2013年福建省漳州市中考数学试题（含答案） 18页

福建省漳州市2013年中考数学试卷 ‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项）‎ ‎1．（4分）（2013•漳州）下列各数中正数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ ‎0‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 实数 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 根据实数的分类对各选项进行逐一分析即可．‎ 解答：‎ 解：A、2是正数，故本选项正确；‎ B、﹣是负数，故本选项错误；‎ C、0既不是正数，也不是负数，故本选项错误；‎ D、﹣是负数，故本选项错误．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是实数的定义，即有理数和无理数统称实数．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2013•漳州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m4•m2=m8‎ B．‎ ‎（m2）3=m5‎ C．[来源:学科网ZXXK]‎ m3÷m2=m D．‎ ‎3m﹣m=2‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；‎ B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；‎ C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；‎ D、合并同类项得到结果，即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：A、m4•m2=m6，本选项错误；‎ B、（m2）3=m6，本选项错误；‎ C、m3÷m2=m，本选项正确；‎ D、3m﹣m=2m，本选项错误，‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，以及合并同类项，熟练掌握法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2013•漳州）使分式有意义的x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≤3‎ B．‎ x≥3‎ C．‎ x≠3‎ D．‎ x=3‎ 考点：‎ 分式有意义的条件 分析：‎ 根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．‎ 解答：‎ 解：由题意得：x﹣3≠0，‎ 解得：x≠3，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2013•漳州）如图，几何体的俯视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图 分析：‎ 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．‎ 解答：‎ 解：从上面看可得分成3列的三个正方形，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2013•漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 正方形 B．‎ 正十边形 C．‎ 正六边形 D．‎ 等边三角形 考点：‎ 平面镶嵌（密铺）．‎ 分析：‎ 根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．‎ ‎∴不能铺满地面的是正十边形；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2013•漳州）若反比例函数y=的图象经过点（﹣2，m），则m的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ ‎﹣4‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 将点（﹣2，m）代入反比例函数y=即可求出m的值．‎ 解答：‎ 解：将点（﹣2，m）代入反比例函数y=得，‎ m==﹣4，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的坐标符合函数解析式．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2013•漳州）下列命题中假命题是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 平行四边形的对边相等 B．‎ 等腰梯形的对角线相等 ‎　‎ C．‎ 菱形的对角线互相垂直 D．‎ 矩形的对角线互相垂直 考点：‎ 命题与定理．‎ 分析：‎ 根据平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形的性质分别对每一项进行分析即可．‎ 解答：‎ 解：A、平行四边形的对边相等，正确，是真命题；‎ B、等腰梯形的对角线相等，正确，是真命题；‎ C、菱形的对角线互相垂直，正确，是真命题；‎ D、矩形的对角线相等，并且互相平分，故原命题是假命题；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形的性质，关键是能够运用性质，对命题进行判断．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2013•漳州）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出二元一次方程组 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．‎ 解答：‎ 解：根据图示可得，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2013•漳州）某日福建省九地市的最高气温统计如下表：‎ 地市 福州 莆田 泉州 厦门 漳州 龙岩 三明 南平 宁德 最高气温（℃）‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎28‎ 针对这组数据，下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 众数是30‎ B．‎ 极差是1‎ C．‎ 中位数是31‎ D．‎ 平均数是28‎ 考点：‎ 极差；算术平均数；中位数；众数．‎ 分析：‎ 根据众数、中位数、极差、平均数的定义及计算公式分别进行计算，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵30出现了3次，出现的次数最多，‎ ‎∴众数是30，‎ ‎∵最大值是32，最小值是28，‎ ‎∴极差是32﹣28=4；‎ 把这组数据从小到大排列为：28，28，29，30，30，30，31，31，32，[来源:学_科_网][来源:学*科*网]‎ 最中间的数是30，‎ 则中位数是30；‎ 平均数是（29+28×2+30×3+31×2+32）÷9=29.9；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了众数、中位数、极差、平均数，掌握众数、中位数、极差、平均数的定义及计算公式是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2013•漳州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a＜0‎ B．‎ b2﹣4ac＜0‎ C．‎ 当﹣1＜x＜3时，y＞0‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系 专题：‎ 存在型．‎ 分析：‎ 根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．