【数学】山东省济南市2019-2020学年高一上学期期末考试试题 （解析版） 15页

山东省济南市 2019-2020 学年高一上学期期末考试数学试题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为集合 , ,故 . 故选：C 2.命题“ ”的否定是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】命题“ ”的否定是“ ”. 故选：C 3.函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】D { }1,0,1A = − { }0,1,2B = A B = { }0 { }1 { }0,1 { }1,0,1,2- { }1,0,1A = − { }0,1,2B = { }0,1A B = ( )0, ,e 1xx x∀ ∈ +∞ + ( )0, ,e 1xx x∃ ∈ +∞ + ( )0, ,e 1xx x∀ ∈ +∞ < + ( )0, ,e 1xx x∃ ∈ +∞ < + ( ],0 ,e 1xx x∀ ∈ −∞ + ( )0, ,e 1xx x∀ ∈ +∞ + ( )0, ,e 1xx x∃ ∈ +∞ < + ( )2lg 2 3y x x= − − ( )1,3− ( )3,1− ( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞ ( ) ( ), 1 3,−∞ − +∞ 【解析】由题, ,即 ,解得 或 . 故选：D 4.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 ，据此可知，为了得到函数 的图象， 可以将函数 的图象向右平移 个单位长度. 本题选择 D 选项. 5.方程 的解所在的区间是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设 ， ， 根据零点存在性定理可知方程 的解所在的区间是 . 故选：C 6.函数 的图象大致为( ) A. B. 2 2 3 0x x− − > ( )( )3 1 0x x− + > 3x > 1x < − πsin(2 )4 = −y x sin 2y x= 4 π 4 π π 8 π πsin 2 sin 24 8    − = −      x x πsin 2 4  = −  y x sin2y x= π 8 2log 5x x= − ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 ( )4,5 2( ) log 5f x x x= + − 2 02(2) log 2 5 2f = + − = − < 2 04(4) log 4 5 1f = + − = > 2log 5x x= − ( )3,4 2( ) 1 xf x x = + C. D. 【答案】A 【解析】因为 .故 为奇函数,排除 CD. 又当 时, ,排除 B. 故选：A 7.已知 , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 , , 。 故 ,即 . 故选：A 8.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题 的定义域满足 , 解得 . 又 ,故 为奇函数. ( )2 2( ) ( )11 x xf x f xxx −− = = − = −+− + ( )f x 0x > 2( ) 01 xf x x = >+ 1 23a −= 2 1log 3b = 1 2 1log 3c = b a c< < b c a< < c b a< < a b c< < ( ) ( )1 02 0,3 0 13 ,a −= ∈ = 2 2 1log log 1 03b = < = 1 2 2 1log log 3 13c = = > 0 1b a c< < < < b a c< < ( ) 3 2log 2 xf x x −= + ( ) ( )1 0f a f a+ − > a 1, 2  −∞   11, 2  −   ( )2,2− ( )1,2− ( ) 3 2log 2 xf x x −= + ( )( )2 0 2 2 02 x x xx − > ⇒ − + <+ 2 2x− < < ( ) ( ) 3 3 2 2log lo2 1 0g2 x xf x f x x x − ++ − = ⋅ =+ =− ( )f x 又 ,且 在 为减函数,故 在 为减函数.故 为减函数. 故 即 .所以 ,解得 . 故选：B 二､多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.若 , ,则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】对 A,因为 , ,故 ,故 A 错误. 对 B,因为 , ,故 ,故 ,故 B 正确. 