【数学】2018届一轮复习人教A版 集合 学案 12页

第1讲　集　合 最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.‎ 知 识 梳 理 ‎1.元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.‎ ‎2.集合间的基本关系 ‎(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.‎ ‎(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.‎ ‎(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.‎ ‎(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.‎ ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合关系与运算的常用结论 ‎(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.‎ ‎(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.‎ ‎(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.‎ ‎(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)任何集合都有两个子集.(　　)‎ ‎(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(　　)‎ ‎(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)‎ ‎(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)‎ 解析　(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.‎ ‎(3)错误.当x＝1，不满足互异性.‎ ‎(4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)‎ A.{a}⊆A B.a⊆A C.{a}∈A D.a∉A 解析　由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝2，知a∉ A.‎ 答案　D ‎3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)‎ A.{1，3} B.{3，5}‎ C.{5，7} D.{1，7}‎ 解析　因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.‎ 答案　B ‎4.(2017·杭州模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)等于(　　)‎ A.{1，4} B.{1，5} C.{2，5} D.{2，4}‎ 解析　由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，4}.‎ 答案　D ‎5.(2017·绍兴调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则A∪B＝________，(∁UA)∩B＝________.‎ 解析　∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，∴A∪B＝{x|x≥0}，(∁UA)∩B＝{x|0≤x<2}.‎ 答案　{x|x≥0}　{x|0≤x<2}‎ ‎6.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.‎ 解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.‎ 答案　2‎ 考点一　集合的基本概念 ‎【例1】 (1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A.1 B‎.3 ‎ C.5 D.9‎ ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B. C.0 D.0或 解析　(1)当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；‎ 当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；‎ 当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.‎ 根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.‎ ‎(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.‎ 当a＝0时，x＝，符合题意；‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－‎8a＝0，得a＝，‎ 所以a的取值为0或.‎ 答案　(1)C　(2)D 规律方法　(1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.‎ ‎(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.‎ ‎【训练1】 (1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.‎ ‎(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.‎ 解析　(1)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，‎ 所以a＋b＝0，且b＝1，‎ 所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.‎ ‎(2)由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，‎ 当a＝0时，x＝不合题意，舍去；‎ 当a≠0时，Δ＝9＋‎8a<0，∴a<－.‎ 答案　(1)2　(2) 考点二　集合间的基本关系 ‎【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)‎ A.AB B.BA C.A⊆B D.B＝A ‎(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋10}，且B⊆A，则集合B可能是(　　)‎ A.{1，2} B.{x|x≤1}‎ C.{－1，0，1} D.R ‎(2)(2016·郑州调研)已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为(　　)‎ A.2 B.－1‎ C.－1或2 D.或2‎ 解析　(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确.‎ ‎(2)由＝，得x＝2，则A＝{2}.‎ 因为B＝{1，m}且A⊆B，‎ 所以m＝2.‎ 答案　(1)A　(2)A 考点三　集合的基本运算 ‎【例3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)‎ A.5 B‎.4 ‎ C.3 D.2‎ ‎(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝(　　)‎ A.[2，3] B.(－2，3]‎ C.[1，2) D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)‎ 解析　(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.‎ ‎(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.‎ ‎∴∁RQ＝{x|－20}，B＝{x|x≤1}，则(　　)‎ A.A∩B≠∅ B.A∪B＝R C.B⊆A D.A⊆B 解析　由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.‎ 答案　B ‎4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－1] B.[1，＋∞)‎ C.[－1，1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)‎ 解析　因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，‎ 得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].‎ 答案　C ‎5.(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝(　　)‎ A.(－1，1) B.(0，1)‎ C.(－1，＋∞) D.(0，＋∞)‎ 解析　由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞).‎ 又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).‎ 因此A∪B＝(－1，＋∞).‎ 答案　C ‎6.(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝(　　)‎ A.{1} B.{3，5}‎ C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}‎ 解析　∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴∁UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}.‎ 答案　C ‎7.若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)‎ A.1 B‎.3 ‎ C.7 D.31‎ 解析　具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：‎ ‎{－1}，，.‎ 答案　B ‎8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)‎ A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}‎ C.{x|0≤x≤1} D.{x|00}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，‎ ‎∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.‎ 答案　(－∞，1]‎ ‎10.(2017·宁波调研)集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A∩B＝________；A∪B＝________；∁BA＝________.‎ 解析　A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A⊆B，∴|x|＝1，∴A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1}，∁BA＝{－1}.‎ 答案　{0，1}　{－1，0，1}　{－1}‎ ‎11.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.‎ 解析　由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，‎ ‎∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，‎ ‎∴A－B＝[－1，0).‎ 答案　[－1，0)‎ ‎12.(2017·湖州质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x2 017，则m>2 016.‎ 答案　(2 016，＋∞)‎ ‎13.(2017·金华模拟)设集合A＝{x∈N|∈N}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A＝________，B＝________，A∩(∁RB)＝________.‎ 解析　当x＝0，1，2，5时，的值分别为6，3，2，1，当x∈N且x≠0，1，2，5时，∉N，∴A＝{0，1，2，5}，由x－1>0，得x>1，∴B＝{x|x>1}，∁RB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁RB)＝{0，1}.‎ 答案　{0，1，2，5}　{x|x>1}　{0，1}‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：10分钟)‎ ‎14.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁RS)∩T＝(　　)‎ A.[2，3] B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)‎ C.(2，3) D.(0，＋∞)‎ 解析　易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁RS＝(2，3)，‎ 因此(∁RS)∩T＝(2，3).‎ 答案　C ‎15.(2016·黄山模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝‎ ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}‎ C.{x|00，知B＝{x|x>3或x<0}，‎ ‎∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.‎ 答案　1‎ ‎17.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.‎ 解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5