2013-2017高考数学分类汇编-文科 第三章导数 第1节 导数的概念与运算 15页

第三章 导数 第1节 导数的概念与运算 题型33 导数的定义——暂无 题型34 求函数的导数 ‎1.（2015天津文11）已知函数 ，其中为实数，为的导函数，若 ，则的值为 ．‎ ‎1. 解析 因为 ，所以.‎ ‎2.（2015陕西文21(1)）设求.‎ ‎2. 解析 由题设，所以，‎ 所以，‎ 由错位相减法求得：‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎3.（2016天津文10）已知函数为的导函数，则的值为__________.‎ ‎3.3解析 因为，所以.‎ ‎4.（2017浙江20） 已知函数.‎ ‎（1）求的导函数；‎ ‎（2）求在区间上的取值范围.‎ ‎4.解析 （1）因为 ，，‎ 所以.‎ ‎（2）由，解得或.‎ 当变化时，，的变化情况如下表所示.‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 又，，所以在区间上的取值范围是.‎ 题型35 导数的几何意义 ‎1. （2013江西文11） 若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则 .‎ ‎1.解析 因为，所以在点处的切线斜率，则切线方程为.‎ 又切线过原点，故，解得.‎ ‎2.(2013广东文12）若曲线在点处的切线平行于轴，则 ‎ ．‎ ‎2.分析 计算出函数在点处的导数，利用导数的几何意义求的值.‎ 解析 因为，所以.因为曲线在点处的切线平行于轴，‎ 故其斜率为，故.‎ ‎3. (2013天津文20）设， 已知函数 ‎ ‎（1）证明在区间内单调递减， 在区间内单调递增；‎ ‎（2）设曲线在点处的切线相互平行， 且 证明：. ‎ 3. 分析 （1）利用导数和二次函数的性质证明；（2）利用（1）的结论、直线平行的条件用 ‎ 参数表示出用换元法证明结论.‎ 解析 证明：（1）设函数 ‎①由于从而当时，，所以函数在区间内单调递减.‎ ‎②由于所以当时，；当时，.即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.‎ 综合①②及可知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.‎ ‎（2）由（1）知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.‎ 因为曲线在点处的切线相互平行，从而互不相等，且不妨设由 可得解得 从而 设则 由解得 所以 设则因为所以 故即 ‎4. (2013陕西文21）已知函数.‎ ‎（1）求的反函数的图象上点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：曲线与曲线有唯一公共点；‎ ‎（3）设，比较与的大小，并说明理由.‎ ‎4.分析 确定反函数，利用导数的几何意义求解；将两曲线的公共点个数问题转化为函数零 点个数问题来解决；利用作差法比较大小．‎ 解析 （1）解：的反函数为，设所求切线的斜率为．‎ 因为，所以，于是在点处的切线方程为.‎ ‎（2）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数．因为，所以存在零点.‎ 又，令,则.‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增，‎ 所以在处有唯一的极小值，即在上的最小值为.‎ ‎，所以在上是单调递增的，所以在上有唯一的零点，故曲线与曲线有唯—的公共点．‎ 证法二：因为，，所以曲线与曲线公共点的个数等于曲线与公共点的个数．‎ 设，则，即当时，两曲线有公共点．‎ 又，‎ 所以在上是单调递减，所以与有唯一的公共点，故曲线与曲线有唯—的公共点．‎ ‎（3）解：‎ ‎.‎ 设函数，则，所以，所以单调递增．‎ 当时，．令，则得．‎ 又，所以 ‎5. (2013福建文22）已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.‎ ‎5.分析 （1）利用导数求切线斜率；（2）讨论字母的取值；（3）先构造函数再结合函数 的零点存在性定理求解.‎ ‎ 解析 解法一：（1）由，得.又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得.‎ ‎（2）.‎ ‎①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.‎ ‎②当时，，得.，；，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.‎ 综上，当时，函数无极值；‎ ‎（3）当时，.令，则直线与曲线没有公共点，等价方程在上没有实数解.‎ 假设，此时，.‎ 又函数的图象连续不断，由零点存在性定理，可知在上至少有一个解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故.‎ 又时，，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.‎ 解法二“（1）（2）同解法一.‎ ‎（3）当时，.‎ 直线与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程： （*）‎ 在上没有实数解.‎ ‎①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解.‎ ‎②当时，方程（*）化为.‎ 令，则有.‎ 令，得，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 当时，，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为.‎ 所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是.‎ 综合①②，得的最大值为.‎ ‎6.（2014陕西文10）如图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖湾曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ） . ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.（2014新课标Ⅰ文12）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. （2014广东文11）曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎9.（2014江苏11）在平面直角坐标系中，若曲线 （为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是 ．‎ ‎10.（2014江西文11）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是 .‎ ‎11. （2014安徽文15）若直线与曲线满足下列两个条件：‎ ‎（1）直线在点处与曲线相切；‎ ‎（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.‎ ‎ 下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.‎ ‎ ① 直线在点处“切过”曲线：；‎ ‎ ② 直线在点处“切过”曲线：；‎ ‎ ③ 直线在点处“切过”曲线：；‎ ‎ ④ 直线在点处“切过”曲线：；‎ ‎ ⑤ 直线在点处“切过”曲线：.‎ ‎11. 