对 C,取 易得 ,故 C 错误. 对 D,因为 为增函数,故 D 正确. 故选：BD 10.下列函数中,最小值为 2 的是( ) A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】对 A, ,当且仅当 时取等号.故 A 正确. ( ) 3 3 2 4log log 12 2 xf x x x −  = = − + + +  4 2y x = + ( )2,2− 41 2y x = − + + ( )2,2− ( )f x ( ) ( )1 0f a f a+ − > ( ) ( ) ( )1 1f a f a f a> − − = − 2 2 2 1 2 1 a a a a − < < − < − <  < − 11, 2a  ∈ −   0a b> > 0d c< < ac bc> a d b c− > − 1 1 d c < 3 3a b> 0a b> > 0c < ac bc< 0a b> > 0d c< < d c− > − a d b c− > − 2, 1d c= − = − 1 1 d c > ( ) 3f x x= 2 2 3y x x= + + e ex xy −= + 1 πsin , 0,sin 2y x xx  = + ∈   3 2xy = + ( )22 2 3 1 2 2y x x x= + + = + + ≥ 1x = − 对 B, ,当且仅当 时取等号.故 B 正确. 对 C, .取等号时 ,又 故不可 能成立.故 C 错误 . 对 D,因为 ,故 .故 D 错误. 故选：AB 11.函数 在一个周期内的图象如图所示,则( ) A. 该函数的解析式为 B. 该函数的对称中心为 C. 该函数的单调递增区间是 D. 把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,可得到该 函数图象 【答案】ACD 【解析】由图可知 ,函数的周期为 ,故 .即 ,代入最高点 有 .因为 .故 .故 A 正确. 2e e e 2ex x x xy − −= ⋅≥ =+ 0x = 1 1sin 2 sin 2sin sin = + ≥ ⋅ =y x xx x 1sin sin =x x π0, 2x  ∈   3 0xy = > 3 2 2xy = + > ( )( )si πn 0, 0,0ω ϕ ω ϕ= + > > < 2b = ( ) 32f x x = − ( ),0−∞ ( )0,+∞ 存在跟随区间 则有 ,即 为 的两根. 即 ,无解.故不存在.故 B 正确. 对 C, 若函数 存在跟随区间 ,因为 为减函数,故 由跟随区间的定义可知 , 即 ,因为 ,所以 . 易得 . 所以 ,令 代入化简可得 ,同理 也满足 ,即 在区间 上有两根不相等的实数根. 故 ,解得 ,故 C 正确. 对 D,若 存在“3 倍跟随区间”,则可设定义域为 ,值域为 .当 时,易得 在区间上单调递增,此时易得 为方程 的两根,求解得 或 .故存在定义域 ,使得值域为 . 故 D 正确. 故选：BCD 三､填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. ______. 【答案】-5 【解析】 . 故答案为： 14.“密位制”是一种度量角的方法,我国采用的“密位制”是 6000 密位制,即将一个圆周角分为 6000 等份,每一个等份是一个密位,那么 120 密位等于______弧度. ( ) 32f x x = − [ ],a b 32 32 a a b b  = −  = − ,a b 32 xx − = 2 2 3 0x x− + = ( ) 1f x m x= − + [ ],a b ( ) 1f x m x= − + 1 1 1 1 b m a a b a b a m b  = − + ⇒ − = + − + = − + a b< ( )( ) ( ) ( )1+ 1 1 1a b a b a b a b− + + = + − + = − a b< 1+ 1 1a b+ + = 0 1 1 1a b≤ + < + ≤ ( )1 1 1a m b m a= − + = − − + 1t a= + 2 0t t m− − = 1t b= + 2 0t t m− − = 2 0t t m− − = [ ]0,1 1 4 0 0 m m + > − ≥ 1 ,04m  ∈ −   ( ) 21 2f x x x= − + [ ],a b [ ]3 ,3a b 1a b< ≤ ( ) 21 2f x x x= − + ,a b 21 32 x x x− + = 0x = 4x = − [ ]4,0− [ ]12,0− 3 2 log 4 33 27− = ( )3 2 2 log 4 33 33 27 4 43 9 5= −− − = −= 5− 【答案】 【解析】由题, 120 密位等于 故答案为： 15.已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 . 