2018-2019学年湖北黄冈高二下数学期中试卷 8页

‎2018-2019学年湖北黄冈高二下数学期中试卷 一、选择题 ‎ ‎ ‎1. 已知复数z=‎‎1+2i‎2−i（其中i为虚数单位），则其共轭复数z‎¯‎的虚部是(        ) ‎ A.i B.‎1‎ C.‎−i D.‎‎−1‎ ‎ ‎ ‎2. 抛物线y‎2‎‎=4x的准线方程为(        ) ‎ A.x=1‎ B.x=−1‎ C.y=1‎ D.‎y=−1‎ ‎ ‎ ‎3. ‎ 某校高二年级‎1‎班、‎2‎班分别有‎10‎人和‎8‎人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则‎1‎班‎10‎人每天骑行路程的极差和‎2‎班‎8‎人每天骑行路程的中位数分别是(        )‎ A.‎14,9.5‎ B.‎9,9‎ C.‎9,10‎ D.‎‎14,9‎ ‎ ‎ ‎4. “m>0，n>0‎，且m≠n”是方程“x‎2‎m‎+y‎2‎n=1‎表示的曲线为椭圆”的(        ) ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎5. 函数f(x)=ex‎+‎e‎−xsinxe‎2‎(−π≤x≤π)‎的图象大致是(        ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎6. 如图给出了计算‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎4‎+‎1‎‎6‎+⋯+‎‎1‎‎2018‎的值的程序框图，其中①②分别是(        ) ‎ A.i<1008,n=n+1‎ B.i>1008,n=n+1‎ C.i<1009,n=n+2‎ D.‎i>1009,n=n+2‎ ‎ ‎ ‎7. 已知y=sinx，在区间‎[−π, π]‎上任取一个实数x，则y≥−‎‎1‎‎2‎的概率为(        ) ‎ A.‎7‎‎12‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎5‎‎6‎ ‎ ‎ ‎8. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2, y‎0‎)‎．若点M到该抛物线焦点的距离为‎4‎，则‎|OM|=(‎        ‎)‎ ‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎2‎‎5‎ ‎ ‎ ‎9. 给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）： ①“若a，b∈R，则a−b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a−b=0⇒a=b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a+b‎2‎=c+d‎2‎⇒a=c，b=d”； ③“若a，b∈R，则a−b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a−b>0⇒a>b”； 其中类比得到的结论正确的个数是(        ) ‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎10. 已知f′(x)‎是函数f(x)‎的导函数，若函数f(x)‎的图象在点x=2‎处的切线方程是x+2y−5=0‎，则f(2)+f′(2)=(‎        ‎)‎ ‎ A.‎1‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎−‎‎1‎‎2‎ D.‎‎0‎ ‎ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎11. 已知F‎1‎，F‎2‎是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>0，b>0)‎的两焦点，以线段F‎1‎F‎2‎为边作正三角形MF‎1‎F‎2‎，若边MF‎1‎的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率是(        ) ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎3‎‎−1‎ D.‎‎4−2‎‎3‎ ‎ ‎ ‎12. 