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- 2024-03-25 发布
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概率
一、选择题
1.下列事件中，必然事件是（ ）
A.抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上
B.两直线被第三条直线所截，同位角
C.366人中至少有2人的生日相同
D.实数的绝对值是非负数
【答案】D
【解析】：A.∵抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上是随机事件，故错误，A不符合题意；B.∵只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等；故错误，B不符合题意；
C.∵一年有365或者366人，∴如果一年正好是366天，则366人中每个人的生日可能都不相同，故错误，C不符合题意；
D.∵一个数的绝对值不是正数就是0，故正确，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.根据随机事件和必然事件的定义来判断对错；
B. 根据平行线性质来判断对错；
C. 根据必然事件或随机事件定义来判断对错；
D.根据绝对值性质来判断对错.
2.下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日
C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意
【答案】D
【解析】 ：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故不符合题意；
B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故不符合题意；
C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故不符合题意；
D、心想事成，万事如意，是随机事件，故符合题意．
15
故答案为：D．
【分析】所谓随机事件，就是可能发生，也可能不会发生的事件，根据概念即可一一判断。
3.下列说法正确的是（ ）
A. 了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B. 甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等， ，则甲的成绩比乙稳定
C. 三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 D. “任意画一个三角形，其内角和是 ”这一事件是不可能事件
【答案】D
【解析】 ：A、了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，不符合题意；
B、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S甲2＞S乙2 ， 则乙的成绩比甲稳定，不符合题意；
C、三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 ，不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是360°”这一事件是不可能事件，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据全面调查及抽样调查适用的条件；根据方差越大数据的波动越大；根据中心对称图形，轴对称图形的概念，三角形的内角和；一一判断即可。
4.如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
15
【解析】 ：设小正方形边长为a，∴小正方形对角线长为： a，
∴S阴=a2 ，
即圆的直径为 a，
∴大正方形的边长为 a，
∴S大正=（ a）2=2a2 ，
∴小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率P= = .
故答案为：C.
【分析】设小正方形边长为a，分别算出阴影部分的面积和大正方形的面积，根据概率公式即可求出小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率.
5.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为 ，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )
A. 小亮明天的进球率为 B. 小亮明天每射球10次必进球1次
C. 小亮明天有可能进球 D. 小亮明天肯定进球
【答案】C
【解析】 ∵根据以往比赛数据统计，小亮进球率为 ，∴他明天参加比赛，有可能进球。
故答案为：C
【分析】根据已知条件小亮进球率为 ，得出他明天参加比赛，有可能进球，即可得出答案。
6.如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（ ）
A. B.
15
C. D.
【答案】D
【解析】 ：指针指向的结果有：1,2,3,4,5,6，
其中大于3的结果有：4,5,6，这3种情况，
∴P（指针指向大于3的数）=
故答案为：D.
【分析】得出任意转动正六边形转盘一次指针指向的所有结果数n，得出大于3的结果数m，则P= .
7.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 ：∵从正面分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张共有5种情况，正面的数字是偶数的有2,4两种情况，
∴正面的数字是偶数的概率P= .
故答案为：C.
【分析】根据题意随机抽取一张卡片有5种情况，正面的数字是偶数的有2种情况，根据概率公式即可得出答案.
8.在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
15
【答案】D
【解析】 ：根据题意 ：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=
故答案为：D。
【分析】一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案。
9.一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有数字1—6）朝上一面的数字。任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ：根据题意可知，这个两位数可能是：31、32、33、34、35、36，，一共有6种可能得到的两位数是3的倍数的有：33、36两种可能
∴P（两位数是3的倍数）=
【分析】利用列举法求出所有可能的结果数及得到的两位数是3的倍数的可能数，利用概率公式求解即可。
10.甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ：依题可得：
15
∴一共有4种情况，而取出的两个小球上都写有数字2的情况只有1种，
∴取出的两个小球上都写有数字2的概率为：P= .
故答案为：C.