解析 ①直线在处与曲线相切，且曲线位于直线的两侧，①对；②直线不是曲线在处的切线，②错；③中，，因此曲线在处的切线为，设，则，即是增函数，又，从而当时，，当时，，即曲线在附近位于直线的两侧，③正确；④中，，因此曲线在处的切线为，设，则 ‎，即在上是减函数，且，同③得④正确；⑤中，，因此曲线在处的切线为，设，则，当时，，当时，，因此当时，，因此曲线在附近位于直线的一侧，故⑤错误.因此答案为①③④.‎ 评注 本题考查导数的几何意义及导数在函数中的应用，解题时结合图像可简化运算和推理的过程.‎ ‎12.（2014重庆文19）（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值.‎ ‎13.（2014四川文19）(本小题满分12分) ‎ 设等差数列的公差为，点在函数的图像上.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）若，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.‎ ‎14.（2014四川文21）(本小题满分14分)‎ 已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；‎ ‎（2）若，函数在区间内有零点，求证：.‎ ‎15. （2014新课标Ⅱ文21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当时，曲线与直线只有一个交点.‎ ‎16.（2015新课标Ⅰ卷文14）已知函数的图像在点处的切线过 点，则 .‎ ‎16. 解析 ，，所以切线方程为.‎ 又过点，即，解得.‎ ‎17.（2015新课标2卷文16）已知曲线在点处的切线与曲线 相切，则 .‎ ‎17. 解析 根据题意，曲线在点处的切线斜率为，故切线方程为，与联立得，显然，所以由判别式得.‎ 评注 由导数的意义求函数问题是基本的研究方法，函数问题首先要考虑定义域的范围，含有参数一般要对参数进行分类讨论.‎ ‎18.（2015陕西文15）函数在其极值点处的切线方程为____________.‎ ‎18. 解析 ，令，此时.函数在其极值点处的切线方程为.‎ ‎19.（2015四川文15）已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，，现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数，都有；‎ ‎②对于任意的及任意不相等的实数，都有；‎ ‎③对于任意的，存在不相等的实数，使得；‎ ‎④对于任意的，存在不相等的实数，使得.‎ 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).‎ ‎19. 解析 对于，因为恒成立，故正确；‎ 对于，取，即，当时，，故错误；‎ 对于，令，即.‎ 记，则.‎ 存在，使得，可知函数先减后增，有最小值.‎ 因此，对任意的，不一定成立.故错误；‎ 对于，由，即.‎ 令，则恒成立，即是单调递增的函数.‎ 当时，；当时，.‎ 因此对任意的，存在与函数有交点.故正确.‎ 综上可知，正确.‎ ‎20.（2015山东文20（1））设函数，. 已知曲线在 点处的切线与直线平行. 求的值；‎ ‎20. 解析 由题意知，曲线在点处的切线斜率为2，‎ 所以.又，所以.‎ ‎21.（2016山东文10）若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎21. A 解析 因为函数，的图像上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数，所以在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质.利用排除法. 故选A.‎ ‎22.（2016全国丙文16）已知为偶函数，当时，，则曲线 在点处的切线方程是___________________.‎ ‎22. 解析 当时，，又因为为偶函数，所以，，，所以曲线在点处的切线方程.‎ ‎23.（2016全国甲文20）已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若当时，，求的取值范围.‎ ‎23.解析 （1）当时，，因此，‎ ‎，，所以曲线在点处的切线方程为 ‎，即，得.‎ ‎（2）解法一：从必要条件做起.‎ 因为，对于，，‎ 又，则，得.‎ 当时，，，‎ 又，因此在上单调递增，‎ 所以，即函数在上单调递增，所以，证毕.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 解法二（目标前提法）：若对于，，显然不等式恒成立的前提条件是，在上单调递增，即在上恒成立，即对恒成立，得.‎ 设，则，所以函数在上单调递增，则，所以.‎ 再证当时，不等式不恒成立.‎ 因为，，所以函数在上单调递增.又，令，则，使得，函数在上单调递减.又，所以对于，与题意中对于，不恒成立，故舍去.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 解法三：直接从最值的角度转化.‎ 本题对于，，则只须对于，.‎ 因为，，，‎ 所以函数在上单调递增.又.‎ 若，即，，函数在上单调递增，，满足题意.‎ 若，即，令，则函数在上单调递减，‎ 则，不满足题意.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎24.（2017全国1文14）曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎24.解析 设，则，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.‎ ‎25..（2017北京文20）已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎25.解析 .‎ ‎（1），，则曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（2）.‎ 因为，恒成立，所以在上单调递减，且，所以，所以在上单调递减，所以，.‎ ‎26.（2017山东文20）已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.‎ ‎26.解析 由题意，.‎ ‎（1）当时，，，所以，‎ 因此，曲线在点处的切线方程是，即.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 令，则 ，所以在上单调递增.‎ 因为，所以当时，；当时，.‎ ‎①当时，，‎ 当时，，，单调递增；‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ 所以，当时，取到极大值，极大值是，‎ 当时，取到极小值，极小值是.‎ ‎②当时，.‎ 当时，，单调递增.‎ 所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.‎ ‎③当时，.‎ 当时，，，单调递增；‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ 所以，当时，取到极大值，极大值是；‎ 当时，取到极小值，极小值是.‎ 综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；‎ 当时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.‎ ‎27.（2017天津文10）已知，设函数的图像在点处的切线为，则在轴上的截距为 .‎ ‎27.解析 ，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为，即.令，得，则在轴上的截距为.‎