8年级数学教案第4讲：全等三角形模型 7页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 全等三角形模型 教学内容 ‎1．掌握一线三直角、手拉手的三角形全等模型，并会运用解决相关的几何证明问题；‎ ‎2．掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理，并会应用定理解决相关的几何证明问题．‎ ‎（此环节设计时间在10-15分钟）‎ 说明：根据上次课的预习内容（一线三直角），要求学生相互讨论图1的解题过程和答案，再根据图1的解题思路独立完成图2和图3。‎ 在平面直角坐标系中，A（0 ， 3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B的坐标；‎ ‎（1）如图1，当点C为直角顶点：B（ ， ）；‎ ‎（2）如图2，当点B为直角顶点：B（ ， ）；‎ ‎（3）如图3，当点A为直角顶点：B（ ， ）．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（此环节设计时间在50-60分钟）‎ 案例1：如图，△ABC与△ADE是等边三角形，‎ ‎（1）观察图1，CE与BD的数量关系是： ，直线CE与直线BD的所夹的角度大小为： ；（填锐角）‎ ‎（2）如图2和图3，（1）中的结论是否还成立？如果成立，请选择一个图形说明理由；如果不成立，请写出此时的结论，‎ 答案：（1）CE=BD，60°‎ ‎（2）图2和图3时，（1）中结论仍成立；选择图2证明如下:‎ ‎∵ △ABC与△ADE是等边三角形，‎ ‎∴ AB=AC，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°‎ ‎∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD 即：∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE ‎∴ △ABD≌△ACE（SAS） ∴ BD=CE 延长BD交CE延长线于F，‎ ‎∵△ABD≌△ACE ∴∠ABD=∠ACE ‎∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-∠CBF-∠BAC-∠ACE=180°-∠CBF-∠BAC-∠ABD=60°‎ 思考：本题可以理解为△ADE绕点A旋转，有2种特殊情况（点D在AC和AB上时）需要学生掌握。 ‎ 案例2：如图甲，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，‎ 问题1：若∠A=40°，求∠NMB的大小．‎ 问题2：如图乙，如果将问题1中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．‎ 问题3：根据问题1，2的计算，你能发现其中的蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明．‎ 问题4：如图丙，将问题1中的∠A改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论．‎ 答案：‎ 问题1: ∠NMB =20°‎ 问题2：∠NMB=35°‎ 问题3：等腰三角形腰上的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半；‎ 证明如下：设∠A=α，则有∠B=（180°-α） ∠NMB=90°-（180°-α）=α 问题4：不需修改，当∠A=120°时，∠NMB=60°，结论成立 案例3：如图，△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线相交于点P，求证：BP为∠ABC的平分线。‎ ‎ ‎ 问题1：如图，过P作PD⊥BA于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F.‎ ‎∵PA平分∠MAC ‎∴PD=PE 同理可得PE=PF ‎∴PD=PF. ‎ 又∵PD⊥BM，PF⊥BC， ‎ ‎∴点P在∠ABC的平分线上，即BP为∠ABC的平分线. ‎ 此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习+10分钟互动讲解）。‎ ‎1．在平面直角坐标系中，点P（1，2），当△PAO是等腰直角三角形，点A的坐标为 ‎ ‎ （至少写出4个）‎ ‎2．如图，点C是线段AE上的一点，在AE同侧作等边三角形△ABC和△CDE，联结AD、BE，分别交BC、CD于点P、Q，BE与AD交于点O，联结PQ；‎ 下列结论：①△ACD≌△BCE；②AP=BQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°；⑤DP=QE．其中正确的结论有 ，说明理由；‎ ‎3．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．‎ ‎ ‎ 答案：1．（3，1）或（-1，3）或（2，-1）或（-2，1）或或 ‎2．①②③④⑤；‎ ‎3．答案：BM=CN．理由：联结BD，CD，‎ ‎∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，‎ ‎∴DM=DN，‎ ‎∵DE垂直平分BC，‎ ‎∴BD=CD，‎ 在Rt△BMD与Rt△CND中 ‎∵BD＝CD，DM＝DN ‎∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），‎ ‎∴BM=CN．‎ 补充类提高题 ‎1．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN， ‎ ‎（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； ‎ ‎（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ ‎（3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，∠ABC=∠ADC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论．‎ ‎（图1）‎ ‎ ‎（图2）‎ ‎‎（图3）‎ 答案：（1）关系是：AD+AB=AC 证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120° ∴∠CAD=∠CAB=60° 又∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠ACD=∠ACB=30° 则AD=AB=AC ∴AD+AB=AC （2）仍成立． 证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F ∵AC平分∠MAN ∴CE=CF ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180° ∴∠CDE=∠ABC 又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS） ∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF 由（1）知：AE+AF=AC ∴AD+AB=AC ‎（3）不成立，AB-AD=AC．‎ ‎（此环节设计时间在5-10分钟内）‎ 让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 一线三直角模型：‎ 图形旋转模型：‎ 线段垂直平分线模型：‎ 角平分线模型：‎ ‎1．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，∠B=35°，∠BDA=120°，,则∠CAF的度数为（ ）‎ A、25° B、35° C、45° D、60°‎ 答案：B ‎2．如图①，E是AB延长线上一点，分别以AB、BE为一边在直线AE同侧作正方形ABCD和正方形BEFG，联结AG、CE． （1）试探究线段AG与CE的数量关系与位置关系： ； （2）将正方形BEFG绕点B逆时针旋转一个锐角后，如图②，问（1）中结论是否仍然成立，说明理由．‎ 答案： 2.（1）AG=CE，AG⊥CE． （2）AG=CE，AG⊥CE仍然成立． 理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°， ∵∠ABG=∠ABC-∠CBG，∠CBE=∠EBG-∠CBG， ∴∠ABG=∠CBE， 在△ABG和△CBE中， ∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBE，BG＝BE ∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴AG=CE．‎ 延长AG交CE于P，延长CE交AB延长线于Q，‎ ‎∵△ABG≌△CBE ‎ ‎∴∠BAG=∠BCE ‎∵∠BCE+∠CQB=90°‎ ‎∴∠BAG +∠CQB=90°‎ ‎∴∠APQ=90° 即AG⊥CE ‎3．如图，已知BC > AB，∠A+∠C=180º，BD平分∠ABC。‎ 求证：点D在线段AC的垂直平分线上。（要求使用角平分线定理）‎ 解析：根据角平分线定理来作辅助线，过点D作BA、BC的垂线 预习思考：‎ ‎1．等腰三角形的性质：‎ ‎（1）等腰三角形的两底角 ；‎ ‎（2）等腰三角形底边上的高，底边上的 ，顶角的 互相重合（三线合一）；‎ ‎2．等边三角形的性质：‎ 等边三角形每个角都等于 ，同样具有“三线合一”的性质；‎ ‎3．直角三角形的性质：‎ ‎（1）直角三角形两锐角 ；‎ ‎（2）直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的 ．‎ ‎（3）直角三角形中，斜边的中线等于斜边的_ ；‎ ‎（4）勾股定理： ．‎ ‎（5）在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于 。‎