【分析】根据题意画出树状图，由图可知一共有4种情况，而取出的两个小球上都写有数字2的情况只有1种，再根据概率公式即可得出答案.
11.抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ：抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字共出现六种等可能情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，则朝上一面的数字为2的概率是
故答案为：A,
【分析】抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字可以是1,2,3,4,5,6六种情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，根据概率公式计算即可。
12.如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ）
A. B.
15
C. D.
【答案】B
【解析】【解答】解：P（指针停止后落在黄色区域）= ，故答案为：B。
【分析】角度占360°的比例，即为指针转到该区域的概率。
二、填空题
13.不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________．
【答案】
【解析】 ∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，
∴摸出一个球是红球的概率是 ，
故答案为： ．
【分析】不透明袋子中装有11个球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，共有11种等可能的结果，其中红球有6个，故摸出红球共有6种情况，根据概率公式计算即可。
14.在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为________.
【答案】
【解析】 ：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，满足a＜0，b＞0的结果数为4，
所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率= ．
故答案为:
【分析】根据抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+1的图象恰好经过第一、二、四象限，则满足a＜0，b＞0；根据题意画出树状图，由图知共有12种等可能的结果数，满足a＜0，b＞0的结果数为4，根据概率公式即可得出该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率。
15.一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分別刻有1到6的点数,张兵同学掷一次骰子,骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是________.
15
【答案】
【解析】 ：∵1到6的点数，一共有6个数，是3的倍数的只有3和6两个
∴
故答案为：
【分析】根据题意可知1到6的点数，一共有6个数，是3的倍数的只有3和6两个，再利用概率公式，求解即可。
16.某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
40
50
100
200
500
1000
击中靶心的频数m
8
19
37
45
89
181
449
901
击中靶心的频率
0.900
0.950
0.925
0.900
0.890
0.905
0.898
0.901
该射手击中靶心的概率的估计值是________（明确到0.01）．
【答案】0.90
【解析】 ：由表可知：该射手击中靶心的概率的估计值为0.90.故答案为0.90.
【分析】用频率来表示概率，由此即可得出答案.
17.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________．
【答案】
【解析】 ：这5个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形有①⑤∴其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率： .
【分析】根据题意得出5个图形中满足条件的只有2种，根据概率公式即可求解。
18.若从﹣1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是________．
【答案】
15
【解析】 ：列表如下：
由表可知，共有6种等可能结果，其中点M在第二象限的有2种结果，
所以点M在第二象限的概率是 ..
故答案为： ．
【分析】根据题意，从﹣1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，列出表格得出M点的横纵坐标的所有可能结果，由表可知，共有6种等可能结果，其中点M在第二象限的有2种结果，根据概率公式即可得出答案。
19.有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是________．
【答案】
【解析】 ：根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，二种；
故其概率为： ．
【分析】根据题意，用列举法列举出从有4根细木棒中任取3根所有的取法，从而得出所有等可能的结果共有4中，其中根据三角形三边的关系得出能搭成三角形的共有2种，根据概率公式即可得出答案。
20.小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜。若由小明先取，且小明获胜是必然事件，，则小明第一次取走火柴棒的根数是________.
【答案】1
【解析】 ：如果小明第一次取走1根，剩下了6根，6既是1的倍数又是2的倍数，不管后面怎么取，小明都将取走最后一根火柴.故答案为：1.
【分析】要保证小明获胜是必然事件，则小明必然要取到第7根火柴，进行倒推，就能找到保证小明获胜的方法.
21.一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为________．
15
【答案】
【解析】 ：一共有9个小方格，阴影部分的小方格有4个，则P=
故答案为：
【分析】根据概率公式P= ，找出所有结果数n，符合事件的结果数m，代入求值即可。
22.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________.
