数学卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末数学试卷（理科a卷） （解析版） 26页

‎2016-2017学年广东省清远市清城区高二（上）期末数学试卷（理科A卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1+i C． +i D．﹣ +i ‎2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调减区间为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（2，+∞）‎ ‎5．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则 dx的值为（　　）‎ A．3或 B． C．3 D．3或 ‎7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（　　）‎ A．10+4+4 B．10+2+4 C．14+2+4 D．14+4+4‎ ‎8．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（　　）‎ A．150 B．180 C．200 D．280‎ ‎9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程=0.72x+58.4．‎ 零件数x（个）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y ‎71‎ ‎76‎ ‎79‎ ‎89‎ 表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（　　）‎ A．85 B．86 C．87 D．88‎ ‎10．（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（　　）‎ A．2520 B．1440 C．﹣1440 D．﹣2520‎ ‎11．圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．下列四个命题中，正确的有（　　）‎ ‎①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；‎ ‎②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；‎ ‎③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；‎ ‎④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．‎ A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．已知向量=（2，1），=（x，﹣1），且﹣与共线，则x的值为　　．‎ ‎14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．‎ ‎18．（12分）已知椭圆C1：‎ 的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．‎ ‎（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．‎ ‎19．（12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．‎ ‎20．（12分）国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．‎ 甲 乙 丙 丁 物理成绩（x）‎ ‎75‎ m ‎80‎ ‎85‎ 化学成绩（y）‎ ‎80‎ n ‎85‎ ‎95‎ 综合素质 ‎（x+y）‎ ‎155‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎180‎ ‎（1）请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；‎ ‎（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．‎ ‎21．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠‎ BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．‎ ‎（1）求三棱锥S﹣FAC的体积；‎ ‎（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．‎ ‎22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远市清城区高二（上）期末数学试卷（理科A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1+i C． +i D．﹣ +i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解： =，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．‎ ‎【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：‎ 目标函数z=x+3y经过点A（1，1），‎ z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．‎ ‎　‎ ‎3．设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别求出关于p，q的不等式的解，结合集合的包含关系，判断即可．‎ ‎【解答】解：关于p：x2﹣3x+2＞0，解得：x＞2或x＜1，‎ 关于q：＞0，解得：x＞2或x＜﹣2或﹣1＜x＜1，‎ 则p是q的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调减区间为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（2，+∞）‎ ‎【考点】复合函数的单调性．‎ ‎【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数的定义域，且y=log0.5t，再利用二次函数的性质求得t在定义域内的单调增区间，即为函数f（x）的减区间．‎ ‎【解答】解：令t=x2﹣4＞0，求得x＞2或x＜﹣2，故函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ 且y=log0.5t，‎ 故本题即求函数t在定义域内的单调增区间．‎ 由于函数t在定义域内的单调增区间为（2，+∞），‎ 故函数f（x）的减区间为（2，+∞），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，‎ 令y=0，得﹣x2+x+1=0，‎ 解得x=﹣或x=1；‎ ‎∴点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，‎ ‎∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；‎ 又令ωx+φ=，得ωx=﹣φ②；‎ 把①代入②得，x=﹣③；‎ 令y=1，得﹣x2+x+1=1，‎ 解得x=0或x=；‎ 即﹣=，‎ 解得ω=π，‎ ‎∴φ=ω=，‎ ‎∴f（x）=sin（x+）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了解函数y=sin（ωx+φ）以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎6．二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣‎ ‎，则dx的值为（　　）‎ A．3或 B． C．3 D．3或 ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】二项式（a＞0）的展开式的通项公式T2==a2x2．由于第二项的系数为﹣，可得=﹣，即a2=1，解得a，再利用微积分基本定理即可得出．‎ ‎【解答】解：二项式（a＞0）的展开式的通项公式T2==a2x2．‎ ‎∵第二项的系数为﹣，‎ ‎∴=﹣，‎ ‎∴a2=1，a＞0，解得a=1．‎ 当a=1时，则dx===3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（　　）‎ A．10+4+4 B．10+2+4 C．14+2+4 D．14+4+4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图画出几何体的直观图，再根据面积公式求解．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为四棱锥，直观图如图：‎ 底面是上、下底边长分别为2、4，高为2的梯形，‎ S梯形=（2+4）×2=6；‎ S侧面=×2×2+×2×2+×4×2+×2×=4+4+2，‎ S全=10+4+2．‎ 故选B ‎【点评】本题考查几何体的三视图及几何体的面积．‎ ‎　‎ ‎8．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（　　）‎ A．150 B．180 C．200 D．280‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．‎ ‎【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．