高考数学复习中档解答题规范训练(三) 10页

‎ ‎ 中档解答题规范训练(三)‎ 数　　列 ‎(建议用时:60分钟)‎ ‎1.(2014·惠州模拟)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.‎ ‎【解析】(1)由an+1=2Sn+1,‎ 可得an=2Sn-1+1(n≥2),‎ 两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2),‎ 又因为a2=2S1+1=3,所以a2=‎3a1,‎ 故数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,‎ 所以an=3n-1.‎ ‎(2)设{bn}的公差为d,‎ 由T3=15得b1+b2+b3=15,故b2=5,‎ 故可设b1=5-d,b3=5+d,‎ 又a1=1,a2=3,a3=9,‎ 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2,‎ 解得d1=2,d2=-10.‎ 因为等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值,‎ 所以d<0,d=-10,所以b1=15,‎ 所以Tn=15n+×(-10)=-5n2+20n.‎ ‎【加固训练】已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N*),数列{bn}的前n项和Sn=12-12(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎(2)设cn=,是否存在m∈N*,使cm≥9成立?并说明理由.‎ ‎【解析】(1)由an+1==+2,‎ 所以=1+2(n-1)=2n-1,an=(n∈N*).‎ 由Sn=12-12及Sn-1=12-12(n≥2),‎ 可得bn=Sn-Sn-1=4(n≥2),‎ 令n=1,则b1=S1=12-12×=4也满足上式,‎ 所以bn=4(n∈N*).‎ ‎(2)cn==(2n-1)·4=4(2n-1),‎ 设cm为数列{cn}中的最大项,则 所以m=3.即c3为{cn}中的最大项.‎ 因为c3=20=<9,‎ 所以不存在m∈N*,使cm≥9成立.‎ ‎2.(2014·温州模拟)设是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足:‎ ‎+=+,S7=7.‎ ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎(3)试求所有的正整数m,使得为数列中的项.‎ ‎【解析】(1)设公差为d,则-=-,‎ 由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3).‎ 因为d≠0,所以a4+a3=0,即‎2a1+5d=0①.‎ 又由S7=7得‎7a1+d=7,‎ 即a1+3d=1②.‎ 联立①②解得a1=-5,d=2,‎ 所以an=2n-7(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)知,当n≤3时,an<0;‎ 当n>3时,an>0.‎ Sn===n2-6n.‎ 所以当n≤3时,Tn=-Sn=-n2+6n;‎ 当n>3时,Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3‎ ‎=(n2-6n)-2×(-9)=n2-6n+18.‎ 综上,Tn=‎ ‎(3)=,令‎2m-3=t,‎ 则==t+-6.‎ 故t为8的约数,又因为t是奇数,所以t的可能取值为±1.‎ 当t=1时,m=2,=3=2×5-7是数列中的第5项;‎ 当t=-1时,m=1,=-15=2×(-4)-7不是数列中的项.所以满足条件的正整数m=2.‎ ‎【加固训练】已知a-.‎ ‎【解析】(1)方法一:因为an=an-1+2n-1,‎ 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1,‎ ‎=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.‎ 方法二:因为an=an-1+2n-1,‎ 所以-1=.‎ 又因为-1=-,‎ 所以数列是以-为首项,为公比的等比数列,‎ 所以-1=-=-,‎ 所以an=2n-1.‎ ‎(2)因为bn==‎ ‎==‎ Sn=b1+b2+…+bn=[++…+]‎ ‎==‎ ‎(3)因为Sn==-‎ ‎=-≥-·,‎ 所以Tn=S1+S2+…+Sn≥‎ ‎-=-‎ ‎>-.‎ ‎5.(2014·韶关模拟)已知{an}为公差不为零的等差数列,首项a1=a,{an}的部分项,,…,恰为等比数列,且k1=1,k2=5,k3=17.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an(用a表示).‎ ‎(2)设数列{kn}的前n项和为Sn,求证:++…+<(n是正整数).‎ ‎【解析】(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),‎ 由已知得a1=a,a5=a+4d,a17=a+16d成等比数列,‎ 所以(a+4d)2=a(a+16d),且a≠0,‎ 得d=0或d=.‎ 因为已知{an}为公差不为零的等差数列,所以d=,‎ 所以an=a1+(n-1)d=a+(n-1)=a.‎ ‎(2)由(1)知an=a,所以=a,‎ 而等比数列{}的公比q===3,‎ 所以=a1·3n-1=a·3n-1.‎ 因此=a=a·3n-1,‎ 因为a≠0,所以kn=2×3n-1-1,‎ 所以Sn=(2×30+2×31+…+2×3n-1)-n=-n=3n-n-1.‎ 方法一:因为当n>1时,3n=(1+2)n=+×2+×22+…+×2n-1+×2n ‎≥+n×2+×2n=2n+2n+1>2n+n+1‎ 所以3n-n-1>2n(或用数学归纳法证明此不等式),‎ 所以=<(n≥2),‎ 所以当n=1时,=1<,不等式成立;‎ 当n≥2时,++…+‎ ‎<1++++…+‎ ‎=1+=-<,‎ 综上得不等式++…+<成立.‎ 方法二:因为当n≥3时,3n=(1+2)n=+×2+×22+…+×2n-1+×2n ‎>+×2+×22=2n2+1>n2+2n+1,‎ 所以3n-n-1>n(n+1)(或用数学归纳法证明此不等式)‎ 所以=<=-(n≥3),‎ 所以当n=1时,=1<,不等式成立;‎ 当n=2时,+=1+=<不等式成立.‎ 当n≥3时,++…+<+++…+=1++-=-<,‎ 综上得不等式++…+<成立.‎ 方法三:利用二项式定理或数学归纳法可得:3n-1≥n+1(n≥2)‎ 所以,n≥2时,3n-(n+1)≥3n-3n-1=2·3n-1,‎ ‎++…+<1+‎ ‎=-<<,‎ n=1时,=1<,不等式成立,‎ 综上得不等式++…+<成立.‎ 关闭Word文档返回原板块