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- 2024-04-29 发布
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定远民族中学2017-2018学年度上学期期末考试卷
高二（文科）数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题
1.一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B.
C. D.
2.给岀四个命题：
(1)若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
(2)为两个不同平面，直线，直线，且，,则a∥b;
(3为两个不同平面，直线，，则;
(4)为两个不同平面，直线，,则.
其中正确的是（ ）
A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）
3.α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（ ）
A.α⊥β，且a⊥β
B.α∩β=b，且a∥b
C.a∥b，且b∥α
D.α∥β，且a⊂β
4.如图,在直三棱柱中， ，过的中点作平面的垂线，交平面于，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 ( )
A. B. C. 4 D. 5
6.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则 ( )
A. BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B. EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C. HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D. EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
7.如图，面,B为AC的中点， ，且P到直线BD的距离为则的最大值为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
8.如图所示，在长方体中， ， ， ， ， 为线段上的动点，且， ， 为线段上的动点，且， 为棱上的动点，则四棱锥的体积（ ）
A. 不是定值，最大为 B. 不是定值，最小为
C. 是定值，等于 D. 是定值，等于
9.如图，在矩形中，点分别在边上， ,沿直线将翻折成，使二面角为直角，点分别在线段上，沿直线将四边形向上折起，使与重合，则线段（ ）
A. B. C. 1 D. 2
10.在正方体中， 是棱的中点， 是侧面内的动点，且平面，记与平面所成的角为，下列说法错误的是（ ）
A. 点的轨迹是一条线段 B. 与不可能平行
C. 与是异面直线 D.
11.在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
12.如图， 是用斜二测画法画出的直观图，其中， ， ， 轴，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题
13.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于 ．
14.如图为某几何体的三视图，则其体积为__________．
15.已知在直角梯形中， ， ， ，将直角梯形沿折成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为__________．
16.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边
固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形的面积不改变；
③棱始终与水面平行；
④当时， 是定值．
其中正确说法是__________．
三、解答题
17.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R分别在棱AB、BB1、CC1上，且PD、QR相交于点O．求证：O、B、C三点共线．
18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，点D是BC的中点，BC=BB1 ．
（1）求证：A1C∥平面AB1
D；
（2）M为棱CC1的中点，试证明：MB⊥AB1 ．
19.在三棱柱中，侧棱底面，，，。
（Ⅰ）若为线段上一点，且，求证：平面；
（Ⅱ）若分别是线段的中点，设平面将三棱柱分割成左、右两部分，记它们的体积分别为和，求。
20.如图，四棱锥中，底面是矩形， 底面， ， ，点是的中点，点在边上移动.
（1）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点在边的何处，都有.
21.如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，
,，点是线段上靠近点的三等分点.
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）若是边长为的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值.
22.在四棱锥中，底面是直角梯形， ， ， ，平面平面．
（Ⅰ）求证： 平面．
（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小．
（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A2.C3.D4.C5.B6.B7.B8.D9.A10.B11.B12.C
13.2
14.
15.
16.①③④
17.证明：∵QR∩PD=O，∴O∈QR且O∈PD，
∴O∈面BCC1B1且O∈面ABCD，
又面ABCD∩面BCC1B1=BC
∴O∈BC，
∴O、B、C三点共线．
18.证明：（1）连接A1B交AB1于E，
由题意知E是A1B中点，
∵点D是BC的中点，∴在△A1CB中ED是三角形的中位线，
∴ED∥A1C，
∵ED⊂平面AB1D，A1C不包含于平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．
（2）∵BC=BB1 ， ∴A1B1BA是菱形，∴AB1⊥A1B，
连结EM，AM，B1M，BM，A1M，
∵E是AB1中点，M是CC1中点，
∴EM⊥平面A1B1BA，∴A1C⊥EM，
∴A1C⊥平面A1
BM，
∵MB⊂平面A1BM，∴MB⊥AB1 ．
19．
（Ⅰ）证明：如图所示，在平面中，过点作，与相交于点。因为，所以，所以，， ，四点在同一平面内。平面平面。由，得。，所以。，，所以，，所以，所以，即。又由底面，得。
又且平面，平面。所以平面。
（Ⅱ）解：如下图所示，当，分别是，中点时，直线与棱相交于的中点。连接，。则三角形就是平面截三棱柱的截面。
截面右侧为四棱锥。所以。又三棱柱的体积。
所以。
20.
证明：（1）当点为的中点时， 与平面平行，
在中， 、分别为、的中点， .
又平面，而平面， 平面.
（2）证明： 平面， 平面，
.又， ，
， 平面，
平面，又平面， .
又，点是的中点， .
又， 、平面，
平面.
平面， .
21.（Ⅰ）作于……①,连接，
∵平面平面，且 ，∴面.
∵，∴,∴，
又∵，∴……②
又,由①②，得面，又面，∴.
（Ⅱ）∵是边长为的等边三角形，
∴如图建立空间坐标系，
设面的法向量为，
，令，得
，
，设与面所成角为
∴直线与平面所成角的正弦值.
22.
（Ⅰ）∵，
∴，
∵面面，面面， 面，
∴面．
（Ⅱ）取的中点，连接，
∵，∴，
∵面面，面 ， 面，
∴面，以为原点， 所在的直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设，由，
∴， ， ．
∴， ．
设平面的法向量为，
∵，
∴，
令，则， ．
∴．
取平面的一个法向量，
∴．
∴面和面的二面角（锐角）的大小为．
（Ⅲ）在棱上存在一点使得面，此时．
理由如下： 为的中点，
取的中点，连接， ， ，
则， ，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∵， ，
∴面面，
∵面，
∴面．