【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）9函数及图像1 7页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 一次函数 理解正比例函数，能结合具体 情境了解一次函数的意义;会 画一次函数的图像，理解一次 函数的性质 会根据已知条件确定一次函数解析式 ;会根据一次函数解析式求其图像与 坐标轴的交点坐标；能根据一次函数 图像求二元一次方程组的近似解 能用一次函数解决 实际问题 一、函数的相关概念 1．常量与变量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量． 如在圆的面积公式 2πS R 中， 是常数，是一个常量，而 S随 R的变化而变化，所以 S、 R是变量． 2．自变量、因变量与函数 在某一变化过程中，有两个量，例如 x和 y，对于 x的每一个值， y都有唯一的值与之对应，其中 x是 自变量， y是因变量，此时也称 y是 x的函数． 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 注意： （1）对于每一个给定的 x值， y有一个唯一确定的值与之对应，否则 y就不是 x的函数．例如 2y x 就不是函数，因为当 4x  时， 2y   ，即 y有两个值与 x对应． （2）对于每一个给定的 y值， x可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数 2( 3)y x  中， 2x  时， 1y  ； 4x  时， 1y  ． 二、函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面 考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （1）整式：自变量的取值范围是任意实数． （2）分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数． （3）根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． （4）零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数． 注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值 范围的公共部分． 在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类． 三、函数的表示方法 1．函数的三种表示方法： （1）列表法：通过列表表示函数的方法． （2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如： 30S t ， 2S R ． （3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 2．对函数的关系式（即解析式）的理解： （1）函数关系式是等式．例如 4y x 就是一个函数关系式． 函数与函数图象 2 （2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数． 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如： 2 4y x  中 x是自 变量， y是 x的函数． （3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如： 3 1y x   是表示 y是 x的函数，若写成 1 3 yx   就表示 x是 y的函数．求 y与 x的函数关系时， 必须是只用变量 x的代数式表示 y，得到的等式右边只含 x的代数式． 三、函数的图象 1．函数图象的概念： 对于一个函数，如果把自变量 x和函数 y的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系 内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象． 2．函数图象的画法 （1）列表； （2）描点； （3）连线． 3．函数解析式与函数图象的关系： 由函数图象的定义可知，图象上任意一点  ,P x y 中的 x， y都是解析式方程的一个解．反之，以解析 式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上． 判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式， 这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上． 一、函数的相关概念 【例 1】 分别指出下列关系式中的变量与常量： 球的表面积 2cmS（ ）与球半径 (cm)R 的关系式是 24S R ； 设圆柱的底面半径 ( )R m 不变，圆柱的体积 3( )V m 与圆柱的高 ( )h m 的关系式是 2V R h ． 【巩固】通过阅读理解函数和变量的概念，判断下列变量 y是否是 x的函数： （1） x表示小猪， y表示猪妈妈（亲生妈妈，不包括养母）； （2） x表示“喜羊羊”， y表示“喜羊羊”的好朋友． 【例 2】 判断下列式子中 y是否是 x的函数． （1） 2 2(3 5)y x  （2） 3 15y x （3） 12y x  （4） 8y x  【巩固】判断下列式子中 y是否是 x的函数． （1） 2 2(2 1)y x  （2） 3y x （3） 2y x  （4） 3y x  3 【例 3】 下列图形中的曲线不表示 y是 x的函数的是（ ）． 【巩固】下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ） A B C D 二、实际问题中的函数及其图象 【例 4】 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水， 于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是 还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升， 乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为 x，瓶中水面的高度为 y，下 面能大致表示上面故事情节的图象是（ ） A B C D 【巩固】如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不 着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水，在这 个乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为 x，瓶中水位的高度为 y，下列 图象中最符合故事情景的是（ ） 4 【例 5】 边长为1和 2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大 正方形，设穿过的时间为 t，大正方形内除去小正方形部分的面积为 s（阴影部分），则 s与 t的 大致图象为（ ） A B C D 【巩固】如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 t，蚂蚁 到O点的距离．．为 S，则 S关于 t的函数图象大致为（ ） B A O A． B． C． D． S t S t S t S tO O O O 三、函数自变量的取值范围 【例 6】 函数 2 5y x  自变量的取值范围是 ． 【巩固】函数 32 3 1y x x   的自变量 x的取值范围是 ． 【例 7】 函数 5 2 xy x    自变量的取值范围是 ． 【巩固】在函数 1 2 1 y x   中，自变量 x的取值范围是 ． 【巩固】函数 2 1 4 y x   的自变量 x的取值范围是 ． 5 【巩固】函数 2 11 y x   的自变量 x的取值范围是 ． 【例 8】 函数 2 1y x  中自变量 x的取值范围是（ ） A． 1 2 x ≥ B． 1 2 x≥ C． 1 2 x≤- D． 1 2 x≤ 【巩固】函数 2 3 7 3y x x    的自变量 x的取值范围是 ． 【例 9】 函数 1 1 y x   的自变量 x的取值范围是 ． 【巩固】函数 1 xy x   的自变量 x的取值范围是 ． 【例 10】 函数 3 4 1 xy x    的自变量 x的取值范围是 ． 【巩固】函数 2 4 3 xy x    的自变量 x的取值范围是 ． 【例 11】 根据你的理解写出下列 y与 x的函数关系式，并写出自变量的取值范围（我们称为定义域）． （1） 某人骑车以 6 /m s是速度匀速运动的路程 y与时间 x，解析式： ，定义 域： ； （2）正方形的面积 y与边长 x，解析式： ，定义域： ； 【巩固】写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围． （1）直角三角形中一锐角的度数 y与另一锐角的度数 x之间的函数关系． （2）如果水的流速量是 a m/min（一个定量），那么每分钟的进水量Q（ 3m ）与所选择的水管直 径D（m）之间的函数关系． （3）某种储蓄的月利率是 0.2%，存入100元本金后,则利息（ y元）与所存月数 x之间函数关系． 6 【例 12】 等腰 ABC 周长为10cm，底边 BC长为 cmy ，腰长为 cmx ． （1）写出 y关于 x的函数关系式； （2）求 x的取值范围； （3）求 y的取值范围． 【巩固】等腰三角形的周长为 60，写出它的底边长 y与腰长 x之间的函数关系，并写出自变量的取值 范围？ 【例 13】 某礼堂共有 25排座，第一排有 20个座位，后面每排比前一排多1个座位．求每排座位数 y与 这排的排数 x的函数关系，并写出自变量的取值范围． 【巩固】小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有 50元，从现在起每个月节存12元．请写 出小张的存款 y与从现在开始的月份数 x之间的函数关系式及自变量 x的取值范围． 课后作业 1. 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四 个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y（升）与时间 x（分钟）之间满足某种 函数关系，其函数图象大致为（ ） A B C D 2. 函数 2 2 3 xy x    的自变量 x的取值范围是 ． 7 3. 函数 2 1 1 3 y x   的自变量 x的取值范围是 ． 4. 函数 7 2y x  的自变量 x的取值范围是 ． 5. 函数 2 1 1 xy x     的自变量 x的取值范围是 ． 6. 写出等腰三角形中一底角的度数 y与顶角的度数 x之间的函数关系． 7. 等腰三角形的周长为 20，写出它的底边长 y与腰长 x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． 8. 如图，周长为 24的凸五边形 ABCDE被对角线 BE 分为等腰 ABE 及矩形 BCDE， AE DE ，设 AB的长为 x，CD的长为 y，求 y与 x之间的函数关系式，写出自变量的取值范围． y xx xx DC EB A