新课标高一数学同步测试11(必修2-14套) 6页

高 中 学 生 学 科 素 质 训 练 新课标高一数学同步测试 空间直角坐标系 YCY 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共 150 分. 第Ⅰ卷（选择题，共 50 分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）. 1．在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z），给出下列 4 条叙述： ①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是（x，－y，z） ②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是（x，－y，－z） ③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是（x，－y，z） ④点 P 关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z） 其中正确的个数是 （ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．若已知 A（1，1，1）， B（－3，－3，－3），则线段 AB 的长为 （ ） A．4 3 B．2 C．4 2 D．3 3．已知 A（1，2，3）， B（3，3，m）， C（0，－1，0）， D（2，―1，―1），则 （ ） A．||AB >||CD B． < C． ≤ D． ≥ 4．设 A（3，3，1）， B（1，0，5）， C（0，1，0）， AB 的中点 M，则||CM  （ ） A． 53 4 B． 53 2 C． 53 2 D． 13 2 5．如图，三棱锥 A－BCD 中，AB⊥底面 BCD，BC⊥CD，且 AB=BC=1， CD=2，点 E 为 CD 的中点，则 AE 的长为（ ） A． B． C． 2 D． 5 6．点 B 是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的射影，则 OB 等于 （ ） A． 14 B． 13 C． 32 D． 11 7．已知 ABCD 为平行四边形，且 A（4，1，3）， B（2，－5，1）， C（3，7，－5），则点 D 的坐标为 （ ） A．（ 2 7 ，4，－1） B．（ 2，3，1） C．（－3，1，5） D．（ 5，13，－3） 8．点 ),,( cbaP 到坐标平面 xOy 的距离是 （ ） A． 22 ba  B．c C． c D． ba  9．已知点 )11,2,1( A ， )3,2,4(B ， )15,,( yxC 三点共线，那么 yx, 的值分别是 （ ） A． 2 1 ，4 B．1，8 C． 2 1 ，－4 D．－1，－8 10．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是（ ） A． 2 6 B． 3 C． 2 3 D． 3 6 第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分） 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）． 11．如右图，棱长为 3a 正方体 OABC－ ' ' ' 'D A B C ， 点 M 在| ' ' |BC 上，且| ' |CM 2| ' |MB ，以 O 为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点 M 的坐标为 ． 12．如右图，为一个正方体截下的一角 P－ABC， ||PA a ，||PB b ，||PC c ，建立如图坐标 系，求△ABC 的重心 G 的坐标 _ _． 13．若 O（0，0，0）， P（x，y，z），且| | 1OP  ，则 2 2 2 1x y z   表示的图形是 _ _． 14．已知点 A（－3，1，4），则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为 ；AB 的长为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)． 15．（ 12 分）如图，长方体 ' ' ' 'ABCD A B C D 中，| | 3AD  ，| | 5AB  ，| ' | 3AA  ，设 E 为 'DB 的中点，F 为 'BC 的中点，在给定的空间直角坐标系 D－xyz 下，试写出 A，B， C，D， 'A ， 'B ， 'C ， 'D ，E，F 各点的坐标． 16．（ 12 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，且边长为 2a，棱 PD⊥底 面 ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点 E，F，G，H，写出点 E，F，G，H 的坐标． 17．（ 12 分）如图，已知矩形 ABCD 中，| | 3AD  ，| | 4AB  ．