‎ 解答：‎ 解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故本选项错误；‎ B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；‎ C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；‎ D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）（2013•漳州）分解因式：ab2+a=　a（b2+1）　．‎ 考点：‎ 因式分解-提公因式法．‎ 分析：‎ 根据观察可知公因式是a，提出a即可解出此题．‎ 解答：‎ 解：ab2+a=a（b2+1）．‎ 故答案为：a（b2+1）．‎ 点评：‎ 此题考查的是对公因式的提取，只要找出公因式即可解出此题．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2013•漳州）据《维基百科》最新统计，使用闽南语的人数在全世界数千语种中位列第21名，目前有约70010000人使用闽南语，70010000用科学记数法表示为　7.001×107　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于70010000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．‎ 解答：‎ 解：70 010 000=7.001×107．‎ 故答案为：7.001×107．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2013•漳州）如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，∠B=70°，则∠ADE=　70　度．‎ 考点：‎ 三角形中位线定理；平行线的性质．‎ 分析：‎ 由题意可知DE是三角形的中位线，所以DE∥BC，由平行线的性质即可求出∠ADE的度数．‎ 解答：‎ 解：∵D，E分别为AB，AC的中点，‎ ‎∴DE是三角形的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠B=70°，‎ 故答案为70．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形中位线的性质以及平行线的性质．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2013•漳州）某班围绕“舞蹈、乐器、声乐、其他等四个项目中，你最喜欢哪项活动（每日只限一项）”的问题，对全班50名学生进行问卷调查，调查结果如下扇形统计图，请问该班喜欢乐器的学生有　20　名．‎ 考点：‎ 扇形统计图 分析：‎ 根据扇形统计图得出该班喜欢乐器的学生所占比例，进而得出该班喜欢乐器的学生数．‎ 解答：‎ 解：∵该班喜欢乐器的学生所占比例为：1﹣22%﹣10%﹣28%=40%，‎ ‎∴该班喜欢乐器的学生有：50×40%=20（人）．‎ 故答案为：20．‎ 点评：‎ 此题主要考查了扇形统计图的应用，根据已知得出该班喜欢乐器的学生所占比例是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2013•漳州）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是　﹣　．‎ 考点：‎ 勾股定理；实数与数轴．3718684‎ 分析：‎ 在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数 解答：‎ 解：∵OB==，‎ ‎∴OA=OB=，‎ ‎∵点A在数轴上原点的左边，‎ ‎∴点A表示的数是﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2013•漳州）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为　　厘米．‎ 考点：‎ 垂径定理的应用；勾股定理．‎ 分析：‎ 先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．‎ 解答：‎ 解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，‎ ‎∴AC=9﹣3=6，‎ 过点O作OB⊥AC于点B，则AB=AC=×6=3cm，‎ 设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r，‎ 在Rt△AOB中，‎ OA2=OB2+AB2，即r2=（r﹣2）2+32，‎ 解得r=cm．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分86分）‎ ‎17．（8分）（2013•漳州）计算：|﹣4|﹣+cos30°．‎ 考点：‎ 实数的运算；特殊角的三角函数值．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题涉及绝对值、平方根、特殊角的三角函数值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=4﹣4+=．‎ 点评：‎ 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握绝对值、平方根、特殊角的三角函数等考点的运算．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2013•漳州）解方程：x2﹣4x+1=0．‎ 考点：‎ 解一元二次方程-配方法 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．‎ 解答：‎ 解：移项得：x2﹣4x=﹣1，‎ 配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，‎ 即（x﹣2）2=3，‎ 开方得：x﹣2=±，‎ ‎∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2013•漳州）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且BE=DF．‎ ‎（1）图中共有　3　对全等三角形；‎ ‎（2）请写出其中一对全等三角形：　△ABE　≌　△CDF　，并加以证明．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定．‎ 分析：‎ ‎（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理进行填空；‎ ‎（2）根据全等三角形的判定定理SAS、SSS等来证明．‎ 解答：‎ 解：（1）图中的全等三角形有：△ABE≌△CDF、△ABD≌△CDB、△ADE≌△CBF，共有3对．‎ 故填：3；‎ ‎（2）①△ABE≌△CDF．理由如下：‎ ‎∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∴∠ABE=∠CDF，‎ ‎∴在△ABE与△CDF中，，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SAS）；‎ ‎②△ABD≌△CDB．理由如下：‎ ‎∵在▱ABCD中，AD=CB，AB=CD，‎ ‎∴在△ABD与△CDB中，，‎ ‎∴△ABD≌△CDB（SSS）；‎ ‎③△ADE≌△CBF．理由如下：‎ ‎∵在▱ABCD中，AD∥BC，AD=CB，‎ ‎∴∠ADE=∠CBF，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴DE=BF，‎ ‎∴在△ADE与△CBF中，，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS）．‎ 故答案可以是：△ABE，△CDF．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定．解题时，充分利用了“平行四边形的对边互相平行且相等、两组对边相等”的性质．