设直线x=t与函数f(x)=2‎x‎2‎，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当‎|MN|‎达到最小时t的值为(        ) ‎ A.‎1‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ 二、解答题 ‎ ‎ ‎ 已知p：‎∀m∈[−1,1]‎，a‎2‎‎−5a−3≥‎m‎2‎‎+8‎；q：‎∃x∈R，x‎2‎‎+ax+2<0‎成立.若p为真而q为假，求a的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎ 设Z‎1‎是虚数，Z‎2‎‎=Z‎1‎+‎‎2‎Z‎1‎是实数，且‎−1≤Z‎2‎≤2‎． ‎ ‎(1)‎求‎|Z‎1‎|‎的值以及Z‎1‎的实部的取值范围；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若ω=‎‎2‎‎−‎Z‎1‎‎2‎‎+‎Z‎1‎，求证ω为纯虚数．‎ ‎ ‎ ‎ 已知a是实数，函数f(x)=x‎2‎(x−a)‎．求f(x)‎在区间‎[−1, 0]‎上的最大值． ‎ ‎ ‎ ‎ 某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走‎5‎千步可获积分‎30‎分（不足‎5‎千步不积分），每多走‎2‎千步再积‎20‎分（不足‎2‎千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了‎1000‎名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为‎[3, 5)‎,‎[5, 7)‎,‎[7, 9)‎,‎[9, 11)‎,‎[11, 13)‎,‎[13, 15)‎,‎[15, 17)‎,‎[17, 19)‎,‎[19, 21]‎九组，整理得到如下频率分布直方图： ‎ ‎(1)‎从当天步数在‎[11, 13)‎，‎[13, 15)‎，‎[15, 17)‎的会员中按分层抽样的方式抽取‎6‎人，再从这‎6‎人中随机抽取‎2‎人，求这‎2‎人积分之和不少于‎220‎分的概率；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求该组数据的中位数.‎ ‎ ‎ ‎ 如图，已知定点D(2,0)‎，点P是圆C:(x+2‎)‎‎2‎+y‎2‎=36‎上任意一点，线段PD的垂直平分线与半径CP相交于点M. ‎ ‎(1)‎当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程 ‎ ‎ ‎(2)‎过定点Q(0,1)‎且斜率为k的直线l与M的轨迹交于A,B两点，若OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=−6‎，求点O到直线l的距离.‎ ‎ ‎ ‎ 已知f(x)=x−ax−(a+1)lnx. ‎ ‎(1)‎当a=−1‎时，以P‎2,‎‎5‎‎2‎为切点作曲线y=f(x)‎的切线，求切线的方程；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎，使fx‎0‎>‎x‎0‎成立，求a的取值范围.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2018-2019学年湖北黄冈高二下数学期中试卷 一、选择题 ‎1.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 ‎【解析】‎ 先将复数z+iz化简为代数形式，再根据复数实部的概念作答 ‎【解答】‎ 解：z=‎1+2i‎2−i=‎‎(1+2i)(2+i)‎‎(2−i)(2+i)‎ ‎=‎5i‎5‎=i． ∴ 其共轭复数z‎¯‎‎=−i， 故虚部是‎−1‎． 故选D．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 抛物线的性质 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：由抛物线的性质可得y‎2‎‎=4x的准线方程为x=−1‎. 故选B. ‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：由图可得： ‎1‎班的极差为：‎22−8=14‎， ‎2‎班的中位数为：‎9+10‎‎2‎‎=9.5‎. 