【答案】 【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 . 考点：函数奇偶性的应用. 16.已知函数 ,若方程 有四个不同的解 ,且 ,则 的最小值是______, 的最大值是______. 【答案】 (1). 1 (2). 4 【解析】画出 的图像有： 因为方程 有四个不同的解 ,故 的图像与 有四个不同的交 点,又由图, , 故 的取值范围是 ,故 的最小值是 1. 又由图可知, , ,故 ,故 . 故 . π 25 120 π2π6000 25 × = 25 π ( )f x [0, )x∈ +∞ 2( ) 2f x x x= + ( 1)f − = 3− ( )f x R [0, )x∈ +∞ 2( ) 2f x x x= + 2( 1) (1) (1 2 1) 3f f− = − = − + × = − ( ) 2 0.5 2 1, 0 log , 0 x x xf x x x − − +=  >  ( )f x a= 1 2 3 4, , ,x x x x 1 2 3 4x x x x< < < a ( )4 1 2 2 3 4 16x x x x x ⋅ + + ⋅ ( ) 2 0.5 2 1, 0 log , 0 x x xf x x x − − +=  >  ( )f x a= 1 2 3 4, , ,x x x x ( )f x y a= ( )0 1f = ( )1 2f − = a [ )1,2 a 1 2 1 21 22 x x x x= − ⇒ + = −+ 0.5 3 0.5 4log logx x= 0.5 3 0.5 4 0.5 3 4log log log 0x x x x= − ⇒ = 3 4 1x x = ( )4 1 2 42 3 4 4 16 162x x x xx x x ⋅ + + = −⋅ + 又当 时, .当 时, ,故 . 又 在 时为减函数,故当 时 取最大值 . 故答案为：(1). 1 (2). 4 四､解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.已知集合 , . (1)当 时,求 , ; (2)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围. 解：(1)因为 ,所以 , 所以有 , . (2)若 是 的充分不必要条件, 则有 MN, 所以 . 18.在平面直角坐标系 中,已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 . (1)请写出 , , 的值; (2)若角 满足 . (ⅰ)计算 的值; (ⅱ)计算 的值. 解：(1)由三角函数定义可知: , , . (2)(法一) (ⅰ)由题意可知: , 1a = 0.5 4 4log 1 2x x− = ⇒ = 2a = 0.5 4 4log 2 4x x− = ⇒ = [ )4 2,4x ∈ 4 4 162y x x += − [ )4 2,4x ∈ 4 2x = 4 4 162y x x += − 162 2 42y += − × = { }1 4M x x= − < < { }0N x x a= − > 1a = M N∩ M N∪ x M∈ x∈N a 1a = { }1N x x= > { }1 4M N x x∩ = < < { }1M N x x∪ = > − x M∈ x∈N 1a ≤ − xOy α 3 4,5 5P −   sinα cosα tanα β ( )cos 0α β+ = tan β 2 2 cos sin 2 sin β β β+ 4sin 5 α = 3cos 5 α = − 4tan 3 α = − cos cos sin sin 0α β α β− = 即 , 所以有: . (ⅱ)原式 . (法二) (ⅰ)由题意可知: , 所以 , (ⅱ)由 ,可知 或 原式 19.已知函数 . (1)求 的最小正周期; (2)当 时, (ⅰ)求函数 的单调递减区间; (ⅱ)求函数 的最大值､最小值,并分别求出使该函数取得最大值､最小值时的自变量 的值. 解：(1)由题意可知: . 因为 ,所以 的最小正周期为 . cos cos sin sinα β α β= 1 3tan tan 4 β α= = − 2 2 2 cos 1 2sin cos sin 2tan tan β β β β β β= =+ + 16 15 = − π π,2 k kα β+ = + ∈Z π 1 3tan tan π cot2 tan 4kβ α α α  = + − = = = −   2 2sin cos 1 sin 3tan cos 4 β β ββ β  + = = = − 3sin 5 4cos 5 β β  = −  = 3sin 5 4cos 5 β β  =  = − 2 2 16 cos 1625 24 92sin cos sin 15 25 25 β β β β= = = −+ − + ( ) 22sin cos 2 3 cos 3f x x x x= + − ( )f x π0, 2x  ∈    ( )f x ( )f x x ( ) sin 2 3 cos2f x x x= + 1 32 sin 2 cos22 2x x  = +    π2sin 2 3x = +   2π π2T = = ( )f x π (2)(ⅰ)因为 ,所以 , 因为 , 的单调递减区间是 , 且由 ,得 , 所以 的单调递减区间为 . (ⅱ)由(ⅰ)可知当 时, 单调递增, 当 时, 单调递减, 且 , , 所以:当 时, 取最大值为 2, 当 时, 取最小值为 . 