江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2020届高三第二次调研考试数学试题含附加题（解析版） 17页

1 江苏省苏北七市 2020 届高三第二次调研考试 数学试题 2020．4 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合 A＝{1，4}，B＝{a﹣5，7}．若 A ∩ B＝{4}，则实数 a 的值是 ． 答案：9 考点：集合交集运算 解析：∵集合 A＝{1，4}，B＝{a﹣5，7}．A ∩ B＝{4}， ∴a﹣5＝4，则 a 的值是 9． 2．若复数 z 满足 2 i i z = + ，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是 ． 答案： 5 考点：复数 解析：∵ 2 i i z = + ， ∴ 2 2i i 1 2i z = + = − + ，则 5 z = ． 2 3．在一块土地上种植某种农作物，连续 5 年的产量（单位：吨）分别为 9.4，9.7，9.8，10.3， 10.8．则该农作物的年平均产量是 吨． 答案：10 考点：平均数 解析： 9.4 9.7 9.8 10.3 10.8 10 5 x + + + + = = ． 4．右图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 ． 答案： 5 2 考点：算法与流程图 解析：第一次 S＝15，k＝1； 第二次 S＝15，k＝2； 第三次 S＝ 15 2 ，k＝3； 第四次 S＝ 5 2 ＜3；所以输出的 S 的值是 5 2 ． 5．“石头、 剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人 各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、 乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ． 答案： 2 3 考点：随机事件的概率 解析：甲、乙两人玩一次该游戏，共有 9 种情况，其中甲不输有 6 种可能，故概率为 6 2 9 3 = ． 6．在△ABC 中，已知 B＝2A，AC＝ 3 BC，则 A 的值是 ． 答案： 6 π 考点：正弦定理，二倍角的正弦公式 解析：∵AC＝ 3 BC，∴ 3 b a = ，即 sinB＝ 3 sinA， ∵B＝2A，∴sin2A＝ 3 sinA，则 2sinAcosA＝ 3 sinA， 3 ∵sinA≠0，∴ 3 cosA 2 = ，A∈ (0，π)，则 A＝ 6 π ． 7．在等差数列{ }n a (n N ∗ ∈ )中，若 1 2 4 a a a = + ， 8 3 a = − ，则 20 a 的值是 ． 答案：﹣15 考点：等差数列的通项公式及性质 解析：∵数列{ }n a 是等差数列，∴ 1 5 2 4 a a a a + = + ，又 1 2 4 a a a = + ，∴ 5 0 a = ， ∴ 8 5 3 1 8 5 3 a a d − − = = = − − ，故 20 5 15 15 a a d = + = − ． 8．如图，在体积为 V 的圆柱 O1O2 中，以线段 O1O2 上的点 O 为项点，上下底面为底面的两 个圆锥的体积分别为 V1，V2，则 1 2 V V V + 的值是 ． 答案： 1 3 考点：圆柱圆锥的体积 解析：由 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 3 3 3 O O O V V S OO S OO S O O V + = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⊙ ⊙ ⊙ ，得 1 2 1 3 V V V + = ． 9．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 2 2 2 1 x y a b − = (a＞0，b＞0)的左顶点为 A，右焦点为 F， 过 F 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P，Q．若△APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率 是 ． 答案：2 考点：双曲线的简单性质 解析：由题意知，AF＝PF，即 2 b a c a + = ，∴ 2 2 c a a c a − + = ， 化简得： 2 2 0 e e − − = ，又 e＞1，∴e＝2． 10．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在直线 y＝2x 上，过点 P 作圆 C：(x﹣4)2＋y2＝8 的一 条切线，切点为 T．若 PT＝PO，则 PC 的长是 ． 答案： 13 考点：直线与圆 解析：设 P( p ，2 p )，则 2 2 2 2 ( 4) 4 5 8 16 PC p p p p = − + = − + ， 4 2 2 2 2 5 8 8 PT PC TC p p = − = − + ， 2 2 5 PO p = ， ∵PT＝PO，∴ 2 2 5 8 8 5 p p p − + = ，解得 p＝1，∴ 2 2 5 8 16 13 PC p p = − + = ， 即 PC 的长是 13 ． 11．若 x＞1，则 9 1 2 1 1 x x x + + + − 的最小值是 ． 