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- 2021-05-24 发布
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第一节坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
4．简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0<θ<π)
1．若点P的直角坐标为(3，－)，则点P的极坐标为______．
解析：因为点P(3，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.
答案：
2．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为________．
解析：将方程 ρ＝5cos θ－5sin θ两边都乘以ρ，
得ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，
化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.
圆心坐标为，化成极坐标为.
答案：(答案不唯一)
3．在极坐标系中A，B两点间的距离为________．
解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.
法二：∵A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)．
∴|AB|＝＝6.
答案：6
4．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离是________．
解析：设圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离为d，
因为圆的半径为2, d＝2·sin＝1.
答案：1
[考什么·怎么考]
1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．
解：由得到①
将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
2．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将代入x2－＝1，
得－＝1，化简得－＝1，
即－＝1为曲线C′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．
3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，b的值．
解：由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.
[怎样快解·准解]
伸缩变换公式应用时的2个注意点
(1)
曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
极坐标与直角坐标的互化是解决极坐标问题的基础，是高考常考内容之一，既有单独考查，也有与参数方程等内容的综合考查，题型为解答题，难度适中.
[典题领悟]
在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：
ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
[思维路径]
(1)由ρ＝cos θ＋sin θ及公式可将等式两边同乘以ρ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，从而可化为直角坐标方程．将ρsin＝利用两角差的正弦公式展开，可得ρsin θ－ρcos θ＝1，从而可化为直角坐标方程．
(2)可先求出直线l与圆O的公共点，然后将该公共点化为极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为即为所求．
[解题师说]
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ
及方程两边平方是常用的变形技巧．
2．极角的确定方法
由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.
[冲关演练]
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，
所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
曲线极坐标方程的应用是每年高考的重点，主要涉及线段长度、平面图形的面积以及最值等问题，难度适中.
[典题领悟]
(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[思维路径]
(1)可先求点P在极坐标系中的轨迹方程，然后再化为直角坐标方程．设P(ρ，θ)，则M点的可设为(ρ1，θ)，利用|OM|·|OP|＝16及相关点可求．
(2)由于点O和点A都是定点，故△AOB面积的大小取决于B点的位置，可设B点的极坐标为(ρB，α)，然后利用面积公式S＝|OA|·ρB·sin∠AOB求解即可．
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
[解题师说]
1．方法要熟
求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系．
(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．
2．技巧要会
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
[冲关演练]
(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，
所以△C2MN的面积为.
1．在极坐标系中，求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
解：ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2，
即y＝x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－8x＋12＝0，
即(x－)2＝0，
所以x＝，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.
2．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径|PC|＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆
C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
3．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．
解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.
4．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
5．(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝5，射 线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4，
得圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)设P(ρ1，θ1)，则由
解得ρ1＝2，θ1＝.
设Q(ρ2，θ2)，则由
解得ρ2＝5，θ2＝.
所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3.
6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
7．(2018·福建质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：θ＝(ρ>0)，A(2,0)．
(1)把C1的普通方程化为极坐标方程；
(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．
解：(1)因为C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.
(2)依题意，设点P，Q的极坐标分别为，.
将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，
将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，
所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1.
依题意，点A(2,0)到曲线θ＝(ρ>0)的距离
d＝|OA|sin ＝1，
所以S△APQ＝|PQ|·d＝×(2－1)×1＝－.
8．(2018·贵州适应性考试)在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)过原点且倾斜角为α的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．
解：(1)由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，
两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，
故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.
(2)射线l的极坐标方程为θ＝α，＜α≤，
把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cos α，
把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝，
∴|OA|·|OB|＝4cos α·＝4tan α.
∵＜α≤，
∴|OA|·|OB|的取值范围是.