【答案】
【解析】 ：∵四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，设两直角边的长分别为2x、3x
∴大正方形的面积为（2x）2+（3x）2=13x2
小正方形的边长为3x-2x=x，则小正方形的面积为x2,
∴阴影部分的面积为：13x2-x2=12x2,
∴针尖落在阴影区域的概率为：
故答案为：
【分析】根据已知四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 ，因此设两直角边的长分别为2x、3x，利用勾股定理求出大正方形的面积，再求出小正方形的面积，再求出阴影部分的面积，利用概率公式，求解即可。
三、解答题
15
23.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（ ， ， ， ， ， ）中任取2个涂黑，得到新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
【答案】（1）解：米粒落在阴影部分的概率为 ；
（2）解：列表：
第二次
A
B
C
D
E
F
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
(A，E)
(A，F)
B
（B , A）
(B，C)
(B，D)
(B，E)
(B，F)
C
(C , A)
(C，B)
(C，D)
(C，E)
(C，F)
D
(D , A）
(D，B)
(D，C)
(D，E)
(D，F)
E
(E , A)
(E，B)
(E，C)
(E，D)
(E，F)
F
(F , A)
(F , B)
(F , C)
(F , D)
(F，E)
共有30种等可能的情况，其中图案是轴对称图形的有10种，
故图案是轴对称图形的概率为 ；
【解析】【分析】（1）观察图形，可得出一共有9种可能，米粒落在阴影部分的可能数是3种，再利用概率公式，即可求解。
（2）利用列表法表示出所有可能的情况，再求出图案是轴对称图形的可能数，然后利用概率公式求解即可。
15
24.“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为________；
（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由;
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率.
【答案】（1）50；30%
（2）解：不能；由统计图知，79.5~89.5和89.5~99.5两组占参赛选手60%，而78＜79.5，所以他不能获奖；
（3）解：由题意得树状图如下
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好选中1男1女的结果共有种，故P= = .
【解析】 （1）本次比赛选手共有（2+3）÷10%=50（人），“89.5～99.5”这一组人数占百分比为：（8+4）÷50×100%=24%，
所以“69.5～79.5”这一组人数占总人数的百分比为：1-10%-24%-36%=30%，
故答案为：50，30%；
（2）不能；由统计图知，79.5~89.5和89.5~99.5两组占参赛选手60%，而78＜79.5，所以他不能获奖；
【分析】（1）观察扇形和频数分布直方图，利用59.5～69.5的人数÷所占的百分比，计算即可；“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比=这一组的人数÷参赛的总人数，计算即可。
15
（2）观察两统计图中的相关数据，即可判断。
（3）根据题意可知此题是抽出不放回，列出树状图，求出所有可能的结果数及选中1男1女的结果数，利用概率公式，求解即可。
25.某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲),从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据以上信息,解答下列问题:
（1）这次被调查的学生共有多少人?
（2）请将条形统计图补充完整;
（3）若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人?
（4）该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
【答案】（1）解：这次被调查的学生人数为15÷30%=50人；
（2）解：喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）=10人，补全图形如下：
（3）解：估计全校学生中喜欢娱乐节目的有1500× =540人；
（4）解：列表如下：
15
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为 = ．
【解析】【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图可知：喜欢动画的人数是15人，其所占的百分比是30％，用喜欢动画的人数除以其所占的百分比即可得出这次被调查的学生的人数；
（2）用本次调查的学生人数分别减去喜欢新闻、喜欢动画、喜欢娱乐、喜欢戏曲的人数即可得出瞎混体育的人数，根据人数补全条形统计图即可；
（3）用全校的学生人数乘以样本中喜欢娱乐的学生所占的百分比即可得出全校学生中喜欢娱乐节目的人数；
（4）根据题意列出表格，由表格可知：所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，根据概率公式即可算出恰好选中甲、乙两位同学的概率。
26.一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、﹣2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标．
（1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求点A落在第四象限的概率．
【答案】（1）解：依题意列出所有可能出现的情况如下表所示：
（2）解：点A落在第四象限的情况有（1，﹣2）、（3，﹣2）2种情况，∴点A落在第四象限的概率P= .
15
【解析】【分析】（1）根据题意用列表法表示所有可能出现情况.
（2）由（1）中的所有情况可知落在第四象限的点有2种情况，根据概率公式即可得出答案.
15