答案：8 考点：基本不等式 解析： 9 1 9 1 2 1 1 6 2 8 1 1 1 1 x x x x x x x + + = + + + − + ≥ + = + − + − ，当且仅当 x＝2 时取“＝”． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 x y e = 在点 P( 0 x ， 0 x e )处的切线与 x 轴相交于点 A， 其中 e 为自然对数的底数．若点 B( 0 x ，0)，△PAB 的面积为 3，则 0 x 的值是 ． 答案：ln6 考点：利用导数研究函数的切线 解析：∵ x y e ′ = ，∴ 0 x k e = ，则切线方程为 0 0 0 ( ) x x y e e x x − = − ，令 y＝0， 求得 0 1 A x x = − ，∴ 0 1 1 3 2 x e × ⋅ = ，解得 0 ln6 x = ． 13．图（1）是第七届国际数学教育大会 (ICME—7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演 化而成的 （如图(2)），其中 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则 6 7 7 8 A A A A ⋅ ������ ������ 的值 是 ． 答案： 42 7 考点：平面向量数量积 解析：sin∠A6A7O＝ 6 7 A O 6 A O 7 = ，∴ 6 7 7 8 6 42 A A A A 1 1 7 7 ⋅ = × × = ������ ������ ． 14．设函数 2 log , 0 4 ( ) (8 ), 4 8 x a x f x f x x ⎧ − < ≤ ⎪ = ⎨ − < < ⎪ ⎩ ，若存在实数 m，使得关于 x 的方程 ( ) f x m = 有 5 4 个不相等的实根，且这 4 个根的平方和存在最小值，则实数 a 的取值范围是 ． 答案：( −∞ ，1) 考点：函数与方程 解析：当 2 a ≥ 时， 2 log 0 x a − ≤ ，此时 2 2 log , 0 4 ( ) log (8 ), 4 8 a x x f x a x x − < ≤ ⎧ = ⎨ − − < < ⎩ ，此时函数 ( ) f x 在(0，4)单调递减，在(4，8)单调递增，方程 ( ) f x m = 最多 2 个不相等的实根，舍； 当 a＜2 时，函数 ( ) f x 图像如下所示： 从左到右方程 ( ) f x m = 4 个不相等的实根，依次为 1 x ， 2 x ， 3 x ， 4 x ，即 1 x ＜ 2 x ＜ 3 x ＜ 4 x ， 由图可知 2 1 2 2 log log a x x a − = − ，故 1 2 4 a x x = ，且 3 2 8 x x = − ， 4 1 8 x x = − ， 从而 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 1 1 4 4 2( ) 16( ) 128 a a x x x x x x x x + + + = + − + + ， 令 1 1 4 a t x x = + ，显然 t＞4 a ， 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 2 16 128 4 a x x x x t t + + + + = − + − ，要使该式在 t＞4 a 时有最小值，则对称轴 t＝4＞4 a ，解得 a＜1． 综上所述，实数 a 的取值范围是( −∞ ，1)． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a � ＝(cos α ，sinα )， b � ＝(cos( α ＋ 4 π )，sin(α ＋ 6 4 π ))，其中 0＜α ＜ 2 π ． （1）求( ) b a a − ⋅ � � � 的值； （2）若c � ＝(1，1)，且 ( ) b c + � � ∥ a � ，求α 的值． 解：（1）因为向量 ( )cos sin α α = ， a a a a ， ( ) ( )( )π π cos sin 4 4 α α = + + ， b b b b ， 所以( ) 2 − ⋅ = ⋅ − b a a a b a b a a a b a b a a a b a b a a a b a …2 分 ( ) ( )( )2 2 π π cos cos sin sin cos sin 4 4 α α α α α α = + + + − + …4 分 ( )π cos 1 4 = − − 2 1 2 = − ． ……6 分 （2）因为 ( )1 1 = ， c c c c ，所以 + b c b c b c b c ( ) ( )( )π π cos 1 sin 1 4 4 α α = + + + + ， ． 因为( )+ b c b c b c b c ∥ a a a a ， 所以 ( )( ) ( )( )π π cos 1 sin sin 1 cos 0 4 4 α α α α + + − + + = ．…9 分 于是 ( ) ( )π π sin cos sin cos cos sin 4 4 α α α α α α − = + − + ， 从而 ( )π π 2 sin sin 4 4 α − = ，即 ( )π 1 sin 4 2 α − = ． ………………12 分 因为 π 0 2 α < < ，所以 π π π 4 4 4 α − < − < ． 于是 π π 4 6 α − = ，即 5π 12 α = ． …14 分 16．