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•漳州）漳州三宝之一“水仙花”畅销全球，某花农要将规格相同的800件水仙花运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的3倍，各地的运费如下表所示：‎ A地 B地 C地 运费（元/件）‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎（1）设运往A地的水仙花x（件），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）若总运费不超过12000元，最多可运往A地的水仙花多少件？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）根据总运费=运往A地的费用+运往B地的费用+运往C地的费用，由条件就可以列出解析式；‎ ‎（2）根据（1）的解析式建立不等式就可以求出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）由运往A地的水仙花x（件），则运往C地3x件，运往B地（80﹣4x）件，由题意得 y=20x+10（80﹣4x）+45x，‎ y=25x+8000‎ ‎（2）∵y≤12000，‎ ‎∴25x+8000≤12000，‎ 解得：x≤160‎ ‎∴总运费不超过12000元，最多可运往A地的水仙花160件．‎ 点评：‎ 本题考查了总运费=各部分运费之和的运用，一次函数的解析式的运用，列不等式解实际问题的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•漳州）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是A．菱形，B．平行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片背面朝上洗匀后 ‎（1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是　　；‎ ‎（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；概率公式．‎ 专题：‎ 方案型．‎ 分析：‎ ‎（1）判断菱形，平行四边形，线段及角中轴对称图形的个数，即可得到所求的概率；‎ ‎（2）找出四个图形中中心对称图形的个数，列表得出所有等可能的情况数，找出两张都为中心对称图形的情况数，即可求出所求的概率．‎ 解答：‎ 解：（1）菱形，轴对称图形；平行四边形，不是轴对称图形；线段，轴对称图形；角，轴对称图形，‎ 则随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是；‎ ‎（2）列表如下：其中A，B，C为中心对称图形，D不为中心对称图形，‎ A B C D A ‎﹣﹣﹣‎ ‎（B，A）‎ ‎（C，A）‎ ‎（D，A）‎ B ‎（A，B）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（C，B）‎ ‎（D，B）‎ C ‎（A，C）‎ ‎（B，C）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（D，C）‎ D ‎（A，D）‎ ‎（B，D）‎ ‎（C，D）‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的情况有12种，其中都为中心对称图形的有6种，‎ 则P==．‎ 故答案为：（1）‎ 点评：‎ 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎22．（9分）（2013•漳州）钓鱼岛是我国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A，B的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB的距离．（结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析：‎ 首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1公里，CD=3.2公里，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得钓鱼岛两端AB的距离．‎ 解答：‎ 解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，‎ ‎∴四边形ABFE为矩形，‎ ‎∴AB=EF，AE=BF=1公里，‎ 在Rt△AEC中，∠C=45°，AE=1公里．‎ ‎∴CE=AE=1（公里）．‎ 在Rt△BFD中，∠BDF=37°，BF=1公里，‎ ‎∴DF==≈1.33公里，‎ ‎∴AB=EF=CD+DF﹣CE≈3.2+1.33﹣1=3.53≈3.5（公里）．‎ 答：钓鱼岛两端AB的距离约为3.5公里．‎ 点评：‎ 此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（2013•漳州）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．‎ ‎（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；‎ ‎（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为　π　；（结果保留π）‎ ‎（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．‎ 考点：‎ 作图-旋转变换；弧长的计算；轴对称-最短路线问题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，得出各对应点位置画出图象即可；‎ ‎（2）利用弧长公式求出点A经过的路径的长度即可；‎ ‎（3）利用待定系数法求一次函数解析式进而得出D点坐标．‎ 解答：‎ 解；（1）如图所示：‎ ‎（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为：=π；‎ 故答案为：π；‎ ‎（3）∵B，B1在y轴两旁，连接BB1交y轴于点D，设D′为y轴上异于D的点，显然D′B+D′B1＞DB+DB1，‎ ‎∴此时DB+DB1最小，‎ 设直线BB1解析式为y=kx+b，依据题意得出：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴y=﹣x+，‎ ‎∴D（0，）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了图形的旋转变换以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据数形结合得出D点位置是解题关键．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）（2013•漳州）（1）问题探究 数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明．‎ 如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=BC，求证∠BAC=90°．‎ 同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路：‎ 思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…‎ 思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识…‎ 思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识…‎ 思路四…‎ 请选择一种方法写出完整的证明过程；‎ ‎（2）结论应用 李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题：‎ ‎①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙0的切线；‎ ‎②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．