【数学】2020届一轮复习人教A版 相似三角形的判定与性质 课时作业 15页

‎2020届一轮复习人教A版 相似三角形的判定与性质 课时作业 ‎ 1、如图，在中：，若，则的长为（ ）‎ A．3 B．4 C．4.5 D．5‎ ‎2、在中，于，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（ ）‎ A． B． C． D． 4、如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，下列结论：①，②,③,④．其中正确的有________．‎ ‎5、若两个相似三角形的周长比为3：4，则它们的三角形面积比是________．‎ ‎6、如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）‎ ‎ 7、如图，已知为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线交于点，垂足为.‎ 证明：.‎ ‎8、如图，在等腰梯形中，，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎9、如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.‎ ‎（1）证明：CD∥AB；‎ ‎（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎10、如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为，四边形的面积为，求的值.‎ ‎11、在中，的平分线交于点，的平分线交于点.‎ 求证：.‎ ‎12、如图，过外一点E作EA,EB,其中A,B为切点，BC为的一条直径，连接CA并延长交BE的延长线于D点.‎ ‎（1）证明：BE=ED ‎（2）若AD=3AC，求的值.‎ ‎13、已知△内接于，是的直径，是边上的高．‎ 求证：．‎ ‎14、已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1‎ ‎（1）证明：AC平分∠BAD；‎ ‎（2）求BC的长．‎ ‎15、已知圆内接中，为上一点，且为正三角形，点为的延长线上一点，为圆的切线.‎ ‎（Ⅰ）求的度数；‎ ‎（Ⅱ）求证：‎ ‎16、如图,四边形是的内接四边形,延长和相交于点,,．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为的直径,且,求的长．‎ ‎17、如图，圆的半径为6，线段与圆相交于点，，，与圆相交于点.‎ ‎（1）求长；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎18、如图所示，为圆的切线，为切点，交圆于两点，的角平分线与和圆分别交于点和．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎19、如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接．若，，求的长．‎ A B D E O C ‎·‎ ‎20、如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．‎ ‎（1）求证：AE=EB；‎ ‎（2）求的值．‎ 参考答案 ‎1、答案：C 因为，所以，又因为，所以，，从而，因而，所以，故选C．‎ 考点：平行线分线段成比例．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的平行线分线段成比例的性质，属于中档题．解题时一定要分析哪两条线段平行，找到线段的比例关系，注意利用不变的作为桥梁，得到的比值，从而利用比例关系解决线段的长，是平行线中常见的解题思路．在这一解题过程中，要注意观察有哪些线段平行，那条是公共边，以便利用其搭桥．‎ ‎2、答案：A 由已知，在中，=,由面积射影定理得：，所以=，故选A．‎ 考点：直角三角形性质．‎ ‎3、答案：C 在三角形中，，‎ 是圆心，，因为，所以，同理可得，故选D．‎ 考点：向量内积运算，圆直径所对的圆周角等于．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查向量数量积和圆的综合性质，属于中档题．根据可知，要求向量数量积必须知道向量的模长和向量的夹角，所以需要进行恰当的转化．本题的突破口就是将转化成，进而得到，再结合圆的性质直径所对的圆周角等于求出最终答案．‎ ‎4、答案：②③‎ 在三角形中，，所以不对，在直角三角形中，,所以,所以，,所以，‎ ‎，故， 而中直角边的比显然不相等，所以三角形不相似，所以答案应填：②③．‎ 考点：三角形相似．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的是直角三角形相似的判定及性质，属于中档题．本题根据条件首先得到相似，利用相似的性质得到，从而，且，从而进一步可证明．在判定三角形相似时，一定要注意找对对应边，并且看其对应边是否成比例．‎ ‎5、答案：‎ 设两个相似三角形对应边长分别为，则，面积比等于相似比的平方，所以它们的三角形面积比是，所以答案应填：．‎ 考点：相似三角形的性质．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的是利用相似三角形的性质，研究三角形的周长和面积比的问题，属于中档题．解题时一定要注意利用对应边长相似比，及合比定理，得到周长比即边长相似比，因而相似三角形的面积比等于相似比的平方，从而求出结果，注意熟记相似三角形的对应边比等于周长比，相似三角形的面积比等于对应边长比的平方．‎ ‎6、答案：‎ 试题分析：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，则可判断点O是的中点，由折叠的性质可得OD=OE=R=2，在Rt△OBD中求出∠OBD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．‎ 试题解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，‎ 则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，‎ ‎∴S弓形BO=S弓形CO，‎ 在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，‎ ‎∴∠OBD=30°，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∴S阴影=S扇形AOC==．‎ 故答案为：．‎ 考点：扇形面积公式．‎ 点评：本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．‎ ‎7、答案：试题分析：由射影定理得，而，因此 试题连接，因为是圆的切线，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，即，‎ 因为为圆的直径，即，‎ 所以即，‎ 考点：射影定理 8、答案：试题分析：（1）根据等腰三角形的性质，，又，所以三角形全等；（2）根据结论，即，可知，只需证明即可．