故选A. ‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 椭圆的定义 必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎【解析】‎ m>n>0‎‎，显然方程x‎2‎m‎2‎‎+y‎2‎n‎2‎=1‎表示椭圆；方程x‎2‎m‎2‎‎+y‎2‎n‎2‎=1‎表示椭圆不能推出m>n>0‎，从而得知正确答案．‎ ‎【解答】‎ 解：若m>0，n>0‎，且m≠n，则方程x‎2‎m‎+y‎2‎n=1‎表示椭圆，前者是后者的充分条件； 方程x‎2‎m‎+y‎2‎n=1‎表示椭圆，只需m>0‎，n>0‎，且m≠n即可，后者能推出前者， 故前者是后者的充分必要条件. 故选C．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 函数奇偶性的性质 函数的图象 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：因为f(x)‎为奇函数，所以选项B错误； 又fπ‎2‎=ex‎2‎‎+‎e‎−‎π‎2‎sinπ‎2‎e‎2‎=eπ‎2‎‎+‎e‎−‎π‎2‎e‎2‎>0‎，所以选项D错误； f‎′‎π‎2‎‎=eπ‎2‎‎−‎e‎−‎π‎2‎sinπ‎2‎+eπ‎2‎‎+‎e‎−‎π‎2‎cosπ‎2‎e‎2‎>0‎，所以选项C错误. 故选A. ‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 程序框图 ‎【解析】‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：∵ i的初始为‎1‎，每进行一次加法i+1‎， 根据所要计算内容的规律，得知共进行‎1008‎次之后i符合①处的条件， ∴ ①处应该是i>1009‎， ②处应为n=n+2‎. 故选D. ‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 正弦函数的单调性 几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）‎ ‎【解析】‎ 根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由“此数小于‎1‎“求出构成的区域长度，再求出在区间‎[0, 3]‎上任取一个数x构成的区域长度，再求两长度的比值．‎ ‎【解答】‎ 解：当x∈[−‎5π‎6‎，−π‎6‎]‎时，y≤−‎‎1‎‎2‎， 此时P=‎−π‎6‎+‎‎5π‎6‎‎2π=‎‎1‎‎3‎． ∴ y≥−‎‎1‎‎2‎的概率为‎1−‎1‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎. 故选B．‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 抛物线的求解 椭圆的标准方程 ‎【解析】‎ 关键点M(2, y‎0‎)‎到该抛物线焦点的距离为‎3‎，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求‎|OM|‎．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y‎2‎‎=2px(p>0)‎ ∵ 点M(2, y‎0‎)‎到该抛物线焦点的距离为‎4‎， ∴ ‎2+p‎2‎=4，‎ ∴ p=4，‎ ∴ 抛物线方程为y‎2‎‎=8x，‎ ∵ M(2, y‎0‎)‎， ∴ y‎0‎‎2‎‎=16，‎ ∴ ‎|OM|=‎4+16‎=2‎5‎.‎ 故选D．‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 类比推理 ‎【解析】‎ 在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例．‎ ‎【解答】‎ 解：①在复数集C中，若两个复数满足a−b=0‎，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确； ②在有理数集Q中，由a+b‎2‎=c+d‎2‎得，‎(a−c)+‎2‎(b−d)=0‎，易得：a=c，b=d．故②正确； ③在复数范围内，a−b>0‎不能推出a>b，比如a=2+i，b=1+i，显然有a−b=1>0‎成立，但a，b不能比较大小，故③错误． 故选C．