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- 2024-03-24 发布
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2016-2017学年河北省衡水市安平中学高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{1，2，3}
2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n∉N*，f（n）＞n
4．已知双曲线方程为﹣=1，那么它的半焦距是（ ）
A．5 B．2.5 C． D．
5．设抛物线y2=8x焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．下列求导运算正确的是（ ）
A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=
C．（3x）′=3x•log 3e D．（x2cos x）′=﹣2xsin x
7．已知f（x）=x，若f′（x0）=2013，则x0=（ ）
A．e2 B．1 C．ln2 D．e
8．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆
11．已知P是抛物线y2=2x上动点，A（，4），若点P到y轴距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．
12．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．一物体运动过程中位移h（米）与时间t（秒）的函数关系式为h=1.5t﹣0.1t2，当t=3秒时的瞬时速度是 （米/秒）．
14．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 ．
15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是 ．
16．若双曲线的一条渐近线方程为y=x，则其离心率为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．若不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）试求a，b的值；
（2）求不等式＞0的解集．
18．命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实根，命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，求实数a的取值范围．
19．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|•|PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
20．已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
21．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．
22．已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．若f（x）在x=1处与直线相切．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在上的极值．
2016-2017学年河北省衡水市安平中学高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】解：集合A={0，1，2，3}，
B={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，
则A∩B={1，2}．
故选：C．
2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．
【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，
∴a＜b成立，
由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，
所以根据充分必要条件的定义可的判断：
a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，
故选：A
3．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n∉N*，f（n）＞n
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．
故选：C．
4．已知双曲线方程为﹣=1，那么它的半焦距是（ ）
A．5 B．2.5 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的半焦距．
【解答】解：c2=25，c=5，
∴双曲线的半焦距为5．
故选A．
5．设抛物线y2=8x焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，即可求|PF|．
【解答】解：抛物线y2=8x焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2，
∵点P在此抛物线上且横坐标为4，
∴|PF|=4+2=6
故选B．
6．下列求导运算正确的是（ ）
A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=
C．（3x）′=3x•log 3e D．（x2cos x）′=﹣2xsin x
【考点】导数的运算．
【分析】根据函数的导数公式进行判断即可．
【解答】解：A．（x+）′=1﹣，故A错误，
B．（log2x）′=，故B正确，
C．（3x）′=3x•ln3，故C错误，
D．（x2cos x）′=2xcosx﹣x2sin x，故D错误，
故选：B
7．已知f（x）=x，若f′（x0）=2013，则x0=（ ）
A．e2 B．1 C．ln2 D．e
【考点】导数的运算．
【分析】先根据函数求导的运算法则和求导公式求出导函数，然后根据函数值求出相应的x即可．
【解答】解：∵f（x）=x，
∴f′（x）=2012+lnx+1=lnx+2013
则f′（x0）=lnx0+2013=2013，即x0=1
故选B．
8．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【考点】基本不等式．
【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．
【解答】解：∵a+b=2，
∴=1
∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）
故选C
9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，
故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；
故选C．
10．已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆
【考点】圆方程的综合应用．
【分析】设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，根据椭圆的定义，可得结论．
【解答】解：如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故选D．
11．已知P是抛物线y2=2x上动点，A（，4），若点P到y轴距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线定义儿可知点P到y轴距离为d1=|PF|﹣，进而判断出当A，P，F三点共线时，所求的值最小．
【解答】解：∵y2=2x，焦点坐标为F（，0）
根据抛物线定义可知点P到y轴距离为d1=|PF|﹣
∴d1+d2=|PF|+|PA|﹣
进而可知当A，P，F三点共线时，d1+d2的最小值=|AF|﹣=5﹣=
故选：B．
12．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．
【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线
y=x2﹣lnx相切，
设P（x0，x02﹣lnx0）则有
k=y′|x=x0=2x0﹣．
∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．
∴P（1，1），
∴d==．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．一物体运动过程中位移h（米）与时间t（秒）的函数关系式为h=1.5t﹣0.1t2，当t=3秒时的瞬时速度是 0.9 （米/秒）．
