数学理卷·2018届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期联考（2017 12页

‎“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 ‎2017-2018学年第一学期第一次月考 高三数学（理科）试卷 命题人：永安一中 吴强 德化一中 郑进品 漳平一中 陈建州 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）‎ ‎1.若全集为实数集，集合，,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.命题“对任意的，都有”的否定是（ ）‎ A.不存在，使 B.存在，使 ‎ C．存在，使 D．对任意的，都有 ‎ ‎3.已知：命题“,”；命题“”，则下列命题正确的是（ ）‎ A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题 ‎ C. 命题“”是真命题 D．命题“”是真命题 ‎4.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知角终边上一点的坐标为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在中,角,,的对边分别为,若,,‎ ‎，则面积为（ ）‎ A. B． C. D.‎ ‎7.已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ）‎ A．0 B．2 C.4 D．6‎ ‎8.设命题,命题,若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.定义运算，则函数的图象是下图中（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎10.下列说法错误的是（ ）‎ A.若扇形的半径为6cm，所对的弧长为cm，则这个扇形的面积是cm2‎ B.函数的图象上离坐标原点最近的对称中心坐标是 C.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,若,则三角形有两解 D.若，则的值为 ‎11.如图是函数图象的一部分，对不同的，若，有，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 12. 已知定义在上的函数，满足①；②(其中是 的导函数，是自然对数的底数)，则的取值范围为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置.)‎ ‎13. . ‎ ‎14.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . ‎ ‎15.若函数，则函数的值域是 .‎ ‎16.如图，在路边安装路灯，路宽为，灯柱长为10米，灯杆长为1米，且灯杆与灯柱成角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为，灯罩轴线与灯杆垂直．若灯罩截面的两条母线所在直线一条恰好经过点，另一条与地面的交点为．则该路灯照在路面上的宽度的长是 米．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本题满分12分)在中，角,,的对边分别为，且满足 ‎（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若为边的中点，且,，求.‎ 18. ‎(本题满分12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性.‎ 18. ‎(本题满分12分)2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目。市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”。调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图。相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于75％即可启用该“方案”；④用样本的频率代替概率. ‎ ‎（Ⅰ）从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由.‎ ‎（Ⅱ）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占 ，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记为群众督查员中的老人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.‎ 20. ‎(本题满分12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）将函数的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的倍，再把整个图像向左平移个单位长度得到的图像。当时，求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）若函数在内是减函数，求的取值范围.‎ 21. ‎(本题满分12分)已知函数R，.‎ ‎(Ⅰ) 当时，求函数的最小值；‎ ‎(Ⅱ) 若对任意，恒有成立，求实数的取值范围．‎ 请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线过点且斜率为1，以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅰ）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线的交点为、，求的值.‎ ‎23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）求不等式的解集； （2）已知函数的最小值为，若实数且，求的最小值．‎ ‎“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 ‎2017-2018学年第一学期第一次月考 高三数学（理科）试卷 参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C B D A B D A D B B A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 0 14. 15. 16.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分 ‎17.(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由已知，‎ 由正弦定理得， ………………………………………………2分 整理得 ‎ 即……………………………………………………………………4分 又，所以 -…………………………………………………………………………5分 ‎ ………………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）过D作交AB于E， …………………………………………………………………7分 为边的中点， ……………………………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………………9分 由余弦定理得 解得， …………………………………………………………………………………11分 ‎. ………………………………………………………………………12分 ‎18. (本题满分12分)‎ ‎（Ⅰ）………………………………………………………………1分 ‎ ………………………………………………………………………………2分 ‎ ……………………………………………………………………………………3分 ‎ 切线方程： 即 …………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）,……………………………………………………5分 ‎ 令，‎ ①当时，，所以在上单调递增。…………………6分 ②当时，令，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减。…………………………………………9分 ③当时，令，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增。…………………………………………12分 ‎19.(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 ‎， ………………………………………………1分 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，‎ 该人非常满意该项目的概率为，……………………………………………2分 现从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率为：‎ ‎；…………………………………………………4分 根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，‎ 评分在的频率为：‎ 根据相关规则该市应启用该“方案”. …………………………………6分 ‎（Ⅱ）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占，‎ 又从被调查者中按年龄分层抽取9人，‎ ‎∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，‎ 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3 ……………………………………7分 ‎,‎ ‎,………………11分 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望. ………………12分 20. ‎(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由已知 ‎ ‎ …………………………………3分 ‎ 易求得 ………………………………4分 ‎ ………………………………………………………5分 ‎…………………………………………………………6分 ‎（Ⅲ）由已知得 ……………………………7分 令， ……………………………8分 得 ‎ 若函数在内是减函数，‎ 则 ……………………………9分 ‎， ……………………………11分 解得………………………………………………12分 ‎ ‎ ‎21. (本题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)解:当时，,则. …………………………………1分 ‎ 令，得.‎ 当时, ; 当时, . ……………………………………………………2分 ‎ ∴函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. ………………………………3分 ‎ ∴当时,函数取得最小值,其值为 ‎. ……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)得：恒成立．………………………………………………………………………5分 ①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．……………………6分 设，则，在区间上，，是减函数，在区间上，，是增函数，即最小值为．‎ 于是当时，条件满足．… ……………………………………………………………………………9分 ②当时，，即，条件不满足．……………………11分 综上所述，的取值范围为．……………………………………………………………………12分 ‎22．（本题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）直线的普通方程为 ………………………………2分 ‎  ∵， ……………………………………………………3分 ‎  ∴曲线C的直角坐标方程为 ………………………5分 ‎（Ⅱ）将直线的参数方程 代入曲线方程 ‎ 得…………………………………………………………………7分 ‎ ‎∴ ， …………………………………………9分 ‎  ∴．‎ ‎………………………………………… 10分 ‎23．（本题满分10分）‎ 解：（Ⅰ） 或或 解得或 不等式的解集为 ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）函数的最小值为……………………………6分 ‎ ……………………………………7分 当且仅当时等号成立 故的最小值为9． ………………………………………… …………………………………………………10分