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】‎ 由导数的几何意义求出该点处切线的导数以及该点处的函数值，代入求值即可 ‎【解答】‎ 解：由题意函数f(x)‎的图象在点x=2‎处的切线方程是x+2y−5=0‎, f′(2)=−‎‎1‎‎2‎，f(2)=‎3‎‎2‎.‎ 故f(2)+f′(2)=1‎ 故选A．‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 椭圆的离心率 椭圆的定义 ‎【解析】‎ 设边PF‎1‎的中点为Q，连接F‎2‎Q，Rt△QF‎1‎F‎2‎中，算出‎|QF‎1‎|=c且‎|QF‎2‎|=‎3‎c，根据椭圆的定义得‎2a=|QF‎1‎|+|QF‎2‎|=(1+‎3‎)c，由此不难算出该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意，设边MF‎1‎的中点为Q，连接F‎2‎Q， 在‎△QF‎1‎F‎2‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 中，‎∠QF‎1‎F‎2‎=‎‎60‎‎∘‎，‎∠QF‎2‎F‎1‎=‎‎30‎‎∘‎ Rt△QF‎1‎F‎2‎中，‎|F‎1‎F‎2‎|=2c（椭圆的焦距）， ∴ ‎|QF‎1‎|=‎1‎‎2‎|F‎1‎F‎2‎|=c，‎|QF‎2‎|=‎3‎‎2‎|F‎1‎F‎2‎|=‎3‎c, 根据椭圆的定义，得‎2a=|QF‎1‎|+|QF‎2‎|=(1+‎3‎)c, ∴ 椭圆的离心率为e=ca=‎2c‎(1+‎3‎)c=‎3‎−1‎, 故选C.‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 导数在最大值、最小值问题中的应用 ‎【解析】‎ 将两个函数作差，得到函数y=f(x)−g(x)‎，再求此函数的最小值对应的自变量x的值．‎ ‎【解答】‎ 解：设函数y=f(x)−g(x)=2x‎2‎−lnx，求导数得 y‎′‎‎=4x−‎1‎x=‎4x‎2‎−1‎x.‎ 当‎0‎‎1‎‎2‎时，y′>0‎，函数在‎(‎1‎‎2‎，+∞)‎上为单调增函数 所以当x=‎‎1‎‎2‎时，所设函数的最小值为‎1‎‎2‎‎−ln‎1‎‎2‎.‎ 所求t的值为‎1‎‎2‎‎.‎ 故选B.‎ 二、解答题 ‎【答案】‎ 解：若p成立，由m∈[−1, 1]‎得m‎2‎‎+8‎‎∈[2‎2‎,3]‎， 即a‎2‎‎−5a−3≥3‎，解得a≥6‎或a≤−1‎； 若q成立，则不等式中Δ>0‎，解得a>2‎‎2‎或a<−2‎‎2‎； 若p真q假，则‎−2‎2‎≤a≤−1‎.‎ ‎【考点】‎ 复合命题及其真假判断 一元二次不等式的解法 ‎【解析】‎ 分别求出命题p和q中m的范围和a的范围，若“p或q”为真，“p且q”为假，可知命题p与q一真一假，从而求出a的取值范围；‎ ‎【解答】‎ 解：若p成立，由m∈[−1, 1]‎得m‎2‎‎+8‎‎∈[2‎2‎,3]‎， 即a‎2‎‎−5a−3≥3‎，解得a≥6‎或a≤−1‎； 若q成立，则不等式中Δ>0‎，解得a>2‎‎2‎或a<−2‎‎2‎； 若p真q假，则‎−2‎2‎≤a≤−1‎.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎解：设Z‎1‎‎=a+bi，‎(a，b∈R，且b≠0)‎， 则Z‎2‎‎=Z‎1‎+‎2‎Z‎1‎=a+bi+‎‎2‎a+bi ‎=(a+‎2aa‎2‎‎+‎b‎2‎)+(b−‎2ba‎2‎‎+‎b‎2‎)i， ∵ Z‎2‎是实数，b≠0‎，∴ a‎2‎‎+b‎2‎=2‎，即‎|Z‎1‎|=‎‎2‎，且Z‎2‎‎=2a， 由‎−1≤Z‎2‎≤2‎，得‎−1≤2a≤2‎，解得‎−‎1‎‎2‎≤a≤1‎， 即Z‎1‎的实部的取值范围为‎[−‎1‎‎2‎, 1]‎．‎ ‎(2)‎证明：ω=‎2‎‎−‎Z‎1‎‎2‎‎+‎Z‎1‎=‎‎2‎‎−a−bi‎2‎‎+a+bi ‎=‎2−a‎2‎−b‎2‎−2‎2‎bi‎(‎2‎+a‎)‎‎2‎+‎b‎2‎=‎−ba+‎‎2‎i， ∵ a∈[−‎1‎‎2‎, 1]‎，b≠0‎， ∴ ‎−ba+‎‎2‎‎≠0‎， 故ω是纯虚数．‎ ‎【考点】‎ 复数的模 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 ‎【解析】‎ ‎（1）设z‎1‎‎=a+bi，‎(a，b∈R，且b≠0)‎，则z‎2‎‎=z‎1‎+‎1‎z‎1‎=(a+aa‎2‎‎+‎b‎2‎)+(b−ba‎2‎‎+‎b‎2‎)‎，由z‎1‎是实数，得a‎2‎‎+b‎2‎=1‎，由此求出z‎1‎的实部的取值范围为‎[−‎1‎‎2‎, ‎1‎‎2‎]‎．