【数学】陕西省延安市第一中学2019-2020学年高二6月月考（理） 9页

陕西省延安市第一中学2019-2020学年 高二6月月考（理）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1. 在空间直角坐标系中，已知点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知，，若，则等于 （ ）‎ A．－26 B．－10 C．2 D．10‎ ‎3. 如果三点，，在同一条直线上，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6. 已知随机变量的分布列为 则（ ）‎ A. 1.32 B. 1.71 C. 2.94 D. 7.64‎ ‎7. 我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为 ( )‎ A. 600 B. 400 C. 300 D. 200‎ ‎8. 同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝(　 　)‎ A. B． C. D. 5‎ ‎9. 如图，在三棱锥中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，‎ ‎．若是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10. 已知A(0,0,2)，B(1,0,2) ，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎11. 四棱柱的底面为矩形，，，，，则的长为（ ）‎ A. B. 46 C. D. 32‎ ‎12. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知随机变量，且，则 ．‎ ‎14. 已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是 ．‎ ‎15. 已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为 ．‎ ‎16. 将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.（10分）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球．现从中任取2个球，设随机变量为取得红球的个数.‎ ‎（1）求的分布列； ‎ ‎（2）求的数学期望和方差.‎ ‎18.（12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．‎ ‎19. （12分）如图,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如图,以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)求平面A1B1C的法向量;‎ ‎(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.‎ ‎20. （12分）如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．‎ ‎(1)当P是AB的中点，且2|C Q|＝|QD|时，求|PQ|的值；‎ ‎(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．‎ ‎21.（12分）如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．‎ ‎（1）求证：DE∥平面PBC；‎ ‎（2）求二面角A－PB－E的大小．‎ ‎22. （12分）如图，在三棱锥中，，‎ ‎，，，分别是，的中点，‎ 在上且.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-6：CAADCD 7-12：DAAACD 二、填空题 ‎ 13. 0.75 14. －3或1 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：E(‎ ‎18.每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P＝C22＝.‎ ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B 故P(B)＝C3×＋C4＝.‎ ‎19.(1)由题意可知C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),故=(1,0,2),=(0,1,2),‎ 设v=(x0,y0,z0)为平面A1B1C的法向量,则 v·=(x0,y0,z0)(1,0,2)=x0+2z0=0,v·=(x0,y0,z0)(0,1,2)=y0+2z0=0,‎ 即令z0=1,则v=(-2,-2,1).‎ ‎(2)设直线AC与平面A1B1C夹角为θ,而=(1,0,0),所以直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值sinθ=.‎ ‎20.(1)因为正方体的棱长为1，P是AB的中点，所以P().‎ 因为2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0,1,).由两点间的距离公式得：‎ ‎|PQ|＝＝.‎ ‎(2)如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.‎ 设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x.‎ 由正方体的棱长为1，得|AE|＝(1－x)．‎ 因为，所以|PE|＝＝1－x，所以P(x，x,1－x)．‎ 又因为Q(0,1,)，所以|PQ|＝‎ 所以当x＝时，|PQ|min＝，即当点P的坐标为()，‎ 即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为.‎ ‎21、（1） D、E分别为AB、AC中点，‎ DE∥BC ．DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，∴DE∥平面PBC ‎ · ‎ ‎ ‎（2）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，‎ · PD平面ABC．如图，以D为原点建立空间直角坐标系 B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,‎ ‎=(1,0, )，=(0, , ）． 设平面PBE的法向量，令得． DE⊥平面PAB，平面PAB的法向量为．设二面角的A－PB－E大小为，由图知，，‎ 所以，即二面角的A－PB－E的大小为． ‎ ‎22.【解析】I.以A为坐标原点，分别以AC，AB.AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz.则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）‎ 由SF=2FE得F(,,)平面 平面SBC ‎ Ⅱ.假设满足条件的点G存在，并设DG=.则G（1，t，0）.所以 设平面AFG的法向量为，‎ 则 取，得即.‎ ‎.‎ 所以平面AFE的法向量为：=；由得二面角G-AF-E的大小为得 ‎，化简得，‎ 又，求得，于是满足条件的点G存在，且