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- 2021-04-12 发布
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第三章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin105°cos105°的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 原式＝sin210°＝－sin30°＝－.
答案 B
2．若sin2α＝，<α<，则cosα－sinα的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析 (cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－＝.
又<α<，
∴cosαcos28°>cos30°，即b>a>c.
答案 A
8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tanA·tanB与1的大小关系为( )
A．tanA·tanB>1 B. tanA·tanB<1
C．tanA·tanB＝1 D．不能确定
解析 在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．
则有tanA>0，tanB>0，tanC<0.
又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，
∴tanC＝－tan(A＋B)＝－<0，
易知1－tanA·tanB>0，
即tanA·tanB<1.
答案 B
9．函数f(x)＝sin2－sin2是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解析 f(x)＝sin2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos
＝sin2x.
答案 A
10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是( )
A．[－2,2] B.
C. D.
解析 y＝cos2x＋cosxsinx＝＋sin2x
＝＋
＝＋sin(2x＋)．∵x∈R，
∴当sin＝1时，y有最大值；
当sin＝－1时，y有最小值.
∴值域为.
答案 C
11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为( )
A. B.
C．± D．±
解析 由sin(π－θ)＝，得sinθ＝.
∵θ为第二象限的角，∴cosθ＝－.
∴cos＝± ＝± ＝±.
答案 C
12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，则cosα的值为( )
A. B.
C.或 D．以上都不对
解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝>0，
∴0<α＋β<，sin(α＋β)＝.
∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝>0，
∴0<2α＋β<，sin(2α＋β)＝.
∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)
＝×＋×＝.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．若＝2012，则＋tan2α＝______.
解析 ＋tan2α＝
＝
＝＝＝＝2012.
答案 2012
14．已知cos2α＝，则sin4α＋cos4α＝________.
解 ∵cos2α＝，
∴sin22α＝.
∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α
＝1－sin22α＝1－×＝.
答案
15.＝________.
解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，
∴原式＝＝.
答案
16．关于函数f(x)＝cos(2x－)＋cos(2x＋)，则下列命题：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)最小正周期是π；
③y＝f(x)在区间上是减函数；
④将函数y＝cos2x的图像向右平移个单位后，将与已知函数的图像重合．
其中正确命题的序号是________．
解析 f(x)＝cos＋cos
＝cos＋sin
＝cos－sin
＝·
＝cos
＝cos，
∴y＝f(x)的最大值为，最小正周期为π，故①，②正确．
又当x∈时，2x－∈[0，π]，∴y＝f(x)在上是减函数，故③正确．
由④得y＝cos2＝cos，故④正确．
答案 ①②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知向量m＝，n＝(sinx,1)，m与n为共线向量，且α∈.
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
解 (1)∵m与n为共线向量，
∴×1－(－1)×sinα＝0，
即sinα＋cosα＝.
(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，
∴sin2α＝－.
∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝.
又∵α∈，∴sinα－cosα<0.
∴sinα－cosα＝－.
∴＝.
18．(12分)求证：＝.
证明 左边＝
＝
＝
＝＝
＝＝.
∴原等式成立．
19．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f＝2cos＋sin2－4cos
＝2×＋2－4×
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1＝32－，
∵x∈R，cosx∈[－1,1]，
∴当cosx＝－1时，f(x)有最大值6；
当cosx＝时，f(x)有最小值－.
20．(12分)已知cos＝，x∈.
(1)求sinx的值；
(2)求sin的值．
解 (1)解法1：∵x∈，
∴x－∈，
于是sin＝ ＝.
sinx＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
解法2：由题设得
cosx＋sinx＝，
即cosx＋sinx＝.
又sin2x＋cos2x＝1，
从而25sin2x－5sinx－12＝0，
解得sinx＝，或sinx＝－，
因为x∈，所以sinx＝.
(2)∵x∈，故
cosx＝－＝－＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－.
cos2x＝2cos2x－1＝－.
∴sin
＝sin2xcos＋cos2xsin
＝－.
21．(12分)已知函数
f(x)＝4cosxsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝4cosxsin－1
＝4cosx－1
＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x
＝2sin
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
当2x＋＝时，即x＝，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－时，即x＝－，f(x)取得最小值－1.
22．(12分)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
解 (1)∵f(x)＝sin＋sin
＝sin＋sin＝2sin，
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝，
cosβcosα－sinβsinα＝－.
两式相加，得2cosβcosα＝0，
∵0<α<β≤，∴β＝.
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