（本题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，CA＝CB，点 P，Q 分别为 AB 1，CC1 的中点．求 证： （1）PQ∥平面 ABC； （2）PQ⊥平面 ABB1A1． 解：（1）取 AB 的中点 D ，连结 PD CD ， ． 7 在△ 1 ABB 中，因为 P D ， 分别为 1 AB AB ， 中点， 所以 1 PD BB ∥ ，且 1 1 2 PD BB = ． 直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， 1 1 CC BB ∥ ， 1 1 CC BB = ．因为 Q 为棱 1 CC 的中点，所以 1 CQ BB ∥ ，且 1 1 2 CQ BB = ． …3 分 于是 PD CQ ∥ ， PD CQ = ． 所以四边形 PDCQ 为平行四边形，从而 PQ CD ∥ ． ……5 分又因为 CD ABC ⊂ 平面 ， PQ ABC ⊄ 平面 ，所以 PQ ABC ∥平面 ． …7 分 （2）在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， 1 BB ABC ⊥平面 ．又CD ABC ⊂ 平面 ，所以 1 BB CD ⊥ ．因为 CA CB = ， D 为 AB 中点，所以 CD AB ⊥ ． ……10 分 由（1）知CD PQ ∥ ，所以 1 BB PQ ⊥ ， AB PQ ⊥ ． ……12 分 又因为 1 AB BB B = I ， 1 1 AB ABB A ⊂ 平面 ， 1 1 1 BB ABB A ⊂ 平面 ， 所以 1 1 PQ ABB A ⊥ 平面 ． ……14 分 17．（本题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆 E： 2 2 2 2 1 x y a b + = (a ＞b＞0)的右顶点 A 在圆 C 上，右准线与圆 C 相切． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与圆 C 相交于另一点 M，与椭圆 E 相交于另一点 N．当 AN＝ 12 7 AM 时，求直线 l 的方程． 解：（1）记椭圆 E 的焦距为 2c（ 0 c > ）．因为右顶点 ( )0 A a ， 在圆 C 上， 右准线 2 a x c = 与 圆 C： ( )2 2 3 1 x y − + = 相切．所以 ( )2 2 2 3 0 1 3 1 a a c ⎧ − + = ⎪ ⎨ − = ⎪ ⎩ ， ， 解得 2 1 a c = ⎧ ⎨ = ⎩ ， ． 8 于是 2 2 2 3 b a c = − = ，所以椭圆方程为： 2 2 1 4 3 y x + = ． ……4 分 （2）法 1：设 ( ) ( )N N M M N x y M x y ， ， ， ， 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为： ( )2 y k x = − ． 由方程组 ( ) 2 2 2 1 4 3 y k x y x = − ⎧ ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ ， 消去 y 得，( )2 2 2 2 4 3 16 16 12 0 k x k x k + − + − = ． 所以 2 2 16 12 2 4 3 N k x k − ⋅ = + ，解得 2 2 8 6 4 3 N k x k − = + ． ……6 分 由方程组 ( ) ( )2 2 2 3 1 y k x x y = − ⎧ ⎪ ⎨ − + = ⎪ ⎩ ， ， 消去 y 得， ( ) ( )2 2 2 2 1 4 6 4 8 0 k x k x k + − + + + = ， 所以 2 2 4 +8 2 1 M k x k ⋅ = + ，解得 2 2 2 +4 1 M k x k = + ． ……8 分 因为 12 7 AN AM = ，所以 ( )12 2 2 7 N M x x − = − ． ……10 分 即 2 2 12 12 2 7 4 3 1 k k = ⋅ + + ，解得 1 k = ± ， ……12 分 所以直线 l 的方程为 2 0 x y − − = 或 2 0 x y + − = ． ……14 分法 2：设 ( ) ( )N N M M N x y M x y ， ， ， ，当直线 l 与 x 轴重合时，不符题意． 设 直 线 l 的 方 程 为 ： ( )2 0 x ty t = + ≠ ． 由 方 程 组 2 2 2 1 4 3 x ty y x = + ⎧ ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ ， 消 去 x 得 ， ( )2 2 3 4 12 0 t x ty + + = ，所以 2 12 3 4 N t y t − = + ． ……6 分 由方程组 ( )2 2 2 3 1 x ty x y = + ⎧ ⎪ ⎨ − + = ⎪ ⎩ ， 消去 x 得， ( )2 2 1 2 0 t x ty + − = ， 所以 2 2 1 M t y t = + ． ……8 分 因为 12 7 AN AM = ，所以 12 7 N M y y = − ． ……10 分 即 2 2 12 12 2 7 3 4 1 t t t t − = − ⋅ + + ，解得 1 t = ± ， ……12 分 所以直线 l 的方程为 2 0 x y − − = 或 2 0 x y + − = ． ……14 分 18．