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- 2021-05-08 发布
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专题16 不等式选讲
选考内容
（二）不等式选讲
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1） .
（2）.
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
.
2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.
（1）柯西不等式的向量形式：
（2）.
（3）.
（此不等式通常称为平面三角不等式.）
3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
4．会用向量递归方法讨论排序不等式.
5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明 一些简单问题.
6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：
了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.
7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值.
8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等.
2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等.
3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注.
考向一 绝对值不等式的求解
样题1 （2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数，.
（1）当a=1时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
所以的取值范围为.
【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.
考向二 含绝对值不等式的恒成立问题
样题2 已知函数.
(1)当时,求的解集;
(2)若不等式对任意实数恒成立,求的取值范围.
样题3 已知函数.
(1)若不等式的解集为,求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意知,不等式的解集为,
由得,
∴，解得.
(2)不等式等价于,
因为不等式对任意恒成立,
所以,
因为,
所以,解得或.
考向三 不等式的证明
样题4 已知函数的单调递增区间为.
（1）求不等式的解集；
（2）设，证明：.
