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- 2021-05-27 发布
课堂过关
第一章 集合与常用逻辑用语
第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)
了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.
① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.
② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.
③ 集合含义中掌握集合的三要素.
④ 不要求证明集合相等关系和包含关系．
1. (必修1P7练习1改编)用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为______________．
答案：{1}
解析：∵ x2－2x＋1＝0，∴ x＝1.故集合为单元素集合{1}．
2. (必修1P10第5题改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个 元素，则实数x的取值不可以是______________．
答案：0和1
解析：由 x2＝x可解得x＝0和1.
3. (必修1P9练习1改编)集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是__________个．
答案：7
解析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，∴ 真子集有7个．
4. (必修1P10练习6改编)设A＝{x|22m－1，即m<2时，B＝，满足BA，即m<2；当m＋1＝2m－1，即m＝2时，B＝{3}，满足BA，即m＝2；当m＋1<2m－1，即m>2时，由BA，得即22时，C＝{x|0≤x≤a2}，而CB，则2a＋3≥a2，即 2y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，有4个；当y＝2时，x可取3，4，5，有3个；当y＝3时，x可取4，5，有2个；当y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10个．
1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：AB，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况．
3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
请使用课时训练(A)第1课时(见活页)．
第2课时 集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)
理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．
① 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.
② 会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.
③ 会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．
1. (必修1P13练习1改编)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝__________．
答案：{－1，0}
解析：∵ －1，0∈B，1B，∴ A∩B＝{－1，0}．
2. (必修1P13练习3题改编)已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝__________．
答案：{－3，0，2}
解析：∵ A＝{－3，2}，B＝{0，2}，∴ A∪B＝{－3，0，2}．
3. (必修1P9练习第2题改编)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝__________．
答案：{3，5，6}
解析：∁UM＝{3，5，6}．
4. (必修1P10习题第4题改编)已知集合A＝{0，2，4，6}，∁UA＝{－1，1，－3，3}，∁UB＝{－1，0，2}，则集合B＝__________．
答案：{1，4，6，－3，3}
解析：∵ ∁UA＝{－1，1，－3，3}，∴ U＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁UB＝{－1，0，2}，∴ B＝{1，4，6，－3，3}．
5. (必修1P14习题第14题改编)设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有__________个．
答案：3
解析：全集U＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}，∴ ∁U(A∩B)＝{3，5，8}，∴ ∁U(A∩B)中的元素共有3个．
1. 集合的运算
(1) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(2) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3) 全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．
(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集(或余集)，记作∁SA，即∁SA＝{x|x∈S，但xA}．
2. 常用运算性质及一些重要结论
(1) A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A；
(2) A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A；
(3) A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U；
(4) A∩B＝AAB，A∪B＝ABA；
(5) ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
[备课札记]
1 集合的运算
1 已知A＝，B＝{y|y＝x2＋x＋1，x∈R}．
(1) 求A，B；
(2) 求A∪B，A∩∁RB.
解：(1) 由≥1，得－1＝≥0，即x(x－1)≤0且x≠0，解得05}，当a为何值时，
(1) A∩B≠；
(2) A∩B＝A；
(3) A∪(∁RB)＝∁RB.
解：(1) A∩B≠，∵ 集合A的区间长度为3，∴ 由图可得a<－1或a＋3>5，解得a<－1或a>2，
∴ 当a<－1或a>2时，A∩B≠．
(2) ∵ A∩B＝A，∴ AB.
由图得a＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A∩B＝A.
(3) 由补集的定义知∁RB＝{x|－1≤x≤5}，
∵ A∪(∁RB)＝∁RB，∴ A∁RB.
由图得解得－1≤a≤2.
变式训练
设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1) 当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2) 若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解：(1) A＝.
当a＝－4时，B＝{x|－23}．
(1) 若a＝1，求A∩B；
(2) 若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解：(1) 当a＝1时，A＝{x|－35}．
∴ A∩B＝{x|－35}，且A∪B＝R，
∴ 10，即b2>1 ①.
∵
∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0.
∵ B∩C＝，∴ Δ2＝(1－k)2－4(5－2b)<0，
∴ k2－2k＋8b－19<0，从而8b<20，即b<2.5 ②.
由①②及b∈N，得b＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得∴ k＝1.
故存在自然数k＝1，b＝2，使得(A∪B)∩C＝．
特别提醒：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C＝转化为A∩C＝且B∩C＝．要能够借助韦恩图充分理解集合的交、并、补之间的关系及熟练转化．
1. 已知A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{1}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2，4}，则B∩(∁UA)＝________．
答案：{5，6}[来源:学#科#网]
解析：依题意及韦恩图可得，B∩(∁UA)＝{5，6}．
2. (2016·江西卷)设集合A＝{x∈R|}，B＝{x∈Z|x－2>0}，则A∩B＝________．
答案：{3}
解析：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x∈Z|x>2}，∴ A∩B＝{x∈Z|20，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是____________．
答案：m≥2
解析：依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.
变式训练
已知命题p：“x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____________．
答案：[e，4]
解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若“p∧q”与“綈q”都是假命题，求x的值．
解：∵ 非q假，∴ q真．又p且q假，∴ p假．
∴ 即∴
∴ x＝－1，0，1，2.
4 全称命题与存在命题
4 已知命题p：“x∈R，m∈R，使4x－2x＋1＋m＝0”．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．
答案：m≤1
解析：命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.
若命题“x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
答案：－4≤m≤0
解析：“x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，∴ －4≤m≤0.
1. (2016·苍州调研)下列命题是假命题的是__________．(填序号)
① 命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”；
② 若02”是“－1≤0”的充分不必要条件．
答案：③
解析：①正确；由02，则a2≥4”，这是一个真命题．
4. (2016·全国Ⅰ卷)命题“x∈R，2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是____________．
答案：[－2，2]
解析：因题中的命题为假命题，则它的否定“x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.[来源:Z|xx|k.Com]
5. (2016·东营调研)关于x的方程x2－(2a－1)x＋a2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a的取值范围是__________．
答案：
解析：设方程的两根分别为x1，x2，当有一个非负实根时，x1x2＝a2－2≤0，即－≤a≤；当有两个非负实根时，
即≤a≤.综上，得－≤a≤.
1. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：
① “a＝b”是“ac＝bc”的充分且必要条件；
② “a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分且必要条件；
③ “a>b”是“|a|>|b|”的充分条件；
④ “a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数为________．
答案：2
解析：②④正确；对于①，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件；对于③，“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件．
2. “b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点”的________条件．
答案：充分不必要
解析：若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点；若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0.
3. 已知命题p：x2－5x＋6≥0；命题q：00，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
答案：[3，8)
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．
2. 充要条件的三种判断方法
(1) 定义法：根据pq，qp进行判断；
(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．
3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2) 要注意区间端点值的检验．
4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1) p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；
(2) p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；
(3) 綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．
[备课札记]