‎ 试题（1）∵四边形是等腰梯形，∴．∵，‎ ‎∴，‎ ‎（2）∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．∴，∴．‎ ‎∴．∴．‎ 考点：1、三角形全等；2、三角形相似． 9、答案：试题分析：（1）借助题设证明同位角与相等即可；（2）借助已知证明四边形的对角与互补即可.‎ 试题（1）因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.‎ 故∠ECD＝∠EBA.‎ 所以CD∥AB.‎ ‎（2）由（1）知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.‎ 连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.‎ 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.‎ 所以∠AFG＋∠GBA＝180°.‎ 故A，B，G，F四点共圆．‎ 考点：①两直线平行的条件及判定；②四点共圆的条件及判定. 10、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）过点作，并交于点，则易根据是的中点，可得，，由全等三角形的性质可将转化为，再由平行线分线段成比例定理即可得到答案；（2）以为底，以为底，则由（1）的结论，我们可以求出两个三角形的底边长之比，及高之比，进而求出的面积，四边形的面积的比值．‎ 试题证明（1）过点作，并交于点，是的中点，，‎ 又，，则,‎ 又是的中点，则,‎ 则.‎ ‎（2）若以为底，以为底，则由(1)知 又由可知其中、分别为和的高 则，则 考点：1、平行线分线段成比例；2、全等三角形的性质；3、三角形的面积． 11、答案：详见解析 试题分析：研究线段比值问题，一般利用三角形相似，因为，，因此，从而，以下转化为证明，这可利用角相等推出.‎ 试题解：因为为的平分线，所以 又因为是的平分线，所以 所以，所以，即 又因为 所以，所以 所以 考点：三角形相似 12、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）连接，得到，可得，又由为的中点，即可证得；（2）设，则，在中，由射影定理得，再在，即可取出的值的值.‎ 试题（1）连接AB,OE,因为EA，EB为圆O的切线，所以OE垂直平分AB 又BC为圆O的直径，所以 又O为BC的中点，故E为BD中点，所以BE=ED ‎（2）设，‎ 在 所以 所以 考点：圆的性质及直角三角形的射影定理. 13、答案：试题分析：证明线段乘积相等，一般构造三角形相似进行证明：由于是的直径，所以△，△为直角三角形，又同弧对应角相等，所以，从而△∽△．因此 试题证明：连结．‎ ‎∵是的直径，∴．‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴△∽△．‎ ‎∴，∴．‎ 考点：三角形相似 14、答案：（1）证明见解析（2）2‎ 试题分析：（1）推导出∠OAC=∠OCA，OC⊥CD，从而AD∥OC，由此能证明AC平分∠BAD．‎ ‎（2）由已知推导出BC=CE，连结CE，推导出△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC，由此能求出BC的长．‎ 证明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，‎ ‎∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，‎ ‎∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA 故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．‎ 解：（2）由（1）得：，∴BC=CE，‎ 连结CE，则∠DCE=∠DAC=∠OAC，‎ ‎∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC ‎∴，‎ 故．‎ 考点：相似三角形的性质． 15、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ 试题分析：对于（Ⅰ）可由与相似，并结合即可求出的度数；对于（Ⅱ）可先证明，再结合为等边三角形，进而可以证明所需结论.‎ 试题证明：（Ⅰ）在与中，‎ 因为为圆的切线，所以，‎ 又公用，所以，‎ 因为为等边三角形，所以，‎ ‎（Ⅱ）因为为圆的切线，所以，‎ 因为为等边三角形，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，即，‎ 因为为等边三角形，所以，‎ 所以.‎ 考点：几何证明. 16、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）由得与相似可得,故可根据求值；（2）先求出,再根据求的长.‎ 试题（1）由,,得与相似．‎ 设,,则有,‎ ‎．‎ ‎∴‎ ‎（2）由题意知,,,∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴,∴．‎ 考点：相似三角形与.圆的性质. 17、答案：（1）9，（2）详见解析 试题分析：（1）由三角形与相似得，解得（2）由，结合等腰三角形性质得，因而根据等量代换得，即 试题解：（1）∵，∴，∴.‎ ‎∵，∴∽，∴，‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎（2）∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 考点：三角形相似，等腰三角形性质 18、答案：（1）详见解析；（2）‎ 试题分析：（1）由已知条件推导出，由此能够证明．（2）由切割线定理求出，由已知条件条件推导出，由此能求出的值．‎ 试题（1）为圆的切线，，又为公共角，‎ ⑵为圆的切线，是过点的割线，‎ 又 又由⑴知，连接，‎ 则 ‎．‎ 考点：相似三角形的判定． 19、答案：‎ 试题分析：由弦切角定理得，从而可得，即，因此可得，即，，再由三角形相似得，解出 试题因为与相切于，所以，‎ 又因为为的直径，所以．‎ 又，所以，所以，所以 又，，所以．‎ 所以，所以，‎ 又，所以．‎ 考点：三角形相似 20、答案：（1）见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）在圆中利用切割线定理得，同理在圆中依据切割线定理得，等量代换可得；（2）连接，有，故直角三角形中，由面积相等求出的长，由射影定理即可求．‎ 试题（1）由以D为圆心，DA为半径作圆，而ABCD为正方形，‎ ‎∴EA为圆D的切线．‎ 依据切割线定理得．另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，‎ 同样依据切割线定理得．故AE=EB．‎ ‎（2）连接BF，∵BC为圆O直径，∴BF⊥EC，‎ 故RT△EBC中，由面积相等可得，所以，‎ 又在RT△BCE中，由射影定理得 ‎．‎ 考点：1.圆的性质；2.切割线定理；2.射影定理． ‎