数学（理）卷·2017届黑龙江省大庆一中高三上学期期末考试（2017 10页

大庆一中高三年级上学期期末考试 数学（理）试卷 出题人：巩玲 审题人：许昊宁 一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 如果复数是实数，则实数( )‎ A.      B. 1 C.    D. ‎ ‎2. 集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 已知向量 若，则（ ）‎ A. 1       B.       C.       D.2‎ ‎4. 已知 则（　　 ） ‎ A.   B.   C.   D. ‎ ‎5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的( ) ‎ A. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 ‎ B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 ‎ C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 ‎ D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 ‎6. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎8. 给出下列说法，其中正确的个数是（ ）‎ ‎① 命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“∃x0∈R，x02+x0+10”；‎ ‎② 命题“若x = y，则sinx = siny”的否命题是：“若x = y，则sinxsiny”；‎ ‎③ “7＜k＜9”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件；‎ ‎④ “”是“与平行”的充要条件.‎ A. 1       B. 2     C. 3       D. 4‎ ‎9. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，是一个以为底边的等腰三角形，, 椭圆C1的离心率为，则双曲线C2的离心率是（ ）‎ ‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎10. 已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 函数是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有,记，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数 的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 函数，则的值为 ___ ___ ．‎ ‎14. 已知M是抛物线上一点，F为其焦点，点A在圆C：上，则的最小值为 .‎ ‎15. 已知定义在R上的奇函数f (x)满足数列前n项和为，且，则= .‎ ‎16. 函数，关于x的方程的实根个数为 个.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）已知向量，，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）已知分别为内角的对边，其中为锐角，，且，‎ 求的面积．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{an }满足，且是的等差中项． ‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an； ‎ ‎（2）若, 且是数列{bn}的前n项和，求使成立的最小正整数n的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）四棱锥中，底面，且，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ （2） 若M为线段PC上一点，且，求线段AM与 平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知 分别是椭圆C：的左、右焦点，P在椭圆上且到两个焦点 的距离之和为.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）如图，动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，作 分别交直线于M、N两点，求四边形的面积S的最大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数 ‎（1）若函数满足，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当时，试比较与的大小.‎ 选考题：请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,已知点，直线 ( t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,直线和曲线C的交点为A、B．‎ ‎（1）求直线和曲线C的普通方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. ‎ ‎（1）若=1，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 高三年级上学期期末数学（理）试卷——答案 一． 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D D C A A B B A C B 二．填空题：13. 14. 5 15. 3 16. 10 ‎ 三．解答题：‎ ‎17.解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. ‎ 周期为T=‎ 令 ，解得 所以f(x)的单调递减区间为：‎ ‎（2），因为， 所以，‎ 又由余弦定理得：，则， 从而．‎ ‎18.解析：解：(1)∵an+12-an+1an-2an2=0，∴(an+1+an)(an+1-2an)=0， ‎ ‎∵数列{an}的各项均为正数， ∴an+1+an＞0， ∴an+1-2an=0， ‎ 即an+1=2an，所以数列{an}是以2为公比的等比数列． ‎ ‎∵a3+2是a2，a4的等差中项， ‎ ‎∴a2+a4=2a3+4， ∴2a1+8a1=8a1+4， ‎ ‎∴a1=2， ‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=2n． ‎ ‎(2)由(1)及得，bn=—n•2n， ‎ ‎；①‎ ‎；②‎ ‎①-②得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1 ‎ 即 要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，即 ‎ ‎∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．‎ ‎19.证明：（1）取为侧棱中点 如图，取的中点，连、、BQ ‎ ，为的中位线，‎ ‎∴且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，则. ‎ 只需证平面PCD ‎ ‎∵底面，∴.‎ 又∵，，∴平面.‎ ‎∵平面，∴  ‎∵，为中点，∴ ‚ ‎∵，∴由‚得平面. ‎ ‎ ∵，∴平面. ‎ ‎∵平面，∴平面平面. ‎ ‎（2） 如图所示建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设，则 ‎,B(0，1，0),C(1，2，0),P(0，0，1)‎ 则，.‎ 设平面的法向量为，则 由，. ‎ ‎ 由，有M ‎ 设所求线面角为，则. ∴所求线面角的正弦值为. ‎ ‎20.解析：(1)由 ‎ ‎（2）联立，得 直线l和椭圆C有且仅有一个公共点，‎ 即 设 ‎①当k=0时，四边形F1F2NM为矩形，此时S=2‎ ‎②当时，过F2作F1M的垂线，垂足为P，则 ‎ 则 ‎ ‎ 同理：‎ ‎ 即 综上所述，，即S的最大值为2‎ ‎21.解析：(1) 由f(1)=2 可知a=1；若恒成立，则恒成立. ‎ 令，‎ ‎，可得在(0,1)上递减，在上递增，‎ 所以 即 ‎ ‎（2）‎ 若f(x)在定义域内单增，则 恒成立，即 恒成立 ‎ ‎ ‎ （3）由(I)知在(0,1)上单调递减 ‎∴当时，即 ‎ ‎ ‎ ‎22.解析：（1）直线（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程为x﹣y﹣3=0；‎ 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的普通方程为 y2=2x；‎ ‎（2）将直线l的标准参数方程代入曲线C：y2=2x中，‎ 可得t2﹣t+4=0，即有t1+t2=，t1t2=4，由于t1>0, t2>0‎ 则|PA|+|PB|= |t1|+|t2| = t1+t2 =．‎ ‎23.解析：（1）当a=1时，不等式f（x）+|2x-3|＞0，化为：|x-1|+|2x-3|＞2．‎ 当x≥时，3x＞6．解得x＞2；当x∈（1，）时，可得-x+2＞2，不等式无解； 当x≤1时，不等式化为：4-3x＞2，解得x<．则不等式的解集为： （2）关于x的不等式f（x）＜|x-3|恒成立，可得|x-a|-2＜|x-3| 设g（x）=|x-a|-|x-3|，即g(x)<2恒成立， 只需令g(x)的最大值小于2即可 ‎ |x-a|-|x-3|≤|a-3|，g（x）max=|a-3| 即令：|a-3|＜2 ‎ a的取值范围为（1，5）‎