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- 2024-03-30 发布
第三章 导数
第1节 导数的概念与运算
题型33 导数的定义——暂无
题型34 求函数的导数
1.（2015天津文11）已知函数 ，其中为实数，为的导函数，若 ，则的值为 ．
1. 解析 因为 ，所以.
2.（2015陕西文21(1)）设求.
2. 解析 由题设，所以，
所以，
由错位相减法求得：
，
所以.
3.（2016天津文10）已知函数为的导函数，则的值为__________.
3.3解析 因为，所以.
4.（2017浙江20） 已知函数.
（1）求的导函数；
（2）求在区间上的取值范围.
4.解析 （1）因为 ，，
所以.
（2）由，解得或.
当变化时，，的变化情况如下表所示.
1
0
0
↘
0
↗
↘
又，，所以在区间上的取值范围是.
题型35 导数的几何意义
1. （2013江西文11） 若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则 .
1.解析 因为，所以在点处的切线斜率，则切线方程为.
又切线过原点，故，解得.
2.(2013广东文12）若曲线在点处的切线平行于轴，则
．
2.分析 计算出函数在点处的导数，利用导数的几何意义求的值.
解析 因为，所以.因为曲线在点处的切线平行于轴，
故其斜率为，故.
3. (2013天津文20）设， 已知函数
（1）证明在区间内单调递减， 在区间内单调递增；
（2）设曲线在点处的切线相互平行， 且
证明：.
3. 分析 （1）利用导数和二次函数的性质证明；（2）利用（1）的结论、直线平行的条件用
参数表示出用换元法证明结论.
解析 证明：（1）设函数
①由于从而当时，，所以函数在区间内单调递减.
②由于所以当时，；当时，.即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.
综合①②及可知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.
（2）由（1）知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.
因为曲线在点处的切线相互平行，从而互不相等，且不妨设由
可得解得
从而
设则
由解得
所以
设则因为所以
故即
4. (2013陕西文21）已知函数.
（1）求的反函数的图象上点处的切线方程；
（2）证明：曲线与曲线有唯一公共点；
（3）设，比较与的大小，并说明理由.
4.分析 确定反函数，利用导数的几何意义求解；将两曲线的公共点个数问题转化为函数零
点个数问题来解决；利用作差法比较大小．
解析 （1）解：的反函数为，设所求切线的斜率为．
因为，所以，于是在点处的切线方程为.
（2）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数．因为，所以存在零点.
又，令,则.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以在处有唯一的极小值，即在上的最小值为.
，所以在上是单调递增的，所以在上有唯一的零点，故曲线与曲线有唯—的公共点．
证法二：因为，，所以曲线与曲线公共点的个数等于曲线与公共点的个数．
设，则，即当时，两曲线有公共点．
又，
所以在上是单调递减，所以与有唯一的公共点，故曲线与曲线有唯—的公共点．
（3）解：
.
设函数，则，所以，所以单调递增．
当时，．令，则得．
又，所以
5. (2013福建文22）已知函数（为自然对数的底数）.
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
5.分析 （1）利用导数求切线斜率；（2）讨论字母的取值；（3）先构造函数再结合函数
的零点存在性定理求解.
解析 解法一：（1）由，得.又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得.
（2）.
①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.
②当时，，得.，；，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上，当时，函数无极值；
（3）当时，.令，则直线与曲线没有公共点，等价方程在上没有实数解.
假设，此时，.
又函数的图象连续不断，由零点存在性定理，可知在上至少有一个解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故.
又时，，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.
解法二“（1）（2）同解法一.
（3）当时，.
直线与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程： （*）
在上没有实数解.
①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解.
②当时，方程（*）化为.
令，则有.
令，得，
当变化时，，的变化情况如下表：
当时，，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为.
所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是.
综合①②，得的最大值为.
6.（2014陕西文10）如图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖湾曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ） .
A. B.
C. D.
7.（2014新课标Ⅰ文12）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. （2014广东文11）曲线在点处的切线方程为________.
9.（2014江苏11）在平面直角坐标系中，若曲线 （为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是 ．
10.（2014江西文11）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是 .
11. （2014安徽文15）若直线与曲线满足下列两个条件：
（1）直线在点处与曲线相切；
（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.
下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.
① 直线在点处“切过”曲线：；
② 直线在点处“切过”曲线：；
③ 直线在点处“切过”曲线：；
④ 直线在点处“切过”曲线：；
⑤ 直线在点处“切过”曲线：.
