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- 2024-03-29 发布
哈师大青冈实验中学 2017—2018 学年度第二学期开学初考试
高二数学(文)试题
一、选择题：（每题 5 分，共 60 分）
1．复数 1 3 4i i
i
等于
A. 7 i B. 7 i C. 7 7i D. 7 7i
2．命题“
2, 2 1 0xx R x ” 的否定是
A． 2, 2 1 0xx R x B． 2, 2 1 0xx R x
C． 2, 2 1 0xx R x D． 2, 2 1 0xx R x
3.抛物线 xy 32 的准线方程是
A．
4
3y B. 3
4x C． 1
12y D． 1
12x
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位： cm ），可知此几
何体的体积是
A. 324cm B. 364
3 cm C. 36 2 5 2 2 cm D.
324 8 5 8 2 cm
5．曲线
2 2
116 25
x y 与曲线
2 2
1 1616 25
x y kk k
的
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
6.下列各数中最大的数为
A．101111（2） B．1210（3） C．112（8） D．69（12）
7．已知变量 x 和 y 之间的几组数据如下表：
x 4 6 8 10[] 12
y 1 2 3 5 6
若根据上表数据所得线性回归方程为 0.65ˆy x m ，则 m
A. -1.6 B. -1.7 C. -1.8 D. -1.9
8．如图所示的茎叶图，记录了某次歌曲大赛上七位评委为甲选手打出的分数，
若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩数据的众数和中位数分别为
A. 83，84 B. 83，85 C. 84，83 D. 84，84
9．执行如图所示的程序框图，若输入 8n ，则输出的 k
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10．随机调查某校 50个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表：
餐费（元） 3 4 5
人数 10 20 20
这50个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是
A. 4.2 ，0.56 B. 4.2 ， 0.56 C. 4 ，0.6 D. 4 ， 0.6
11．北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油
沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦
练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为 2cm 的圆，中间有边长为 0.5cm 的正方形孔，你
随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为
A． B． C． D．
12.设 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左、右焦点．圆 2 2 2 2x y a b 与
双曲线C 的右支交于点 A ，且 1 22 3AF AF ，则双曲线离心率为
A. 12
5
B. 13
5
C. 13
2
D. 13
二、填空题：（每题 5 分，共 20 分）
13．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为 400，400，500.为了解该校学生的身高情
况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 65 的样本，则应从高三年
级抽取___名学生.
14．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作 4 个社团中随机选择 2 个，则数
学建模社团被选中的概率为_________.
15. 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(0,1)关于直线 y x 对称，则圆C 的标准方程为
__________．
16. 下列命题中
①已知点 3,0 , 3,0A B ，动点 P 满足 2PA PB ，则点 P 的轨迹是一个圆；
②已知 2,0 , 2,0 , 3M N PM PN ，则动点 P 的轨迹是双曲线右边一支；
③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
④在平面直角坐标系内，到点 1,1 和直线 2 3x y 的距离相等的点的轨迹是抛物线；
⑤设定点 1 20,2 , 0, 2F F ，动点 P 满足条件 1 2
4 ( 0)PF PF a aa
，则点 P 的轨迹
是椭圆.
正确的命题是__________．
三、解答题：（共 70 分）
17．(本小题满分 10 分)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标
原点．若|AF|＝3，求△AOB 的面积
18.（本小题满分 12 分）某校有 1400 名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、
理考生中分别抽取 20 份和 50 份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：
分数分组 [0，30） [30，60） [60，90） [90，120） [120，150]
文科频数 2 4 8 3 3
理科频数 3 7 12 20 8
（I）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90 分为及格分数线）；
（II）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：
文理
失分
文 理
概念 15 30
其它 5 20
问是否有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？
附：
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK
)( 2 kKP 0.150 0.100 0.050 0.010
k 2.072 2.706 3.841 6.635
19．（本小题满分 12 分）为迎接党的“十九”大的召开，某校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”
党史知识竞赛，从参加考试的学生中抽出 50 名学生，将
其成绩（满分 100 分，成绩均为整数）分成六段 ，
，…， 后绘制频率分布直方图（如下图所
示）
（Ⅰ）求频率分布图中 的值；
（Ⅱ）估计参加考试的学生得分不低于 80 的概率；
（Ⅲ）从这 50 名学生中，随机抽取得分在 的学生 2 人，求此 2 人得分都在 的概
率.
20．（本小题满分 12 分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
（ x 吨）与相应的生产能耗 y （吨）标准煤的几组对照数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a ；
（2）已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方
程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1
2 2
1
ˆ
n
i ii
n
ii
x y nxy
b
x nx
， ˆˆa y bx ）
21．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD
是菱形，
060 , ,BAD E F 分别为 ,PA BD 的中点， 2.PA PD AD
（1）证明： / /EF 平面 PBC ；
（2）若 6PB ，求三棱锥 A DEF 的体积.[]
22.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点，焦点在 x 轴的椭圆过点
)3
32,1( E
，且焦距为 2，
过点 (1, 1)P 分别作斜率为 1 2,k k 的椭圆的动弦 ,A B C D ，设 ,M N 分别为线段 ,A B C D 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当 1 2 1k k ，直线 M N 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由.
2017—2018 年度高二下学期开学考试
数学试题（文）答案
A C B B D D C A B A A D 25
①②③
17.解析：由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，
|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2.
设 AB 的方程为 x－1＝ty，由
y2＝4x，
x－1＝ty，消去 x 得 y2－4ty－4＝0.
∴y1y2＝－4，∴y2＝－，∴S△AOB＝
1
2×1×|y1－y2|＝
2
2.
18.解析：.I）∵
∴估计文科数学平均分为 .
∵ ，∴理科考生有 人及格.
（II）（i） ，
故没有 90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关.
19. 解析：（Ⅰ）因为 ，所以
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50 名学生得分不低于 80 的频率为 ，
所以参加考试的学生得分不低于 80 的概率的估计值为 .
（Ⅲ）所抽出的 50 名学生得分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为 ;
得分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为 .
从 这 5 名 学 生 中 随 机 抽 取 2 人 ， 所 有 可 能 的 结 果 共 有 10 种 ， 它 们 是
又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1
种，即 ，故所求的概率为 .
20． 解析：（1） ， ， ， ，
； ，所求的回
归方程为 ．
（2） 时， （吨），预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低
（吨）．
21．解析：（1）连接 ，因为四边形 是菱形， 为 中点，所以 为 中点，
又因为 为 中点，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以
平面 ．
（2）取 中点 ，连接 ,因为 ，所以 ；因为菱形 中，
, ， 所 以 是 等 边 三 角 形 ， 所 以 ， 由 已 知
， 得 ，故 ，而 ，
所以 平面 ．因 平面 ，所以平面 平面 .过 作
于 ，则 平面 ．因为 为 中点，所以 ，所以
．
22.解：（1）由题意知 设右焦点
椭圆方程为
（2）由题意 ，设 直线 ，即 代入椭圆方
程并化简得
同理 当 时， 直线 的斜率
直线 的方程为
又 化简得 此时直线过定点（0， ）
当 时，直线 即为 轴，也过点（0， ）综上，直线过定点（0， ）