 20sin 76 30( ). sin sin 40 B C A B a Cc cm A                    （1）当 时， 116 180 ( ) 180 (40 116 ) 24 , sin 20sin 24 13( ). sin sin 40 B C A B a Cc cm A                    （2）当 时， 练习：若ΔABC满足下列条件，求角B （1） b＝20，A＝60°，a＝ ; （2） b＝20，A＝60°，a＝ ; （3） b＝20，A＝60°，a＝15. 20 3 10 3 30o 90o 无解 思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值 角B有1解、2解、无解 设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 1.若A是锐角 （1）若a < bsinA，则此时无解； （2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角； （3）若bsinA< a b，则此时只有一解，即角B需取锐角； （2）若a≤b，则此时无解. a BA C b A B C a b 02 45: , , , , , ___________ ABC a x b A x    思考 在 中 若这个三角形有 两解 则 的取值范围是  2 , 2 练习：求分别满足下列条件的三角形的解的个数 （1）a=8，b=16，A=30o; （2）a=2，b=4，A=60o; （3）a=30，b=25，A=150o; （4）b=5，c=3，B=48o; （5）b=18，c=20，B=60o; 一解 无解 一解 一解 判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤： （1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐） （2）判断已知两边a、b的大小关系； （3）判断a与bsinA的大小关系. 二解 例4、在正弦定理中，设 证明k=2R（R为△ABC的外接圆的半径） sin sin sin a b c k A B C    A B Cb O 证明：若△ABC为直角三角形 如图，C=90o，c=2R 2 2 sin sin 90o c Rk R C     若△ABC不是直角三角形 D A B C bO 如图，作直径AD，连结CD，则AD=2R ∠ACD=90o，B=D AD =2 sin sin sin ACD b bk R B D      2k R  正弦定理的推论： sin sin sin a b c A B C   =2R (R为△ABC外接圆半径） 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C    sin ,sin ,sin 2 2 2 a b cA B C R R R     sin : sin : sin : :A B C a b c  （边换角） （角换边） 2 2 sin tan sin tan A A B B  2 2 sin sin cos sin cos sin A A B B A B    解：由正弦定理，得 2 2 tan3 ABC , ABC tan a A b B   例 、在 中，若 试判断 的形状 sin 0 sin 0,A B ， sin cos sin cos sin2 sin2A A B B A B  ，即 0 , 0 + = 2 AB k A B A B     ，∴ ，则 或 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 2 2 2 2 2 2 ( )A k B A k B k Z        或 针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是 2、已知△ABC中，B=30o，C=120o，则a:b:c= 等腰直角三角形 1:1: 3 变式训练 ABC A B C a b c, AB AC= BA BC=1 c= 2.        在 中，角 、 、 的对边分别 为 、 、 若 ， 1 2 6 ABC AB AC ABC       （）判断 的形状； （）若 ，求 的面积 答案：等腰三角形 3 2 小结： 一、正弦定理： 二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它 的边和角（注意判断解的个数） 2 sin sin sin a b c R A B C    其中，R是△ABC的外接圆的半径 分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c， 且∠A≥∠B≥∠C， （1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 上是增函数 ∴ 故由正弦定理可得a≥b≥c （2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角 ∴p-∠A< ，且p-∠A=∠B+∠C>∠B≥∠C ∴ 即 ∴由正弦定理可得a>b≥c 思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大 的角所对的边就越大吗？ sin sin sinA B C  [0, ] 2  2  sin( ) sin sinA B C    sin sin sinA B C  三、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解 或一解（见图示） C CC C A B AAA BB b a bbb a a aa 1B2B a=bsinA 一解 bsinA