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求质点的运动方程为h=1.5t﹣0.1t2的导数，再求得t32秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．
【解答】解：因为h′=1.5﹣0.2t
所以当t=3秒时的瞬时速度是1.5﹣0.2×3=0.9
故答案为0.9
14．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为
11 ．
【考点】基本不等式．
【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．
【解答】解：画出可行域如图阴影部分，
由得C（3，2）
目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大z越大，
由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11
故答案为：11
15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是 ．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】先求函数的导数，因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．
【解答】解：f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1的导数为f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，
∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即﹣3x2+2ax﹣1≤0恒成立，∴△=4a2﹣12≤0，解得﹣≤a≤
∴实数a的取值范围是
故答案为
16．若双曲线的一条渐近线方程为y=x，则其离心率为 或 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】讨论双曲线的焦点在x或y轴上，求得渐近线方程，可得b=2a或a=2b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上，
由双曲线的方程（a，b＞0），
可得渐近线方程为y=±x，
即有b=a，c==a，
则e==；
当双曲线的焦点在y轴上，
由双曲线的方程（a，b＞0），
可得渐近线方程为y=±x，
即有b=a，c==a，
则e==．
故答案为：或；
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．若不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）试求a，b的值；
（2）求不等式＞0的解集．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，可知方程ax2+bx﹣1=0的解是1和2，从而利用韦达定理求得a、b的值，
（2）不等式转化为（x﹣2）（3x﹣2）＜0解所求不等式即可．
【解答】解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
∴a＜0且方程ax2+bx﹣1=0的解是1和2，
∴1+2=﹣，1×2=﹣
∴a=﹣，b=；
（2）＞0，化为＞0，即＜0，即（x﹣2）（3x﹣2）＜0，解得＜x＜2，
∴不等式＞0的解集为（，2）．
18．命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实根，命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求到当命题p，q为真时对应的集合，而由题意可知：p真q假或p假q真，分别求解不等式组的解集即可．
【解答】解：∵方程x2+ax+2=0无实根，
∴△=a2﹣8＜0，∴﹣2＜a＜2，
∴命题p：﹣2＜a＜2．
∵函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1．
∴命题q：a＞1．∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q一真一假．
当p真q假时，﹣2＜a≤1，
当p假q真时，a≥2．
综上可知，实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）
19．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|•|PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程为y=±x，设双曲线方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点P的坐标算出λ=﹣16，即可得到双曲线的标准方程；
（2）由双曲线的标准方程，算出a=3、b=4且c=5，设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=41，又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，再由△F1PF2中|F1F2|=10，利用余弦定理加以计算即可得出∠F1PF2的余弦值．
【解答】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=41，
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，
∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，
又|F1F2|=2c=10，
∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
20．已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=x2﹣4x=x（x﹣4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；把函数导数为0点代到f（x）中，判断极大极小值即可．
【解答】解：（1）f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得． …
（2）由（1）可知，
f'（x）=x2﹣4x=x（x﹣4），
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x
（﹣∞，0）
0
（0，4）
4
（4，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
增
极大值
减
极小值
增
∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数； …
∴极大值为，极小值为．…
21．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由题意可知：c=，a=2，又b2=a2﹣c2．即可得出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+b，与椭圆方程联立可得x2+2bx+2b2﹣2=0，△≥0，即b2≤2．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得：弦长|AB|==，由于0≤b2≤2，即可得出．
【解答】解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．
∵焦点在x轴上，
∴椭圆C的方程为：．
（2）设直线l的方程为y=x+b，由，
可得x2+2bx+2b2﹣2=0，
∵l与椭圆C交于A、B两点，
∴△=4b2﹣4（2b2﹣2）≥0，即b2≤2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2．
∴弦长|AB|==，
∵0≤b2≤2，
∴|AB|=≤，
∴当b=0，即l的直线方程为y=x时，弦长|AB|的最大值为．
22．已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．若f（x）在x=1处与直线相切．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在上的极值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据导数的几何意义列方程组解出；
（2）判断f（x）的单调性，根据单调性得出极值．
【解答】解：（1）f′（x）=﹣2bx．
∵函数f（x）在x=1处与直线相切，
∴，即，解得．
（2）由（1）得：f（x）=lnx﹣x2，定义域为（0，+∞）．
f′（x）=﹣x=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1．
∴f（x）在上单调递增，在（1，e）上单调递减，
∴f（x）在上的极大值为f（1）=﹣．无极小值．
