高考卷 05高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案（黑龙江、吉林、广西、内蒙古、新疆等地区用） 11页

2005 年高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案 （黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷 1 至 2 页 第Ⅱ卷 3 到 10 页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP  24 RS  如果事件 A、Ｂ相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP  球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV  n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k K n k n nP k C P P   一、选择题 （１）函数 ( ) sin cosf x x x  的最小正周期是 （A） 4  （B） 2  （C） （D） 2 （２）正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， P 、Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 1 1B C 的中点．那么， 正方体的过 P 、Q 、 R 的截面图形是 （A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形 （３）函数 3 2 1( 0)y x x   的反函数是 （A） 3( 1) ( 1)y x x    （B） 3( 1) ( 1)y x x     （C） 3( 1) ( 0)y x x   （D） 3( 1) ( 0)y x x    （４）已知函数 tany x 在 ( , )2 2   内是减函数，则 （A）０＜ ≤１（B）－１≤ ＜０（C） ≥１（D） ≤－１ （５）设 a 、b 、 c 、 d R ，若 a bi c di   为实数，则 （A） 0bc ad  （B） 0bc ad  （C） 0bc ad  （D） 0bc ad  （６）已知双曲线 2 2 16 3 x y  的焦点为 1F 、 2F ，点 M 在双曲线上且 1MF x 轴，则 1F 到 直线 2F M 的距离为 （A） 3 6 5 （B） 5 6 6 （C） 6 5 （D） 5 6 （７）锐角三角形的内角 A 、 B 满足 1tan tansin 2A BA   ，则有 （A）sin 2 cos 0A B  （B）sin 2 cos 0A B  （C）sin 2 sin 0A B  （D）sin 2 sin 0A B  （８）已知点 ( 3,1)A ， (0,0)B ， ( 3,0)C ．设 BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ， 那么有 BC CE  ，其中  等于 （A）２（B） 1 2 （C）－３（D）－ 1 3 （９）已知集合  2 3 28 0M x x x    ，  2 6 0N x x x    ，则 M N 为 （A） 4 2x x    或 3 7x  （B） 4 2x x    或 3 7x  （C） 2x x   或 3x  （D） 2x x   或 3x  （10）点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 (4, 3)v   （即点 P 的运动方向与 v 相同， 且每秒移动的距离为 v 个单位）．设开始时点 P 的坐标为（－１０，１０），则５秒 后点 P 的坐标为 （A）（-2，4）（B）（-30，25）（C）（10，-5）（D）（5，-10） （11）如果 1a ， 2a ，…， 8a 为各项都大于零的等差数列，公差 0d  ，则 （A） 1a 8a  4 5a a （B） 8a 1a  4 5a a （C） 1a + 8a  4a + 5a （D） 1a 8a = 4 5a a （12）将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为 （A） 3 2 6 3  （B）2+ 2 6 3 （C）4+ 2 6 3 （D） 4 3 2 6 3  第Ⅱ卷 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 （13）圆心为(1,2)且与直线 5 12 7 0x y   相切的圆的方程为_____________． （14）设 a 为第四象限的角，若 sin3 13 sin 5 a a  ，则 tan 2a  _____________． （15）在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数 共有_____________个． （16）下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥． ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分 12 分） 设函数 1 1( ) 2 x xf x    ，求使 ( ) 2 2f x  的 x 取值范围． （18） （本小题满分 12 分） 已知 na 是各项均为正数的等差数列， 1lg a 、 2lg a 、 4lg a 成等差数列．又 2 1 n nb a  ， 1,2,3,n  …． （Ⅰ）证明 nb 为等比数列； （Ⅱ）如果无穷等比数列 nb 各项的和 1 3S  ，求数列 na 的首项 1a 和公差 d ． （注：无穷数列各项的和即当 n   时数列前项和的极限） （19）（本小题满分 12 分） 甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，本场比 赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令 为 本场比赛的局数．求 的概率分布和数学期望．（精确到 0.0001） （20）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD 垂直于底面 ABCD，AD=PD，E、F 分别为 CD、PB 的中点． （Ⅰ）求证：EF 垂直于平面 PAB； （Ⅱ）设 AB= 2 BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小． （21）（本小题满分 14 分） P、Q、M、N 四点都在椭圆 12 2 2  yx 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点．已知 PF 与 FQ 共线， MF 与 FN 共线，且 0 MFPF ．求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值． （22）（本小题满分 12 分） 已知 0a ，函数 xeaxxxf )2()( 2  ． （Ⅰ）当 x 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设 f(x)在[-1,1]上是单调函数，求 a 的取值范围． 2005 年高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案 （必修+选修Ⅱ） （黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆） F E A B C D P 参考答案 1-6: CDBBCC 7-12:ACACBC (2)分析：本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力， 通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选 D. (12) 解析一：由题意，四个半径为 1 的小球的球心 1 2 3 4, , ,O O O O ,恰好构成一个棱长为 2 的正四面体，并且各面与正四面体的容器 P ABC 的各对应面的距离都为 1 如图一所示显然 1HO  设 ,N T 分别为 2 3,AB O O 的中点， 在棱长为 2 的正四面体 1 2 3 4O O O O 中， 1 33, 3OT HT  , ∴ 1 2 6 3O H  ，且 1 1sin 3TO H  . 作 1O M PN ，则 1 1O M  ， 由于 1 1O PM TO H   , ∴ 1 1 1 1 1 3sin sin O M O MPO O PM TO H     ∴ 1 1 2 6 2 63 1 43 3PO PO O O HO        故选 C 解析二：由题意，四个半径为 1 的小球的球心 1 2 3 4, , ,O O O O ,恰好构成一个棱长为 2 的 正四面体，并且各面与正四面体的容器 P ABC 的各对应面的距离都为 1 如图二所示, 正四面体 1 2 3 4O O O O 与 P ABC 有共同的外接球球心O 的相似正四面体，其相似比为： 1 2 6 4 3 1 2 6 14 3 OHk OQ      ,所以 1 1 2 6 13 2 6 3 2 64 3( ) 34 3 4 31 2 6 4 3 OOOP k           所以 3 2 6 1 2 6 2 6( ) 3 ( 1) 44 3 4 3 3PQ OP OQ         T O 1 O 4 O 3 O 2 N P A B C O H M 图一 解析三：由题意，四个半径为 1 的小球的球心 1 2 3 4, , ,O O O O ,恰好构成一个棱长为 2 的 正 四 面 体 ， 并 且 各 面 与 正 四 面 体 的 容 器 P ABC 的各对应面的距离都为 1 如图二所 示,正四面体 1 2 3 4O O O O 与 P ABC 有共同的 外接球球心O 的相似正四面体，从而有 1 1 3O P OO HQ OH   , 又 1HQ  , 所以 1 3O P  由于 1 2 6 3O H  , 所以 1 1 2 6 2 61 3 43 3PQ OP OQ O H HQ O P          13. 2 2( 1) ( 2) 4x y    ；14. 3 4  ；15. 