‎ 考点：‎ 相似形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据条件可以得出BM=CM=MA，由等腰三角形的性质就可以得出∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形内角和定理就可以求出结论；‎ ‎（2）①连接OD，CD，由圆的性质就可以得出AO=OD=OC=a，再由条件就可以得出△ODC是等边三角形，由外角与内角的关系就可以求出∠BDC=30°，从而得出∠ODB=90°而得出结论；‎ ‎②运用（1）的结论可以得出∠ADB=∠ACE=90°，从而有△ADB∽△AEC，由相似的性质可以得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比平方，最后由锐角三角形函数值就可以求出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）问题研究，∵M为BC的中点，‎ ‎∴BM=CM=BC．‎ ‎∵MA=BC，‎ ‎∴BM=CM=MA，‎ ‎∴∠1=∠B，∠2=∠C．‎ ‎∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°，‎ ‎∴2∠1+2∠2=180°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，‎ 即∠BAC=90°；‎ ‎（2）①连接OD，CD，‎ ‎∴AO=OD=OC=a，‎ ‎∴∠BOD=2∠A=60°，‎ ‎∴△ODC是等边三角形，‎ ‎∴CD=OC=a，∠DCO=∠CDO=60°．‎ ‎∵OB=2a，‎ ‎∴BC=a，‎ ‎∴BC=DC，‎ ‎∴∠B=∠BDC，‎ ‎∴2∠BDC=60°，‎ ‎∴∠BDC=30°，‎ ‎∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°，‎ ‎∴直线BD是⊙0的切线 ‎②∵M为BC的中点，BD⊥AC于D，‎ ‎∴DM=BC．‎ ‎∵EM=DM，‎ ‎∴EM=BC，‎ ‎∴∠BEC=90°．‎ ‎∴∠ADB=∠ACE=90°．‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△ADB∽△AEC，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=（）2．‎ ‎∵cos∠A=，且∠A=60°，[来源:学科网]‎ ‎∴，‎ ‎∴=．‎ ‎∴△ADE与△ABC面积的比值为．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，切线的判定方法的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质结合三角函数值求解是难点．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2013•漳州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．‎ ‎（1）填空：D点坐标是（　2　，　0　），E点坐标是（　2　，　2　）；‎ ‎（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．‎ 考点：‎ 一次函数综合题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）根据△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D点的坐标，再根据DE=OD=2，求出E点的坐标；‎ ‎（2）由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=4，再根据直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，设MN的解析式为y=x+b，根据DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），CM=，CN=6+b，MN=4，①当CM=CN时，42+（2+b）2=（6+b）2，解得：b=﹣2，此时M（2，0）；②当CM=MN时，42+（2+b）2=（4）2，解得：b1=2，b1=﹣6（不合题意舍去），此时M（2，4）；③当CM=MN时，6+b=4，解得：b=4﹣6，此时M（2，4﹣4）；‎ ‎（3）根据题意先证出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S与x之间的函数关系式，根据①当0≤x≤2时，S=x2﹣8x+12=（x﹣4）2﹣4，②当2＜x≤6时，S=﹣x2+8x﹣12=﹣（x﹣4）2+4，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，‎ ‎∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，‎ ‎∴OA=OD，‎ ‎∵OA=2，‎ ‎∴OD=2，‎ ‎∴D点坐标是（2，0），DE=OD=2，‎ ‎∴E点坐标是（2，2），‎ 故答案为：（2，0），（2，2）；‎ ‎（2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下：‎ 由翻折可知四边形AODE为正方形，‎ 过M作MH⊥BC于H，‎ ‎∵∠PDM=∠PMD=45°，则∠NMH=∠MNH=45°，‎ NH=MH=4，MN=4，‎ ‎∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，‎ ‎∴设MN的解析式为y=x+b，‎ 而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，‎ ‎∴M（2，2+b），N（6，6+b），‎ CM=，CN=6+b，MN=4，‎ 分三种情况讨论：‎ ‎①当CM=CN时，‎ ‎42+（2+b）2=（6+b）2，‎ 解得：b=﹣2，此时M（2，0）；‎ ‎②当CM=MN时，‎ ‎42+（2+b）2=（4）2，‎ 解得：b1=2，b1=﹣6（不合题意舍去），‎ 此时M（2，4）；‎ ‎③当CM=MN时，‎ ‎6+b=4，‎ 解得：b=4﹣6，此时M（2，4﹣4）；‎ 综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：‎ ‎（2，0），（2，4），（2，4﹣4）；‎ ‎（3）根据题意得：‎ 当0≤x≤2时，‎ ‎∵∠BPN+∠DPE=90°，‎ ‎∠BPN+∠EPD=90°，‎ ‎∴∠DPE=∠EPD，‎ ‎∴△PBN∽△DEP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BN=，‎ ‎∴S△DBN=•BN•BP ‎=•（6﹣x）‎ 整理得：S=x2﹣8x+12；‎ 当2＜x≤6时，‎ ‎∵△PBN∽△DEP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BN=，‎ ‎∴S△DBN=•BN•BE，‎ ‎=•×4，‎ 整理得：S=﹣x2+8x﹣12；‎ 则S与x之间的函数关系式：，‎ ‎①当0≤x≤2时，S=x2﹣8x+12=（x﹣4）2﹣4，‎ 当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2，‎ ‎②当2＜x≤6时，S=﹣x2+8x﹣12=﹣（x﹣4）2+4，‎ 当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6，‎ 综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6．‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是勾股定理、一次函数、二次函数的图象与性质、轴对称等，关键是综合运用有关知识求出点的坐标，是一道综合题．‎