（本题满分 16 分） 某公园有一块边长为 3 百米的正三角形 ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域， 用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道 DE 将△ABC 分成面积之比为 2：1 的两部分 （点 D，E 分别在边 AB，AC 上）；再取 DE 的中点 M，建造直道 AM（如图）．设 AD＝x， 9 DE＝ 1 y ，AM＝ 2 y （单位：百米）． （1）分别求 1 y ， 2 y 关于 x 的函数关系式； （2）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值． 解：（1）因为 2 3 ADE ABC S S = △ △ ，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，又 AD = x， 所以 ( )2 1 2 1 sin = 3 sin 2 3 3 2 3 AD AE π π ⋅ ⋅ × × ，所以 6 AE x = ． ……2 分 由 0 3 6 0 3 AD x AE x < = ⎧ ⎪ ⎨ < = ⎪ ⎩ ≤ ， ≤ ，得2 3 x ≤ ≤ ． ……4 分 法 1：在 ADE △ 中，由余弦定理，得 2 2 2 2 2 36 2 cos 6 3 DE AD AE AD AE x x π = + − ⋅ ⋅ = + − ． 所以，直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为 [ ]2 1 2 36 6 2 3 y x x x = + − ∈ ， ， ． ……6 分 在 ADM △ 和 AEM △ 中，由余弦定理，得 2 2 2 2 cos AD DM AM DM AM AMD = + − ⋅ ⋅ ∠ ① ( )2 2 2 2 cos AE EM AM EM AM AMD = + − ⋅ ⋅ π − ∠ ② …8 分 因为 M 为 DE 的中点，所以 1 2 DM EM DE = = ． 由①+②，得 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 AD AE DM EM AM DE AM + = + + = + ， 所以 () ( )2 2 2 2 2 6 1 36 6 2 2 x x AM x x + = + − + ， 所以 2 2 2 9 3 4 2 x AM x = + + ． 所以，直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为 [ ]2 2 2 9 3 2 3 4 2 x y x x = + + ∈ ， ， ． ……10 分 法 2：因为在 ADE △ 中， DE AE AD = − ���� ���� ���� ， 所以 ()2 2 2 2 2 2 2 6 6 36 2 2 cos 6 3 DE AE AE AD AD x x x x x x π = − ⋅ + = − ⋅ + = + − ���� ���� ���� ���� ���� ． 所以，直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为 [ ]2 1 2 36 6 2 3 y x x x = + − ∈ ， ， ． ……6 分 10 在△ADE 中，因为 M 为 DE 的中点，所以 ( )1 2 AM AD AE = + ����� ���� ���� ． …8 分 所以 ( ) ( )2 2 2 2 2 1 1 36 2 6 4 4 AM AD AE AD AE x x = + + ⋅ = + + ����� ���� ���� ���� ���� ． 所以，直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为 [ ]2 2 2 9 3 2 3 4 2 x y x x = + + ∈ ， ， ． ……10 分 （2）由（1）得，两条直道的长度之和为 2 2 1 2 2 2 36 9 3 + 6 4 2 x DE AM y y x x x = + = + − + + + 2 2 2 2 36 9 3 2 6 2 4 2 x x x x ⋅ − + ⋅ + ≥ …… 12 分 3 2 6 2 = + （当且仅当 2 2 2 2 36 9 4 x x x x ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ ， 即 6 x = 时取 = “ ” ）． …14 分 答：当 6 AD = 百米时，两条直道的长度之和取得最小值( )3 2 6 2 + 百米．16 分 19．（本题满分 16 分） 若函数 ( ) f x 在 0 x 处有极值，且 0 0 ( ) f x x = ，则称 0 x 为函数 ( ) f x 的“F 点”． （1）设函数 2 ( ) 2ln f x kx x = − (k∈ R)．①当 k＝1 时，求函数 ( ) f x 的极值；②若函数 ( ) f x 存在“F 点”，求 k 的值； （2）已知函数 3 2 ( ) g x ax bx cx = + + (a，b，c∈ R，a≠0)存在两个不相等的“F 点” 1 x ， 2 x ，且 1 2 ( ) ( ) 1 g x g x − ≥ ，求 a 的取值范围． 