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- 2024-03-22 发布
文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.在试题卷上作答无效.
一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集,，，则
A． B． C． D．
2．设，则=
A．2 B． C． D．1
3．若
A． B． C． D．
4．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是
A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
5．设则
A． B．
C． D．
6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A．-1 B．2 C．3 D．4
7．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
9．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的编号是
A．8号 B．200号 C．616号 D．815号
10．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是
A． B． C． D．
11．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则
A． B． C． D．
12．已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 ,共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，且，则_______.
14．若，满足约束条件，则的最大值为_________．
15．已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________．
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过,,三个城市时：
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；
乙说：我没去过城市；
丙说：我们三个去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为__________
三、解答题 (本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
在数列 中，已知，点 在直线上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记 , 求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
40
女生
30
合计
100
且已知在100个人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）根据列联表，是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由．
附：参考公式与临界值表如下：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19．（本小题满分12分）
已知四棱锥的底面为菱形，且，
， ，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到面的距离．
20．（本小题满分12分）
若，，求：
（Ⅰ）求的单调增区间；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线：与椭圆相交于，两点，若，试用表示.
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，与轴相交于点.
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求的值．
文科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
B
A
D
B
A
C
C
D
A
二、填空题
13. ___2____ 14. ___6____ 15. 16. ____A___
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由已知得 ，即
∴ 数列 是以 为首项，以为公差的等差数列
∵
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∴
∴
18．解：（1）因为在100人中随机抽取1人喜欢游泳的概率为．所以喜欢游泳的人数为，所以列联表如下：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100
（2），所以有99.9%的把握认为“喜欢游泳与性别有关系”．
19． (Ⅰ)连接CO. ∵，
∴△AEB为等腰直角三角形．
∵O为AB的中点，
∴EO⊥AB，EO＝1.
又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴CO＝.
又EC＝2，
∴EC2＝EO2＋CO2，
∴EO⊥CO.
又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)设点D到平面AEC的距离为h.
∵AE＝，AC＝EC＝2，
∴S△AEC＝.
∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC，
∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝
∴点D到平面AEC的距离为.
20.（1），
由 解得或，故的增区间为；
（2）， （舍）或，
, ,
，
21.（1）由题意解得
故椭圆C的方程为．
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8＝0，
所以，．
因为|AB|＝4|，所以，
所以，
整理得k2(4-m2)＝m2-2，显然m2≠4，又k＞0，所以．
故．
22.（1）直线的参数方程为
∴消去参数后，直线的普通方程为:，
的极坐标方程为，
∴
∴，
整理得，曲线C的普通方程为.
（2）设两点对应的参数分别为，
将方程代入曲线C：得:
∴，
∴=.