‎ 若是1，1，3，则有C53×A33=60种，‎ 若是1，2，2，则有×A33=90种 所以共有150种不同的方法．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定．‎ ‎　‎ ‎9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程=0.72x+58.4．‎ 零件数x（个）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y ‎71‎ ‎76‎ ‎79‎ ‎89‎ 表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（　　）‎ A．85 B．86 C．87 D．88‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=0.72x+58.4．代入样本中心点求出该数据的值，‎ ‎【解答】解：设表中有一个模糊看不清数据为m．‎ 由表中数据得： =30， =63+，‎ 由于由最小二乘法求得回归方程=0.72x+58.4．‎ 将=30， =63+，代入回归直线方程，得63+=0.72×30+58.4，‎ ‎∴m=85．‎ 故选：A ‎【点评】本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测．‎ ‎　‎ ‎10．（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（　　）‎ A．2520 B．1440 C．﹣1440 D．﹣2520‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】根据展开式中各项系数的和2求得a的值，再把二项式展开，求得该展开式中常数项．‎ ‎【解答】解：令x=1可得（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为（a+1）=3，∴a=2．‎ ‎∴（x+）（3x﹣）5 =（x+）（3x﹣）5 ‎ ‎=（x+）（•243x5﹣•162x3+•108x﹣•+•﹣•），‎ 故该展开式中常数项为﹣•72+2•108=1440，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求二项展开式各项的系数和的方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出圆柱的高是底面半径的2倍，结合图象求出满足条件的概率即可．‎ ‎【解答】解：如图示：‎ 设圆柱的高是h，‎ 则2πr2+2πrh=•2πrh，‎ 解得：h=2r，‎ 若|PO|≤r，P在以O为圆心，以r为半径的圆内，‎ ‎∴使|PO|≤r的概率是：p==，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了几何概型问题，考查圆柱、圆的有关公式，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎12．下列四个命题中，正确的有（　　）‎ ‎①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；‎ ‎②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；‎ ‎③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；‎ ‎④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．‎ A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据相关系数的定义可知①错误；根据特称命题（又叫存在性命题）的否定可知②错误；根据真值表即可判断“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，故③错误；由条件可得，f（﹣1）=0，f'（﹣1）=0，解得a=2，b=9或a=1，b=3，经检验，当a=1，b=3时，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故④错误．‎ ‎【解答】解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；‎ 对于②：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故②错误；‎ 对于③：若p∧q为真，则p、q均为真命题，此时p∨q为真，故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分条件，故③错误；‎ 对于④：f'（x）=3x2+6ax+b，因为f（x）在x=﹣1有极值0，故，解得 经检验，当a=2，b=9时，f'（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），此时f（x）在x=﹣1处取得极小值，符合条件；‎ 当a=1，b=3时，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；‎ 所以a=2，b=9．故④错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查了相关系数的概念，特称命题的否定，复合命题的真值表以及导数的应用，对第四个命题中利用导数求出a，b的值后需进行检验．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．已知向量=（2，1），=（x，﹣1），且﹣与共线，则x的值为　﹣2　．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】求出向量﹣，然后利用向量与共线，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：向量=（2，1），=（x，﹣1），‎ ‎﹣=（2﹣x，2），‎ 又﹣与共线，‎ 可得2x=﹣2+x，‎ 解得x=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查向量的共线以及向量的坐标运算，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=　0.16　．‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），‎ ‎∴μ=2，‎ ‎∵P（ξ≤4）=0.84，‎ ‎∴P（ξ≥4）=1﹣0.84=0.16，‎ ‎∴P（ξ≤0）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16，‎ 故答案为：0.16．‎ ‎【点评】‎ 本题考查正态分布，正态曲线的特点，若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　a≥　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意，f（x）在区间上是增函数可化为在恒成立，从而再化为最值问题．‎ ‎【解答】解：∵f（x）在区间上是增函数，‎ ‎∴在恒成立，‎ 即在恒成立，‎ ‎∵﹣x+在上是减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴即．‎ 故答案为：a≥．‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理与应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】‎ 由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣5，可得双曲线的左焦点为（﹣5，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程平行于直线l：y=2x+10，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：因为抛物线y2=20x的准线方程为x=﹣5，所以由题意知，点F（﹣5，0）是双曲线的左焦点，‎ 所以a2+b2=c2=25，①‎ 又双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，所以=2，②‎ 由①②解得a2=5，b2=20，‎ 所以双曲线的方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）（2016秋•清城区期末）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O，连OD，推导出△AA1D≌△ABD，从而DO⊥A1B，由菱形的性质知AO⊥A1B，从而A1B⊥平面ADO，进而A1B⊥AD，再由AD∥BC，能证明A1B⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O，‎ 连OD，如图所示．‎ 由AA1=AB，∠DAB=∠DAA1，可得△AA1D≌△ABD，‎ 所以A1D=BD，‎ 由于O是线段A1B的中点，所以DO⊥A1B，‎ 又根据菱形的性质知AO⊥A1B，所以A1B⊥平面ADO，‎ 所以A1B⊥AD，又因为AD∥BC，所以A1B⊥BC．