解：（1）① 当 k = 1 时，f ( x ) = x2 − 2 ln x ( k∈ R )， 所以 () ( )( )( )2 1 1 0 x x f x x x − + ′ = > ，令 () 0 f x ′ = ， 得 x = 1， ……2 分 列表如下： 所以函数 ( ) f x 在 x = 1 处取得极小值，极小值为 1，无极大值． ……4 分 ② 设 x0 是函数 ( ) f x 的一个“F 点” ( )0 0 x > ． x (0 1) ， 1 (1 ) + ∞ ， ( ) f x ′ - 0 + ( ) f x ↘ 极小值 ↗ 11 因为 () ( )( ) 2 2 1 0 kx f x x x − ′ = > ,所以 x0 是函数 ( ) f x ′ 的零点． 所以 0 k > ，由 ( )0 0 f x ′ = ，得 2 0 0 1 1 kx x k = = ， ， 由 0 0 ( ) f x x = ，得 2 0 0 0 2ln kx x x − = ，即 0 0 +2ln 1 0 x x − = ． ……6 分 设 ( ) +2ln 1 x x x ϕ = − ，则 () 2 1+ 0 x x ϕ ′ = > ， 所以函数 ( ) +2ln 1 x x x ϕ = − 在( )0 + ∞ ， 上单调增，注意到 ()1 0 ϕ = ， 所以方程 0 0 +2 ln 1 0 x x − = 存在唯一实根 1，所以 0 1 =1 x k = ，得 1 k = ， 根据①知， 1 k = 时， 1 x = 是函数 ( ) f x 的极小值点， 所以 1 是函数 ( ) f x 的“F 点”． 综上，得实数 k 的值为 1． ……9 分（2）因为 g (x) = ax3 + bx2 + cx ( a，b，c ∈ R，a ≠ 0 ) 所以 () ( )2 3 2 0 g x ax bx c a ′ = + + ≠ ． 又因为函数 g (x) 存在不相等的两个“F 点”x1 和 x2， 所以 x1，x2 是关于 x 的方程 ( )2 3 2 =0 0 ax bx c a + + ≠ 的两个相异实数根． 所以 2 1 2 1 2 4 12 0 2 3 . 3 b ac b x x a c x x a ⎧ = − > ⎪ ⎪ ⎪ + = − ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ △ ， ， 又 g (x1) = ax1 3 + bx1 2 + cx1 = x1，g (x2) = ax2 3 + bx2 2 + cx2 = x2， 所以 g (x1) − g (x2) = x1− x2，即(a x1 3 + bx1 2 + cx1)− (ax2 3 + bx2 2 + cx2) = x1− x2， 从而( x1− x2) [a (x1 2+ x1x2 +x2 2)+ b (x1+ x2 )+ c]= x1− x2． 因为 1 2 x x ≠ ，所以 ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 a x x x x b x x c ⎡ ⎤ + − + + + = ⎣ ⎦ ， 即 ( ) ( )2 2 2 1 3 3 3 b c b a b c a a a ⎡ ⎤ − − + − + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ．所以 ( )2 2 3 9 ac b a − = ． ………13 分 因为| g (x1) − g (x2) | ≥ 1， 所以 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 3 3 b c g x g x x x x x x x a a − = − = + − = − − ( )2 2 4 3 2 1. 9 b ac a a − = = − ≥ 解得 2 0 a − < ≤ ．所以，实数 a 的取值范围为 )2 0 − ⎡ ⎣ ， ． ……16 分（2）（解法 2） 因为 g (x) = ax3 + bx2 + cx ( a，b，c ∈ R，a ≠ 0 ) 12 所以 () ( )2 3 2 0 g x ax bx c a ′ = + + ≠ ． 又因为函数 g (x) 存在不相等的两个“F 点”x1 和 x2， 所以 x1，x2 是关于 x 的方程组 2 3 2 3 2 =0 ax bx c ax bx cx x ⎧ + + ⎪ ⎨ + + = ⎪ ⎩ ， 的两个相异实数根． 由 3 2 ax bx cx x + + = 得 2 0 1 0 x ax bx c = + + − = ， ． ……11 分 （2．1）当 0 x = 是函数 g (x) 一个“F 点”时， 0 c = 且 2 3 b x a = − ． 所以 ( ) ( )2 2 2 1 0 3 3 b b a b a a − + − − = ，即 2 9 2 a b = − ． 又 ( ) ( )1 2 1 2 2 0 1 3 b g x g x x x a − = − = − − ≥ ， 所以 2 2 4 9 b a ≥ ，所以 ( )2 9 2 9 a a − ≤ ． 又 a ≠ 0，所以 2 0 a − < ≤ ．…13 分 （2．2）当 0 x = 不是函数 g (x) 一个“F 点”时， 则 x1，x2 是关于 x 的方程 2 2 3 2 =0 1 0 ax bx c ax bx c ⎧ + + ⎪ ⎨ + + − = ⎪ ⎩ ， 的两个相异实数根． 