将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得面 BCD⊥面 ABD．现以 D 为原点，DB 作为 y 轴的正方向，建立如图空间直 角坐标系，此时点 A 恰好在 xDy 坐标平面内．试求 A，C 两点的坐标． 18．（ 12 分）已知 )11,2,1( A ， )3,2,4(B ， )4,1,6( C ，求证其为直角三角形． 19．（ 14 分）如图，已知正方体 ' ' ' 'ABCD A B C D 的棱长为 a，M 为 'BD 的中点，点 N 在 'AC 上，且| ' | 3| '|A N NC ，试求 MN 的长． 20．（ 14 分）在空间直角坐标系中，已知 A（3，0，1）和 B（1，0，－3），试问 （1）在 y 轴上是否存在点 M，满足| | | |MA MB ？ （2）在 y 轴上是否存在点 M，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 坐标． 参考答案（十一） 一、CADCB BDCCA 二、11．（ 2a，3a，3a）； 12．G（ 3,3,3 bca ） ； 13．以原点 O 为球心，以 1 为半径的球面； 14．（3，－1，－4）； 2 26 ； 三、 15．解：设原点为 O，因为 A，B，C，D 这 4 个点都在坐标平面 xOy 内， 它们的竖坐标都是 0，而它们的横坐标和纵坐标可利用| | 3AD  ，| | 5AB  写出， 所以 A（3，0，0）， B（3，5，0）， C（0，5，0）， D（0，0，0）； 因为平面 ' ' ' 'A B C D 与坐标平面 xOy 平行，且| ' | 3AA  ，所以 A'，B'， 'C ，D'的竖坐标 都是 3，而它们的横坐标和纵坐标分别与 A，B，C，D 的相同，所以 'A （3，0，3）， 'B （3， 5，3）， （0，5，3）， 'D （0，0，3）； 由于 E 分别是 'DB 中点，所以它在坐标平面 xOy 上的射影为 DB 的中点，从而 E 的横坐标和纵坐标 分别是 的 1 2 ，同理 E 的竖坐标也是 的竖坐标的 ，所以 E（ 3 5 3,,222 ）； 由 F 为 'BC 中点可知，F 在坐标平面 xOy 的射影为 BC 中点，横坐标和纵坐标分别为 3 2 和 5，同理 点 F 在 z 轴上的投影是 AA'中点，故其竖坐标为 ，所以 F（ ，5， ）． 16．解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以 D 为原点，建立如图空间坐标系 D－xyz． 因为 E，F，G，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面 EFGH 与底面 ABCD 平行， 从而这 4 个点的竖坐标都为 P 的竖坐标的一半，也就是 b， 由 H 为 DP 中点，得 H（0，0，b） E 在底面面上的投影为 AD 中点，所以 E 的横坐标和纵坐标分别为 a 和 0，所以 E（a，0，b）， 同理 G（0，a，b）； F 在坐标平面 xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G，故 F 与 E 横坐标相同都是 a， 与 G 的纵坐标也同为 a，又 F 竖坐标为 b，故 F（a，a，b）． 17．解： 由于面 BCD⊥面 ABD，从面 BCD 引棱 DB 的垂线 CF 即为面 ABD 的垂线，同理可得 AE 即 为面 BCD 的垂线，故只需求得 DFDECFAE ,,, 的长度即可。 最后得 A（12 9, ,055 ）， C（0,16 12,55 ） 18．略解：利用两点间距离公式， 由 89AB ， 75AC ， 14BC ，从而 222 ABBCAC  ，结论得证. 19．解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为 a， 所以 B（a，a，0）， A'（a，0，a）， （0，a，a）， （0，0，a）． 由于 M 为 'BD 的中点，取 ''AC 中点 O'，所以 M（ 2 a ， ， ）， O'（ ， ，a）． 因为| ' | 3| '|A N NC ，所以 N 为 的四等分，从而 N 为 ''OC 的中点，故 N（ 4 a ，3 4 a ，a）． 根据空间两点距离公式，可得 2 2 236| | ( ) ( ) ( )2 4 2 4 2 4 a a a a aMN a a       ． 20．解：（1）假设在在 y 轴上存在点 M，满足| | | |MA MB ． 因Ｍ在 y 轴上，可设 M（0，y，0）， 由 ，可得 2 2 2 2 2 23 1 1 3yy     ， 显然，此式对任意 yR 恒成立．这就是说 y 轴上所有点都满足关系 ． （2）假设在 y 轴上存在点 M，使△MAB 为等边三角形． 由（1）可知，y 轴上任一点都有 ，所以只要| | | |MA AB 就可以使得△MAB 是等 边三角形． 因为 2 2 2 2| | (3 0) (0 ) (1 0) 10MA y y        2 2 2| | (1 3) (0 0) ( 3 1) 20AB         于是 210 20y ，解得 10y  故 y 轴上存在点 M 使△MAB 等边，M 坐标为（0， 10 ，0）， 或（0， 10 ，0）．