20.济南新旧动能转换先行区,承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想,肩负着山东 省新旧动能转换先行先试的重任,是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化､质量 提升”为目标,通过开放平台汇聚创新要素,坚持绿色循环保障持续发展,建设现代绿色智慧新 城.2019 年某智能机器人制造企业有意落户先行区,对市场进行了可行性分析,如果全年固定 成本共需 2000(万元),每年生产机器人 (百个),需另投人成本 (万元),且 ,由市场调研知,每个机器人售价 6 万元,且全年生产 的机器人当年能全部销售完. (1)求年利润 (万元)关于年产量 (百个)的函数关系式;(利润=销售额-成本) (2)该企业决定:当企业年最大利润超过 2000(万元)时,才选择落户新旧动能转换先行区.请问 该企业能否落户先行区,并说明理由. 解：(1)当 时, π0, 2x  ∈    π π 4π2 ,3 3 3z x  = + ∈   siny z= π 4π,3 3z  ∈   π 2 4π, 3      π π 4π22 3 3x≤ + ≤ π π 12 2x≤ ≤ ( )f x π 12 π, 2      π0,12x  ∈   ( )f x 2 π π,12x  ∈   ( )f x π π2sin 212 2f   = =   π 4π2sin 32 3f   = = −   ( ) π0 2sin 33f = = π 12x = ( )f x π 2x = ( )f x 3− x ( )C x ( ) 210 200 ,0 40 10000601 4500, 40 x x x C x x xx  + < <=  + −  ( )L x x 0 40x< < ; 当 时, 所以 (2)当 时, 所以 , 所以当 时, ; 当 时, 所以 , 当且仅当 ,即 时, 所以 . 故该企业能落户新旧动能转换先行区. 21.已知函数 ( ,且 ),且 . (1)求实数 的值; (2)判断函数 的奇偶性并证明 (3)若函数 有零点,求实数 的取值范围. 解：(1)因为 解得 (2) 是奇函数.由 得: 故 ,所以 是奇函数 (3)方法一: ( ) 2 26 100 10 200 2000 10 400 2000L x x x x x x= × − − − = − + − 40x≥ ( ) 10000 100006 100 601 4500 2000 2500L x x x xx x  = × − − + − = − +   ( ) 210 400 2000,0 40 100002500 , 40 x x x L x x xx − + − < < =   − + ≥    0 40x< < ( ) ( )2210 400 2000 10 20 2000L x x x x= − + − = − − + 20x = ( ) ( )max 20 2000L x L= = 40x≥ ( ) 10000 100002500 2500 2 2500 200 2300L x x xx x  = − + − ⋅ = − =   10000x x = 100x = ( ) ( )max 100 2300 2000L x L= = > ( ) 41 2 xf x a a = − + 0a > 1a ≠ ( ) 11 3f = a ( )f x ( ) ( ) 1g x kf x= − k ( ) 4 11 1 2 3f a a = − =+ 2a = ( )f x 2a = ( ) 4 2 11 2 2 2 2 1 x x xf x −= − =⋅ + + ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 2 x x x xf x f x − − − −− = = = −+ + ( )f x 代入 可得 因为 有零点,所以 有实根. 显然 不是 的实根,所以 有实根. 设 , , .因为 . ①当 时, ,所以 , 所以 ②当 时, , 所以 综上, 的值域为 所以,当 时, 有实根, 即 有零点 方法二:代入 可得 因为 有零点,所以 有实根. 所以 有实根. 