‎ ‎（2）ω=‎1−‎Z‎1‎‎1+‎Z‎1‎=‎1−a−bi‎1+a+bi=‎1−a‎2‎−b‎2‎−2bi‎(1+a‎)‎‎2‎+‎b‎2‎=ba+1‎i，由此能证明ω=‎‎1−‎Z‎1‎‎1+‎Z‎1‎是纯虚数．‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解：设Z‎1‎‎=a+bi，‎(a，b∈R，且b≠0)‎， 则Z‎2‎‎=Z‎1‎+‎2‎Z‎1‎=a+bi+‎‎2‎a+bi ‎=(a+‎2aa‎2‎‎+‎b‎2‎)+(b−‎2ba‎2‎‎+‎b‎2‎)i， ∵ Z‎2‎是实数，b≠0‎，∴ a‎2‎‎+b‎2‎=2‎，即‎|Z‎1‎|=‎‎2‎，且Z‎2‎‎=2a， 由‎−1≤Z‎2‎≤2‎，得‎−1≤2a≤2‎，解得‎−‎1‎‎2‎≤a≤1‎， 即Z‎1‎的实部的取值范围为‎[−‎1‎‎2‎, 1]‎．‎ ‎(2)‎证明：ω=‎2‎‎−‎Z‎1‎‎2‎‎+‎Z‎1‎=‎‎2‎‎−a−bi‎2‎‎+a+bi ‎=‎2−a‎2‎−b‎2‎−2‎2‎bi‎(‎2‎+a‎)‎‎2‎+‎b‎2‎=‎−ba+‎‎2‎i， ∵ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ a∈[−‎1‎‎2‎, 1]‎，b≠0‎， ∴ ‎−ba+‎‎2‎‎≠0‎， 故ω是纯虚数．‎ ‎【答案】‎ 解：令f‎′‎‎(x)=0‎， 解得x‎1‎‎=0，x‎2‎=‎‎2a‎3‎． ①当‎2a‎3‎‎≥0‎，即a≥0‎时，f(x)‎在‎[−1, 0]‎上单调递增， 从而f(x‎)‎max=f(0)=0‎． ②当‎2a‎3‎‎≤−1‎时，即a≤−‎‎3‎‎2‎时，f(x)‎在‎[−1, 0]‎上单调递减， 从而f(x‎)‎max=f(−1)=−1−a． ③当‎−1<‎2a‎3‎<0‎，即‎−‎3‎‎2‎‎x‎0‎成立， 所以存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎，使a+(a+1)x‎0‎lnx‎0‎<0‎成立， 令g(x)=a+(a+1)xlnx， 则g‎′‎‎(x)=(a+1)(lnx+1)‎.‎ ‎①若‎(a+1)>0‎， 则x∈‎‎0,‎‎1‎e时，g‎′‎‎(x)<0‎， g(x)‎为减函数;‎ x∈‎‎1‎e‎,+∞‎时，g‎′‎‎(x)>0‎， g(x)‎为增函数.‎ 所以当x=‎‎1‎e时, g(x‎)‎min=a+(a+1)‎1‎eln‎1‎e=‎a(e−1)−1‎e. 由a(e−1)−1‎e‎<0，‎a+1>0‎，‎ 得‎−11‎时，有g(x)<0‎恒成立，即存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎，‎ 使a+(a+1)x‎0‎lnx‎0‎<0‎，‎ 综上，a的取值范围是‎−∞,‎‎1‎e−1‎.‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎因为a=−1‎， 所以f(x)=x+‎1‎x, f‎′‎(x)=1−‎‎1‎x‎2‎.‎ 则f‎′‎‎(2)=1−‎1‎‎4‎=‎‎3‎‎4‎.‎ 则切线方程为y=‎3‎‎4‎(x−2)+‎5‎‎2‎=‎3‎‎4‎x+1‎.‎ 所以切线方程为‎3x−4y+4=0‎.‎ ‎(2)‎因为存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎，使fx‎0‎>‎x‎0‎成立， 所以存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎，使a+(a+1)x‎0‎lnx‎0‎<0‎成立， 令g(x)=a+(a+1)xlnx， 则g‎′‎‎(x)=(a+1)(lnx+1)‎.‎ ‎①若‎(a+1)>0‎， 则x∈‎‎0,‎‎1‎e时，g‎′‎‎(x)<0‎， g(x)‎为减函数;‎ x∈‎‎1‎e‎,+∞‎时，g‎′‎‎(x)>0‎， g(x)‎为增函数.‎ 所以当x=‎‎1‎e时, g(x‎)‎min=a+(a+1)‎1‎eln‎1‎e=‎a(e−1)−1‎e. 由a(e−1)−1‎e‎<0，‎a+1>0‎，‎ 得‎−11‎时，有g(x)<0‎恒成立，即存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎，‎ 使a+(a+1)x‎0‎lnx‎0‎<0‎，‎ 综上，a的取值范围是‎−∞,‎‎1‎e−1‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页