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- 2024-03-08 发布
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第六章 第2节
1．不等式≤x－2的解集是( )
A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)
解析：B [原不等式可化为≤0.
即
由标根法知，0≤x<2或x≥4.]
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为( )
解析：B [由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，
∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．]
3．“00的解集是实数集R”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A [当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“00的解集是实数集R”的充分而不必要条件
．]
4．(2020·海拉尔区模拟)关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )
A．(4,5) B．(－3，－2)∪(4,5)
C．(4,5] D．[－3，－2)∪(4,5]
解析：D [∵关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0，
∴不等式化为(x－1)(x－a)＜0，
当a＞1时，得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，
当a＜1时，得a＜x＜1，此时解集中的整数为－2，－1,0，则－3≤a＜－2，
故a的取值范围是[－3，－2)∪(4,5]．]
5．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)
C．[－4,20] D．[－40,20)
解析：B [由x2－2x－3≤0，得－1≤x≤3.设f(x)＝x2＋4x－(1＋a)，根据已知可转化为存在x0∈[－1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[－1,3]上为增函数，故只需f(－1)＝－4－a≤0即可，解得a≥－4.]
6．(2020·四平市模拟)已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则不等式bx2－5x＋a＞0的解集为 ________ .
解析：∵ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，
∴ax2－5x＋b＝0的根为－3、2，即－3＋2＝，－3×2＝.解得a＝－5，b＝30.
则不等式bx2－5x＋a＞0可化为30x2－5x－5＞0，解得.
答案：
7．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为 ________ .
解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，
∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.∴a的取值范围为(－∞
，0]．
答案：(－∞，0]
8．若不等式x2－(2＋m)x＋m－1>0对任意m∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围是 ________ .
解析：把不等式化为(1－x)m＋x2－2x－1>0.
设f(m)＝(1－x)m＋x2－2x－1，则问题转化为关于m的一次函数．f(m)在区间[－1,1]上大于0恒成立，只需
即⇒
解得x<－1或x>3，故x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
9．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－＞1.
所以a＜0且＞1，所以ac＞0.
对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac＞0.所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝2＋8＋4.
由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t＞1)，由根与系数的关系知＝t，
所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．所以|m－n|＞，所以|m－n|的取值范围为(，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.
解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为R，
∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有
解得0＜a≤1，综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)∵f(x)＝＝，
∵a＞0，∴当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，∴a＝，
∴不等式x2－x－a2－a＜0可化为
x2－x－＜0.解得－＜x＜，
所以不等式的解集为.
