数学理卷·2018届广东省深圳市耀华实验学校高三上学期期末考试（2018 12页

绝密★启用前 ‎2017－2018学年第一学期期末考试 高三年级实验班(理科数学)试题卷 ‎ 2018.01‎ 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．给出以下三幅统计图及四个命题：‎ ‎ ‎ ‎①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口大约将达到15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④‎ 从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢. 其中命题正确的是 ‎（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）②④‎ ‎3．已知R且，则下列不等式中成立的是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎4．函数的零点所在的大致区间是 ‎（A）（0，1） （B）（1，2） （C）（2，3） （D）（3，4）‎ ‎5．在中,若,则的形状是 ‎（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定 ‎ ‎6．的展开式中常数项为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）105‎ ‎7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ‎ ‎ （A）324 （B）328 （C）360 （D）648‎ ‎8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获利5万元，每吨乙产品可获利3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业在一个生产周期内可获得的最大利润是 ‎（A）12万元 （B）20万元 （C）25万元 （D）27万元 ‎9．若倾角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点，则线段的长为 ‎（A）　　 （B）　　　 （C）　　　 （D）‎ 第10题图 ‎10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12．已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．平面向量与的夹角为，，，则=__________. ‎ ‎14．设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时, =__________.‎ ‎15．已知，，，则的最小值为__________.‎ ‎16．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为__________. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分． ‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）已知锐角的两边长分别为函数的最大值与最小值，且的外接圆半径为，求的面积．‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题题满分10分）‎ 已知数列的前项和为，且（nN*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：‎ 单价x（元/件）‎ ‎60‎ ‎62‎ ‎64‎ ‎66‎ ‎68‎ ‎70‎ 销量y（件）‎ ‎91‎ ‎84‎ ‎81‎ ‎75‎ ‎70‎ ‎67‎ ‎（Ⅰ）通过画散点图可判断销量与单价线性相关，请求关于的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）已知该产品的成本是元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图，四边形是直角梯形，，//，，，‎ ‎,，直线与直线所成的角为.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分) ‎ 已知圆：过椭圆： ()的短轴端点，，分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作圆的一条切线交椭圆于，两点，求的面积的最大值．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数有两个不同的零点．‎ ‎（Ⅰ）求的最值；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎2017—2018学年第一学期期末考试 高三年级实验班(理科数学)试题 参考答案 一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B D B C B B D B B B A ‎（12.提示： ，令得研究和相切时的切点坐标为，则两图象交于两点，所以.）‎ 二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．‎ ‎13．. 14．. 15．．16．．‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题题满分10分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）已知锐角的两边长分别为函数的最大值与最小值，且的外接圆半径为，求的面积．‎ 解:（Ⅰ） ‎ 又，∴，∴，‎ ‎∴函数的值域为． ……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）依题意不妨设的外接圆半径，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴．……………………………………………10分 ‎18.（本小题题满分10分）‎ 已知数列的前项和为，且（nN*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）当时，，即， ………………………………………1分 ‎ 解得． ………………………………………………………2分 当时，， ………………3分 即， ………………………………………………………4分 所以数列是首项为，公比为的等比数列．……………………………………5分 所以（）． ………………………………………………6分 ‎（Ⅱ） 因为， ………………………………………………8分 所以 ………………………………………………9分 ‎ ………………………………………………10分 ‎ ………………………………………………11分 ‎． ………………………………………………12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：‎ 单价x（元/件）‎ ‎60‎ ‎62‎ ‎64‎ ‎66‎ ‎68‎ ‎70‎ 销量y（件）‎ ‎91‎ ‎84‎ ‎81‎ ‎75‎ ‎70‎ ‎67‎ ‎（Ⅰ）通过画出散点图可判断销量与单价线性相关，请求关于的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）已知该产品的成本是36元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎ ‎ 解:（Ⅰ）由销量与单价线性相关 ‎ …………3分 ‎ …………4分 ‎……6分 回归直线方程为 ……………8分 ‎ （Ⅱ）利润 ……………10分 ‎ 当时，利润最大，这时 故定价约为元时，企业获得最大利润. ……………12分 ‎20．（本题满分12分）‎ 如图，四边形是直角梯形，，//，，，‎ ‎,，直线与直线所成的角为.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．‎ 解：（Ⅰ）因为；‎ 所以． ………………………………………2分 又因为平面,‎ 所以…………………4分 ‎（Ⅱ）在平面内，过作，‎ 建立空间直角坐标系（如图）…………5分 由题意有,，‎ 设，则，‎ ‎，‎ ‎ ． …………………………………………7分 由直线与直线所成的角为，得 解得． ………………………………………………………………………9分 所以, ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 ，即 ．‎ 取，得． ………………………………………10分 平面的法向量取为 …………………………………11分 设与所成的角为，则 ‎ 因为二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角的平面角的余弦值为． ……………………12分 ‎21．（本题满分12分）‎ 已知圆：过椭圆：()的短轴端点，，分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作圆的一条切线交椭圆于，两点，求的面积的最大值．‎ 解：（Ⅰ）∵圆过椭圆的短轴端点，∴，‎ 又∵线段长度的最大值为3，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可设切线的方程为，即，则 ‎，得．① ……………………………………………6分 联立得方程组消去整理得．‎ 其中，‎ 设，，则，‎ ‎，………………………………………… 8分 则．②‎ 将①代入②得，∴，………………………………10分 而，‎ 等号成立当且仅当，即．‎ 综上可知：． ……………………………………………12分 ‎22．（本题满分12分）‎ 已知函数有两个不同的零点．‎ ‎（Ⅰ）求的最值；‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 解：（Ⅰ），有两个不同的零点，‎ ‎∴在内必不单调，‎ 故，此时，‎ ‎∴在上单调递增，上单调递减，‎ ‎∴，无最小值. ……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题知，两式相减，得 ，即， ……………………………………………6分 故要证，即证， ‎ 即证，‎ 不妨设 ，令，则只需证 ， ……………………………………………8分 设，则，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，即在时恒成立，原不等式得证．……………………12分