又 a ≠ 0，所以 2 3 1 3 b b c c ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = − ⎩ ， ， 得 0 3 2 b c = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ， . 所以 2 1 2 ax = − ，得 1 2 1 2 x a = ± − ， ． 所以 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 g x g x x x a − = − = − ≥ ，得 2 0 a − < ≤ ． 综合（2．1）（2．2），实数 a 的取值范围为 )2 0 − ⎡ ⎣ ， ． ……16 分 20．（本题满分 16 分） 在等比数列{ }n a 中，已知 1 1 a = ， 4 1 8 a = ．设数列{}n b 的前 n 项和为 n S ，且 1 1 b = − ， 1 1 2 n n n a b S − + = − (n≥2，n N ∗ ∈ )． （1）求数列{ }n a 的通项公式； （2）证明：数列 n n b a ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意 n N ∗ ∈ ，都有 n n n S c a ≤ ≤ ?若存在，求出所 有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由． 解：（1）设等比数列{ }n a 的公比为q ，因为 1 1 a = ， 4 1 8 a = ，所以 3 1 8 q = ，解得 1 2 q = ． 13 所以数列{ }n a 的通项公式为： ( )1 1 2 n n a − = ． ……3 分 （2）由（1）得，当 2 n n ∗ ∈ N N N N ， ≥ 时，( )1 1 1 1 2 2 n n n b S − − + = − ， ① 所以，() 1 1 1 2 2 n n n b S + + = − ， ② ②－① 得， ( )1 1 1 2 2 n n n b b + − = ， ……………5 分 所以， ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 n n n n b b + − − = ，即 1 1 1 n n n n b b a a + + − = ， 2 n n ∗ ∈ N N N N ， ≥ ． 因为 1 1 b = − ，由① 得， 2 0 b = ，所以 ( )2 1 2 1 0 1 1 b b a a − = − − = ， 所以 1 1 1 =− + + n n n n a b a b ，n ∗ ∈ N N N N ． 所以数列 n n b a ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 是以 1 − 为首项，1 为公差的等差数列． ……8 分 （3） 由（2）得bn an =n－2，所以 bn=n－2 2n-1 ，Sn=－2(an+1+bn+1)=－2(1 2n+n－1 2n )=－ n 2n-1. 假设存在等差数列{cn}，其通项 cn=dn+c， 使得对任意 ∗∈ Nn ，都有 Sn≤cn≤an， 即对任意 ∗∈ Nn ，都有－ n 2n-1≤dn+c≤ 1 2n-1. ③ ……10 分 首先证明满足③的 d=0. 若不然，d≠0，则 d＞0，或 d＜0. (i) 若 d＞0，则当 n＞1－c d ， ∗∈ Nn 时，cn=dn+c＞1≥ 1 2n-1= an， 这与 cn≤an 矛盾. (ii) 若 0 ， 所以对任意 ∗∈ Nn ，都有 Sn≤cn≤an．所以 0 n c n ∗ = ∈ N N N N ， ． 综上，存在唯一的等差数列{ cn }，其通项公式为 0 n c n ∗ = ∈ N N N N ， 满足题设．…16 分 江苏省苏北七市 2020 届高三第二次调研考试 数学附加题 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵 A＝ 0 1 0 a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 的逆矩阵 1 0 2 A 0 b − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ．若曲线 C1： 2 2 1 4 x y + = 在矩阵 A 对应的 变换作用下得到另一曲线 C2，求曲线 C2 的方程． 解：因为 1 − = AA E AA E AA E AA E ，所以 0 1 0 2 1 0 0 0 0 1 a b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，即 0 1 0 0 2 0 1 b a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ． 所以 1 2 1 b a = ⎧ ⎨ = ⎩ ， ， 解得 1 2 1 a b ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ ， . 