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- 2024-03-29 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！安徽省铜陵市第一中学2016-2017学年高二9月月考数学试卷
一、单选题（共12小题）
1．有下列命题：
（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线；
（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3）
C．（1）（3） D．（2）（4）
考点：柱，锥，台，球的结构特征
答案：D
试题解析：对（1）：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，若这两点的连线垂直于底面，则其才是圆柱的母线，故错；
对（2）：圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线，正确；
对（3）：在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故错；
对（4）：圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，正确。
故答案为：D
2．下列四个说法：
①，则；②，则与不平行；
③，则；④，则；
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
考点：点线面的位置关系
答案：C
试题解析：对①：，则或异面，故错；
对②：，则与相交或异面，故不平行，正确；
对③：，则或相交，故错；
对④：，则或相交或异面，故错。
故答案为：C
3．如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①与平行；
②与是异面直线；
③与成60°角；
④与垂直；
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④
考点：点线面的位置关系
答案：B
试题解析：把平面展开图还原成正方体，知：与异面垂直，故①错；与平行，故②错；BM//AN，因为ANC为等边三角形，所以与成60°角，故③正确；因为平面BCN,所以与垂直，故④正确。
故答案为：B
4．如图，在棱长为2 的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
考点：空间的角
答案：B
试题解析：取平面CD的中心为M，则FM//OE,所以为所求。
因为
所以
故答案为：B
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
答案：D
试题解析：该几何体是一个长方体，四分之一圆柱和一个三棱锥的组合体。
所以
故答案为：D
6．已知等差数列的前项和为，则使取得最小值时的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点：等差数列
答案：B
试题解析：由题得：，解得：
所以
即当n=5时，使取得最小值。
故答案为：B
7．已知等差数列的前项和为且满足，则中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
考点：等差数列
答案：D
试题解析：等差数列中，由得：
所以
所以等差数列为递减数列，
且
又
所以
所以中最大的项为。
故答案为：D
8．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个图中，面积最小的面与底面面积之比为（ ）
A． B． C． D．
考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
答案：D
试题解析：该几何体是四棱锥。
底面是一个直角梯形去掉一个直角三角形，
所以底面面积为：
最小的侧面面积为：
所以面积最小的面与底面面积之比为：。
故答案为：D
9．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
答案：B
试题解析：该四面体的外接球即为棱长为2的正方体的外接球。
所以
所以此四面体的外接球的体积是：
故答案为：B
10．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B．
C． D．
考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
答案：C
试题解析：该几何体是三棱锥，一条侧棱垂直于底面，且底面为等腰直角三角形。
所以侧面积为：
故答案为：C
11．已知为正实数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
考点：均值定理的应用
答案：C
试题解析：
当且仅当时，取等号。
故答案为：C
12．在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
考点：两角和与差的三角函数
答案：B
试题解析：因为
所以
即
)
又因为、都是的内角
是直角是等腰直角三角形。
故答案为：B
二、填空题（共4小题）
13.已知满足，若目标函数的最大值为10，则的最小值为____________．
考点：线性规划
答案：5
试题解析：作可行域：
当目标函数线过B时，目标函数值最大，为
解得：m=5.
所以所以的最小值为：
故答案为：5
14.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：
其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是____________．
考点：空间几何体的三视图与直观图
答案：4
试题解析：第4个不行，因为等边三角形的边与高不等，所以正视图和侧视图不相同。
其余4个图都可以做俯视图。
故答案为：4
15.已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式__________．
考点：等比数列
答案：
试题解析：根据题意有：或
又等比数列为递增数列，所以q=2.
又由
所以
故答案为：
16.设正数满足，则___________．
考点：均值定理的应用
答案：
试题解析：由得：
即，
即
因为
所以时取等号。
所以
故答案为：
三、解答题（共6小题）
17.如图，在四边形中，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积．
考点：空间几何体的表面积与体积
答案：见解析
试题解析：如图，（数据都标在图中）
做,垂足为，做，
不难算出
（1）几何体的表面积=地面圆面积+侧面积+上部圆锥内侧面积.
（2）体积=圆台体积-圆锥体积
18.如图，在直三棱柱中，，点是的中点．
（1）求证：平面 ；
（2）求点到平面的距离。
考点：距离平行
答案：见解析
试题解析：
∵在直三棱柱中，，，
∴两两垂直，
如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则．
（1）证明：设与的交点为，则．
∵，∴，∴。
∵平面平面 ，∴平面
（2）设点到平面的距离为，
在三棱锥中，
∵，且平面 ，
∴
易求得，∴．
即点到平面的距离是．
19.中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小 ；
（2）若为边上的中线，，求的面积．
考点：解斜三角形余弦定理
答案：见解析
试题解析：（1）∵，
∴代入已知等式得：，
整理得：，
∴,
∵，
∴；
（2）由得，，
又
所以
所以由正弦定理有：
又中，由余弦定理有：
联立解得：a=8,b=7,c=5.
所以的面积为：
20.设数列的前项和为，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和等比数列
答案：见解析
试题解析：（1）因为，所以，，故，
当时，，
此时，，即，
所以，．
（2）因为，所以，
当时，，
所以,
当时，．
所以，
两式相减，得
所以，经检验，时也适合，
综上可得：．
21.在锐角三角形中，角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
考点：余弦定理
答案：见解析
试题解析：（1）由余弦定理，根据可得：
（2）因为所以
即当且仅当b=c时取等号。
所以的取值范围是：
22.因发生交通事故，一辆货车上的某种液体溃漏到一池塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中
．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．
考点：函数模型及其应用
答案：见解析
试题解析：（1）因为，所以，
①当时，由，解得，所以此时．
②当时，由，解得，所以此时．
综合得，，即，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天．
（2）当时，，由题意知，对于恒成立．
因为，而，所以，
故当且仅当时，有最小值为，令，
解得，所以的最小值为．又，
所以的最小值约为1.6