…（6分）‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B⊥AB1，‎ 又由题意知DO⊥平面ABB1A1，‎ 故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 设AD=AB=3BC=3a，‎ 由∠A1AB=60°知，|OA|=|OB1|=，‎ 所以|OD|==，‎ 从而A（0，﹣，0），B（，0，0），B1（0，，0），D（0，0，），‎ 所以．‎ 由=，得，所以．‎ 设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），‎ 由，得，‎ 取y0=1，则，，所以=（）．‎ 又平面ABB1A1的法向量为，‎ 所以．‎ 故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小为．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•常德一模）已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．‎ ‎（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，由此能求出椭圆C1的标准方程；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，由此能求出抛物线C2的标准方程．‎ ‎（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，‎ ‎，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△FPQ的面积．‎ ‎【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，‎ 解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．…（3分）‎ 又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，‎ ‎∴F（0，2），∴p=4，‎ 故抛物线C2的标准方程为x2=8y．…‎ ‎（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，‎ ‎∴，…（6分）‎ 即（*）‎ 联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．‎ 依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，‎ ‎∴，，…（7分）‎ 将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，‎ 解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．…（8分）‎ 联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，‎ 令△'=64k2﹣32=0，解得．…（10分）‎ 经检验，，m=﹣1符合要求．‎ 此时，，‎ ‎∴．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B++，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；‎ ‎（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可．‎ ‎【解答】解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D 由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=‎ 由于A=B++‎ 根据事件的独立性和互斥性得 P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）‎ ‎=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×‎ ‎=‎ ‎（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5‎ 根据事件的对立性和互斥性得 P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=‎ P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=‎ P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=‎ P（X=3）=P（BC）+P（BD）=××（1﹣）+×（1﹣）×=‎ P（X=4）=P（）=（1﹣）××=‎ P（X=5）=P（BCD）=××=‎ 故X的分布列为 ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ P 所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=‎ ‎【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•清城区期末）国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．‎ 甲 乙 丙 丁 物理成绩（x）‎ ‎75‎ m ‎80‎ ‎85‎ 化学成绩（y）‎ ‎80‎ n ‎85‎ ‎95‎ 综合素质 ‎（x+y）‎ ‎155‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎180‎ ‎（1）请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；‎ ‎（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）求出物理与化学的平均值，代入回归直线方程，然后求解即可．‎ ‎（2）推出ξ的可能值，求出概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得，，因为回归直线 y=1.5x﹣35过点样本中心，‎ 所以，∴3m﹣2n=80，‎ 又m+n=160，解得m=80，n=80．‎ ‎（2）在每场比赛中，比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ的可能值为：0，1，2，3．‎ 获得一枚荣誉奖章的概率P=1﹣=，ξ～B（3，），P（ξ=0）==；‎ P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）==，‎ P（ξ=3）==，‎ 所以预测ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故预测Eξ=nP=3×=．‎ ‎【点评】本题考查随机变量的分布列以及期望的求法，回归直线方程的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•清城区期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．‎ ‎（1）求三棱锥S﹣FAC的体积；‎ ‎（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半，取AB的中点O，连接SA，利用体积公式求三棱锥S﹣FAC的体积；‎ ‎（2）求出D到平面AFC的距离，即可求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半．‎ 取AB的中点O，连接SO，则SO⊥底面ABCD，SO=，‎ ‎∵S△DAC==，‎ ‎∴三棱锥S﹣FAC的体积==；‎ ‎（2）连接OD，OC，则OC=OD=，∴SC=SD=3，‎ ‎△SAD中，SA=AD=2，F为SD的中点，∴AF==．‎ ‎△SCD中，SC=SD=3，CD=2，∴9+4CF2=2（9+4），∴CF=，‎ ‎△FAC中，cos∠AFC==，‎ ‎∴sin∠AFC=，‎ ‎∴S△AFC=×××=‎ 设D到平面AFC的距离为h，则，∴h=，‎ ‎∴直线BD与平面FAC所成角的正弦值÷=‎ ‎【点评】本题考查三棱锥S﹣FAC的体积，直线BD与平面FAC所成角的正弦值，考查学生的计算能力，正确求体积是关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2016秋•清城区期末）已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】分段函数的应用；函数的值域．‎ ‎【分析】（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|，即|m﹣2|=4，解得实数m的值；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集M=（﹣∞，m﹣2]或[m+2，+∞），结合[2，4]⊆M，可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|‎ 因为函数f（x）的值域为[﹣4，4]，‎ 所以|m﹣2|=4，‎ 即m﹣2=﹣4或m﹣2=4‎ 所以实数m=﹣2或6．…‎ ‎（2）f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|‎ 当2≤x≤4时，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2|⇔|x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，‎ 解得：x≤m﹣2或x≥m+2，‎ 即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞）‎