所以 0 1 1 0 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A A A ． ……4 分 设 ( )P x y ′ ′ ， 为曲线 C1 任一点，则 2 2 1 4 x y ′ ′ + = ， 又设 ( )P x y ′ ′ ， 在矩阵 A 变换作用得到点 ( )Q x y ， ， 则 0 1 1 0 2 x x y y ⎡ ⎤ ′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，即 2 y x x y ′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ′ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，所以 2 y x x y ′ = ⎧ ⎪ ⎨ ′ = ⎪ ⎩ ， ， 即 2 x y y x ′ = ⎧ ⎨ ′ = ⎩ ， . 代入 2 2 1 4 x y ′ ′ + = ，得 2 2 1 y x + = ， 所以曲线 C2 的方程为 2 2 1 x y + = ． ……10 分 B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线 C 的方程为 r ρ = (r＞0)，直线 l 的方程为 cos( ) 2 4 π ρ θ + = ． 设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且 AB＝2 7 ，求 r 的值． 解：以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xOy， 于是曲线 C： ( 0 ) r r ρ = > 的直角坐标方程为 2 2 2 x y r + = ，表示以原点为圆心，半径为 r 的 15 圆． ……3 分 由直线 l 的方程 ( )cos 2 4 ρ θ π + = ，化简得 cos cos sin sin 2 4 4 ρ θ ρ θ π π − = ， 所以直线 l 的直角坐标方程方程为 2 0 x y − − = ． …………6 分 记圆心到直线l 的距离为 d ，则 2 2 2 d = = ， 又 ( )2 2 2 2 AB r d = + ，即 2 2 7 9 r = + = ，所以 3 r = ． ……10 分 C．选修 4—5：不等式选讲 已知实数 x，y，z 满足 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + = + + + ，证明： 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + ≤ + + + ． 解：因为 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + = + + + ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z + + = − + − + − = + + + + + + ． ……5 分 由柯西不等式得， ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + + + + + + + + ≥ ． 所以( )2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + + + + ≤ ． 所以 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + + + + ≤ ． ……10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 小丽在同一城市开的 2 家店铺各有 2 名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的 概率都是 1 2 ，且是否休假互不影响，若 一家店铺的员工全部休假，而另 一家无人休假，则 调剂 1 人到该店维持营业，否则该店就停业． （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 解：（1）记 2 家小店分别为 A B ， ， A 店有i 人休假记为事件 ( )0 1 2 i A i = ，， ， B 店有 i 人， 休假记为事件 ( )0 1 2 i B i = ，， ，发生调剂现象的概率为 P ． 则 ( ) ( ) ()2 0 0 0 2 1 1 C 2 4 P A P B = = = ， 16 ( ) ( ) ()2 1 1 1 2 1 1 C 2 2 P A P B = = = ， ( ) ( ) ()2 2 2 2 2 1 1 C 2 4 P A P B = = = ． 所以 ( ) ( )0 2 2 0 1 1 1 1 1 4 4 4 4 8 P P A B P A B = + = × + × = ． 答：发生调剂现象的概率为 1 8 ． ……4 分（2）依题 意，X 的所有可能取值为 0 1 2 ，， ． 则 ( ) ( )2 2 1 1 1 0 4 4 16 P X P A B = = = × = ， ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 4 4 P X P A B P A B = = + = × + × = ， ( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 1 0 1 1 16 4 16 P X P X P X = = − = − = = − − = ． …… 8 分 所 以 X 的 分 布表 为： 所以 ( ) 11 1 1 13 2 1 0 16 4 16 8 E X = × + × + × = ． ……10 分 23．（本小题满分 10 分） 我们称 n(n N ∗ ∈ )元有序实数组( 1 x ， 2 x ，…， n x )为 n 维向量， 1 n i i x = ∑ 为该向量的范数． 