192；16. ①，④ (13)分析：本题就是考查点到直线的距离公式，所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线 5x －12y－7=0 的距离： 2 2 5 1 12 2 7 2 5 ( 12) r        ，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容 易得到圆的方程： 2 2 2( 1) ( 2) 2x y    新疆 学案 王新敞 （16）分析：②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形 的三棱锥但不是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高) 相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等。由于在 底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有 4 个：内心(本题的中心)1 个、旁心 3 个。因此 不能保证三棱锥是正三棱锥． 17. 本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力 解：∵f (x)=2|x+1|－|x－1|≥2 2 = 3 22 , 即|x+1|－|x－1|≥ 3 2 当 x≤ －1 时，原不等式化为：－2≥ 3 2 (舍)； 当－11 时, 原不等式化为：2≥ 3 2 , O H P A B C O 4 O 3 O 2 Q O 1 图二 此时,x>1 故原不等式的解集为： 3[ , )4  18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力 ⑴证明：设{an}中首项为 a1，公差为 d. ∵lga1,lga2,lga4 成等差数列 ∴2lga2=lga1·lga4 ∴a22=a1·a4. 即(a1+d)2=a1(a1+3d) ∴d=0 或 d=a1 当 d=0 时, an=a1, bn= 12 1 1 na a  , ∴ 1 1n n b b   ，∴ nb 为等比数列； 当 d=a1 时, an=na1 ,bn= 12 1 1 2n na a  ，∴ 1 1 2 n n b b   ，∴ nb 为等比数列 综上可知 nb 为等比数列 ⑵∵无穷等比数列{bn }各项的和 1 3S  ∴|q|<1, 由⑴知，q= 1 2 , d=a1 . bn= 12 1 1 2n na a  ∴ 1 2 1 1 1 1 2 1 1 11 1 31 2 b a aS q q a        , ∴a1=3 ∴ 1 3 3 a d    19. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题 的能力 解：ξ的所有取值为 3,4,5 P(ξ=3)= 3 3 0 0 0 3 3 3(0.6) (0.4) (0.6) (0.4) 0.28C C      ； P(ξ=4)= 2 2 1 1 1 2 3 3(0.6) (0.4) 0.6 (0.6) (0.4) 0.4 0.3744C C        ； P(ξ=5)= 2 2 2 1 2 2 2 3(0.6) (0.4) 0.6 (0.6) (0.4) 0.4 0.3456C C        ∴ξ的分布列为： ξ 3 4 5 P 0.28 0.3744 0.3456 ∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656 20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想 象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力 解：方法一： ⑴取 PA 中点 G, 连结 FG, DG // // // 1 2 1 2 BF FP FG AB FG DE CE ED DE AB           //DEFG EF DG  四边形 为平行四边形 PD ABCD PAD ABCD AB PADAB AD        平面 平面 平面 平面又 PAB PAD PD AD AG PA DG PAB EF PABPG GA AG PAD EF DG                     平面 平面 平面 平面 平面 ⑵设 AC, BD 交于 O，连结 FO. // 1 2 PF BF FO PD FO ABCDBO OD PD ABCD           平面 平面 设 BC=a, 则 AB= 2 a, ∴PA= 2 a, DG= 2 2 a=EF, ∴PB=2a, AF=a. 设 C 到平面 AEF 的距离为 h. ∵VC－AEF=VF－ACE, ∴ 1 1 1 1 3 2 3 2EF AF h CE AD FO       即 2 2 2 2 2 aa a h a a     ∴ 2 ah  O G F E A B C D P ∴AC 与平面 AEF 所成角的正弦值为 / 2 3 63 h a AC a   . 