显然, 时上式不成立,所以 有实根 因为 , 所以 所以 或 . 所以,当 时, 有实根. 2a = ( ) 2 1 2 1 x xf x −= + ( ) 2 1 12 1 x xg x k −= ⋅ −+ ( ) 2 1 1 02 1 x xg x k −= ⋅ − =+ 0x = ( ) 0g x = 2 1 2 1 x xk += − 2xt = ( ) 1 1 th t t += − ( ) ( )0,1 1,t ∈ +∞ ( ) 21 1h t t = + − ( )0,1t ∈ ( )1 1,0t − ∈ − 1 11t < −− ( ) 21 11h t t = + < −− ( )1,t ∈ +∞ ( )1 0,t − ∈ +∞ ( ) 21 11h t t = + >− ( )h t ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ ( ) ( ), 1 1,k ∈ −∞ − +∞ 2 1 2 1 x xk += − ( ) 2 1 12 1 x xg x k −= −+ 2a = ( ) 2 1 2 1 x xf x −= + ( ) 2 1 12 1 x xg x k −= ⋅ −+ ( ) 2 1 1 02 1 x xg x k −= ⋅ − =+ ( )1 2 1xk k− = + 1k = 12 1 x k k += − 2 0x > 1 01 k k + >− 1k < − 1k > ( ) ( ), 1 1,k ∈ −∞ − +∞ 12 1 x k k += − 即 有零点 22.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数 的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算. (1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算 性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果 ,且 , ,那么 ; (2)请你运用上述对数运算性质计算 的值; (3)因为 ,所以 的位数为 4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你 运用所学过的对数运算的知识,判断 的位数.(注 ) 解：(1)方法一:设 所以 所以 所以 ,得证. 方法二:设 所以 所以 所以 所以 所以 方法三: 因 所以 所以 得证. (2)方法一: . 方法二: 为 ( ) 2 1 12 1 x xg x k −= −+ 0a > 1a ≠ 0M > ( )log logn a aM n M n= ∈R lg3 lg8 lg16 lg 4 lg9 lg 27  +   ( )10 3 42 1024 10 ,10= ∈ 102 20202019 lg 2019 3.305≈ logax M= xM a= ( )nn x nxM a a= = log logn a aM nx n M= = logax n M= loga x Mn = x na M= x na M= log n ax M= log log n a an M M= log n a M na M= ( )log loga a nn M M na a M= = log logn a aM n Ma a= log logn a aM n M= 3 4 2 2 3 lg3 lg8 lg16 lg3 lg 2 lg 2 lg 4 lg9 lg 27 lg 2 lg3 lg3   + = +      lg3 3lg 2 4lg 2 2lg 2 2lg3 3lg3  = +   lg3 17lg 2 2lg 2 6lg3 = ⋅ 17 12 = . (3)方法一:设 , 所以 所以 所以 所以 因为 所以 所以 的位数为 6677 方法二:设 所以 所以 所以 所以 因为 , 所以 有 6677 位数,即 的位数为 6677 ( )4 9 27 lg3 lg8 lg16 log 3 log 8 log 16lg 4 lg9 lg 27  + = +   ( )2 2 3 3 4 2 3 3log 3 log 2 log 2= + 2 3 3 1 3 4log 3 log 2 log 22 2 3  = +   2 3 1 17log 3 log 22 6 = ⋅ 17 12 = 2020 110 2019 10k k+< < *k ∈N 2020lg 2019 1k k< < + 2020lg 2019 1k k< < + 2020 3.305 1k k< × < + 6675.1 6676.1k< < *k ∈N 6676k = 20202019 20202019 N= 2020lg 2019 lg N= 2020 3.305 lg N× = lg 6676.1N = 6676.1 0.1 667610 10 10N = = × 0.11 10 10< < N 20202019