已知 n 维向量 a � ＝( 1 x ， 2 x ，…， n x )，其中 i x ∈ {﹣1，0，1}，i＝1，2，…，n．记范数为奇 数的 n 维向量 a � 的个数为 An，这 An 个向量的范数之和为 Bn． （1）求 A2 和 B2 的值； （2）当 n 为偶数时，求 An，Bn（用 n 表示）． 解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：( )1 0 − ， ，( )0 1 − ， ，( )0 1 ， ，( )1 0 ， ， 它们的范数依次为1 1 1 1 ，，， ，故 2 2 4 4 A B = = ， ． ……3 分 （2）当 n 为偶数时，在向量 ( )1 2 3 n x x x x = L ， ， ， a a a a 的 n 个坐标中，要使得范数为奇数，则 0 的个数一定是奇数，所以可按照含 0 个数为： 1 3 1 n − L ，， ， 进行讨论： a a a a 的 n 个坐标中 含 1 个 0，其余坐标为 1 或 1 − ，共有 1 1 C 2 n n − ⋅ 个，每个a a a a 的范数为 1 n − ； X 0 1 2 P 1 16 1 4 11 16 17 a a a a 的 n 个坐标中含 3 个 0，其余坐标为 1 或 1 − ，共有 3 3 C 2 n n − ⋅ 个，每个a a a a 的范数为 3 n − ；… a a a a 的 n 个坐标中含 1 n − 个 0，其余坐标为 1 或 1 − ， 共有 1 C 2 n n − ⋅ 个，每个 a a a a 的范数为1 ；所以 1 1 3 3 1 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n A − − − = ⋅ + ⋅ + + ⋅ L ， ( ) ( )1 1 3 3 1 1 C 2 3 C 2 C 2 n n n n n n n B n n − − − = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ L ． ……6 分 因为( ) 0 1 1 2 2 2 1 C 2 C 2 C 2 C n n n n n n n n n − − + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + L ， ① ( ) 0 1 1 2 2 2 1 C 2 C 2 C 2 ( 1) C n n n n n n n n n n − − − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + − L ，② 2 − ① ② 得， 1 1 3 3 3 1 C 2 C 2 2 n n n n n − − − ⋅ + ⋅ + = L ， 所以 3 1 2 n n A − = ． ……8 分 解法 1：因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ! ! C C ! ! ! 1 ! k k n n n n n k n k n n k n k k n k − − − = − ⋅ = ⋅ = − − − ， 所以 ( ) ( )1 1 3 3 1 1 C 2 3 C 2 C 2 n n n n n n n B n n − − − = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ L ． ( )1 1 3 3 1 1 1 1 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n − − − − − − = ⋅ + ⋅ + + ⋅ L ( )1 2 3 4 1 1 1 1 2 C 2 C 2 C n n n n n n n − − − − − − = ⋅ + ⋅ + + L ( ) ( )1 1 3 1 2 3 1 2 n n n n − − − = ⋅ = ⋅ − ． ……10 分 解法 2： 2 + ① ② 得， 0 2 2 C 2 C 2 n n n n − ⋅ + ⋅ + = L 3 1 2 n + ． 又因为 ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 ! ! C C ! ! 1 ! ! k k n n n n k k n n k n k k n k − − − = ⋅ = ⋅ = − − − ，所以 ( ) ( )1 1 3 3 1 1 C 2 3 C 2 C 2 n n n n n n n B n n − − − = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ L ． ( ) ( )( )1 1 3 3 1 1 1 3 3 1 C 2 C 2 C 2 C 2 3 C 2 1 C 2 n n n n n n n n n n n n n n − − − − − − = ⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ L L ( )0 1 2 3 2 1 1 1 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n nA n − − − − − − = − ⋅ + ⋅ + + ⋅ L ( ) ( )1 1 3 1 3 1 3 1 2 2 n n n n n − − − + = ⋅ − = ⋅ − ． ……………10 分