即 AC 与平面 AEF 所成角为 3arcsin 6 方法二：以 D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系， （1）证明： 设  ,0,0E a ，其中 0a  ，则         1 12 ,0,0 , 0,1,0 , 2 ,1,0 , 0,0,1 , , ,2 2C a A B a P F a     ，    1 10, , , 2 ,1, 1 , 2 ,0,0 , 0,2 2EF PB a AB a EF PB EF PB                ， 0,AB EF AB EF     又 , ,PB PAB AB PAB PB AB B  平面 平面 ， EF PAB  平面 （2）解：由 2 ,AB BC 得 2 2a  ， 可得    2, 1,0 , 2,1, 1AC PB     3cos , 6 AC PBAC PB AC PB           ， 则异面直线 AC，PB 所成的角为 3arccos 6 ， 2 1 1, , , 0,2 2 2AF AF PB AF PB              ， 又 PB EF ，AF 为平面 AEF 内两条相交直线， PB AEF  平面 ， AC 与平面 AEF 所成的角为 3 3arccos arcsin2 6 6        ， 即 AC 与平面 AEF 所成的角为 3arcsin 6 21. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件、两点间的距离、不等 式的性质等基本知识及综合分析能力 解：∵ 0PF MF PF MF       . 即 MN PQ . x F E A B C D P y z 当 MN 或 PQ 中有一条直线垂直于 x 轴时，另一条直线必垂直于 y 轴. 不妨设 MN⊥y 轴，则 PQ⊥x 轴. ∵F(0, 1) ∴MN 的方程为：y=1，PQ 的方程为：x=0 分别代入椭圆 2 2 12 yx   中得： |MN|= 2 , |PQ|=2 2 ∴S 四边形 PMQN= 1 2 |MN|·|PQ|= 1 2 × 2 ×2 2 =2 当 MN,PQ 都不与坐标轴垂直时，设 MN 的方程为 y=kx+1 (k≠0)， 代入椭圆 2 2 12 yx   中得 (k2+2)x2+2kx－1=0, ∴x1+x2= 2 2 2 k k   , x1·x2= 2 1 2k   ∴ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2(1 )| | (1 )[( ) 4 ] (1 )[( ) ]2 2 2 k kMN k x x x x k k k k           同理可得： 2 2 2 2(1 )| | 2 2 kPQ k   ∴S 四边形 PMQN= 1 2 |MN|·|PQ|= 4 2 4 2 2 4 12 2 5 2 k k k k     = 2 4 2 2 2 1 162(1 ) 2(1 )2 5 2 2( 1/ ) 5 9 k k k k k        (当且仅当 2 2 1k k  即 1k   时，取等号). 又 S 四边形 PMQN = 2 4 22(1 ) 22 5 2 k k k    ，∴此时, 16 9 S 四边形 PMQN 2 综上可知：(S 四边形 PMQN )max=2, (S 四边形 PMQN )min=16 9 22. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 解：⑴令 ( )f x =0 即[x2－2(a－1)x－2a]ex=0 ∴x2－2(a－1)x－2a=0 ∵△=[2(a－1)]2+8a=4(a2+1)>0 ∴x1= 21 1a a   , x2= 21 1a a   又∵当 x∈(－∞, 21 1a a   )时， ( )f x >0； 当 x∈( 21 1a a   , 21 1a a   )时， ( )f x <0； N P Q F M o y x 当 x∈( 21 1a a   , +∞)时， ( )f x >0 ∴x1, x2 分别为 f (x)的极大值与极小值点. 又∵ lim ( ) 0x f x  ；当 x   时, ( )f x   . 而 f ( 21 1a a   )= 22 1 12(1 1) a aa e     <0. ∴当 x= 21 1a a   时，f (x)取得最小值 ⑵f (x)在[－1, 1]上单调，则 ( )f x ≥ 0(或≤ 0)在[－1, 1]上恒成立 而 ( )f x =[x2－2(a－1)x－2a]ex, 令 g(x)= x2－2(a－1)x－2a=[x－(a－1)]2－(a2+1). ∴ ( )f x ≥ 0(或≤ 0) 即 g(x) ≥ 0(或≤ 0) 当 g(x) ≥ 0 在[－1, 1]上恒成立时，有 ①当－1≤ a－1 ≤1 即 0≤ a ≤2 时, g(x)min=g(a－1)= －(a2+1) ≥ 0(舍)； ②当 a－1>1 即 a ≥ 2 时, g(x)min=g(1)= 3－4a ≥ 0 ∴a≤ 3 4 (舍). 当 g(x) ≤ 0 在[－1, 1]上恒成立时，有 ①当－1≤ a－1 ≤ 0 即 0≤ a ≤ 1 时, g(x)max=g(1)=3－4a ≤ 0, ∴ 3 4 ≤ a ≤ 1； ②当 0< a－1 ≤ 1 即 1< a ≤ 2 时, g(x)max=g(－1)= －1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2； ③当 1< a－1 即 a > 2 时, g(x)max=g(－1)= －1 ≤ 0, ∴a >2 故 a∈[ 3 4 ,+∞)