11. 解析 ①直线在处与曲线相切，且曲线位于直线的两侧，①对；②直线不是曲线在处的切线，②错；③中，，因此曲线在处的切线为，设，则，即是增函数，又，从而当时，，当时，，即曲线在附近位于直线的两侧，③正确；④中，，因此曲线在处的切线为，设，则
，即在上是减函数，且，同③得④正确；⑤中，，因此曲线在处的切线为，设，则，当时，，当时，，因此当时，，因此曲线在附近位于直线的一侧，故⑤错误.因此答案为①③④.
评注 本题考查导数的几何意义及导数在函数中的应用，解题时结合图像可简化运算和推理的过程.
12.（2014重庆文19）（本小题满分12分）
已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
13.（2014四川文19）(本小题满分12分)
设等差数列的公差为，点在函数的图像上.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.
14.（2014四川文21）(本小题满分14分)
已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（2）若，函数在区间内有零点，求证：.
15. （2014新课标Ⅱ文21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.
（1）求；
（2）求证：当时，曲线与直线只有一个交点.
16.（2015新课标Ⅰ卷文14）已知函数的图像在点处的切线过
点，则 .
16. 解析 ，，所以切线方程为.
又过点，即，解得.
17.（2015新课标2卷文16）已知曲线在点处的切线与曲线
相切，则 .
17. 解析 根据题意，曲线在点处的切线斜率为，故切线方程为，与联立得，显然，所以由判别式得.
评注 由导数的意义求函数问题是基本的研究方法，函数问题首先要考虑定义域的范围，含有参数一般要对参数进行分类讨论.
18.（2015陕西文15）函数在其极值点处的切线方程为____________.
18. 解析 ，令，此时.函数在其极值点处的切线方程为.
19.（2015四川文15）已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数，都有；
②对于任意的及任意不相等的实数，都有；
③对于任意的，存在不相等的实数，使得；
④对于任意的，存在不相等的实数，使得.
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
19. 解析 对于，因为恒成立，故正确；
对于，取，即，当时，，故错误；
对于，令，即.
记，则.
存在，使得，可知函数先减后增，有最小值.
因此，对任意的，不一定成立.故错误；
对于，由，即.
令，则恒成立，即是单调递增的函数.
当时，；当时，.
因此对任意的，存在与函数有交点.故正确.
综上可知，正确.
20.（2015山东文20（1））设函数，. 已知曲线在
点处的切线与直线平行. 求的值；
20. 解析 由题意知，曲线在点处的切线斜率为2，
所以.又，所以.
21.（2016山东文10）若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.
A. B. C. D.
21. A 解析 因为函数，的图像上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数，所以在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质.利用排除法. 故选A.
22.（2016全国丙文16）已知为偶函数，当时，，则曲线
在点处的切线方程是___________________.
22. 解析 当时，，又因为为偶函数，所以，，，所以曲线在点处的切线方程.
23.（2016全国甲文20）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若当时，，求的取值范围.
23.解析 （1）当时，，因此，
，，所以曲线在点处的切线方程为
，即，得.
（2）解法一：从必要条件做起.
因为，对于，，
又，则，得.
当时，，，
又，因此在上单调递增，
所以，即函数在上单调递增，所以，证毕.
综上所述，的取值范围是.
解法二（目标前提法）：若对于，，显然不等式恒成立的前提条件是，在上单调递增，即在上恒成立，即对恒成立，得.
设，则，所以函数在上单调递增，则，所以.
再证当时，不等式不恒成立.
因为，，所以函数在上单调递增.又，令，则，使得，函数在上单调递减.又，所以对于，与题意中对于，不恒成立，故舍去.
综上所述，的取值范围是.
解法三：直接从最值的角度转化.
本题对于，，则只须对于，.
因为，，，
所以函数在上单调递增.又.
若，即，，函数在上单调递增，，满足题意.
若，即，令，则函数在上单调递减，
则，不满足题意.
综上所述，的取值范围是.
24.（2017全国1文14）曲线在点处的切线方程为 .
24.解析 设，则，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.
25..（2017北京文20）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
25.解析 .
（1），，则曲线在点处的切线方程为.
（2）.
因为，恒成立，所以在上单调递减，且，所以，所以在上单调递减，所以，.
26.（2017山东文20）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
26.解析 由题意，.
（1）当时，，，所以，
因此，曲线在点处的切线方程是，即.
（2）因为，所以.
令，则 ，所以在上单调递增.
因为，所以当时，；当时，.
①当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以，当时，取到极大值，极大值是，
当时，取到极小值，极小值是.
②当时，.
当时，，单调递增.
所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.
③当时，.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以，当时，取到极大值，极大值是；
当时，取到极小值，极小值是.
综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.
27.（2017天津文10）已知，设函数的图像在点处的切线为，则在轴上的截距为 .
27.解析 ，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为，即.令，得，则在轴上的截距为.