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高中数学选修2-2教案第四章 1_2 10页

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高中数学选修2-2教案第四章 1_2

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‎1.2　定积分 明目标、知重点 ‎1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．‎ ‎2．理解定积分的几何意义．‎ ‎3．掌握定积分的基本性质．‎ ‎1．定积分的定义 一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份．分点为a＝x00，f(ξi)≤0，故 f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.‎ 当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图像及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即 ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.‎ 例1　用定积分的几何意义求：‎ ‎(1)(3x＋2)dx；‎ ‎(2)‎ ‎(3) (|x＋1|＋|x－1|－4)dx；‎ ‎(4)dx(b>a)．‎ 解　(1)如图1阴影部分面积为＝，‎ 从而(3x＋2)dx＝.‎ ‎(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，‎ 从而＝0.‎ ‎(3)令f(x)＝|x＋1|＋|x－1|－4，作出f(x)在区间[－3,3]上的图像，如图3所示，易知定积分f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．‎ ‎∵阴影部分的面积S1＝S3＝1，S2＝6，‎ ‎∴ (|x＋1|＋|x－1|－4)dx＝1＋1－6＝－4.‎ ‎(4)令y＝f(x)＝，则有(x－)2＋y2＝()2(y≥0)，f(x)表示以(，0)为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝πr2＝()2＝，‎ 由定积分的几何意义可知dx＝.‎ 反思与感悟　利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图像常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．‎ 跟踪训练1　根据定积分的几何意义求下列定积分的值：‎ ‎(1)ʃxdx；(2)ʃcos xdx；(3)ʃ|x|dx.‎ 解　(1)如图(1)，ʃxdx＝－A1＋A1＝0.‎ ‎(2)如图(2)，ʃcos xdx＝A1－A2＋A3＝0.‎ ‎(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ|x|dx＝2A1＝2×＝1.‎ ‎(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)‎ ‎　‎ 探究点三　定积分的性质 思考1　定积分的性质可做哪些推广？‎ 答　定积分的性质的推广 ‎①ʃ[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx±…±ʃfn(x)dx；‎ ‎②ʃf(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…＋ʃbcnf(x)dx(其中n∈N＋)．‎ 思考2　如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？‎ 答　奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分 ‎①若奇函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续不断，则ʃf(x)dx＝0.‎ ‎②若偶函数y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续不断，则ʃg(x)dx＝2ʃg(x)dx.‎ 例2　计算ʃ(－x3)dx的值．‎ 解　如图，‎ ‎　　‎ 由定积分的几何意义得ʃdx＝＝，‎ ʃx3dx＝0，由定积分性质得 ʃ(－x3)dx＝ʃdx－ʃx3dx＝.‎ 反思与感悟　根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．‎ 跟踪训练2　已知ʃx3dx＝，ʃx3dx＝，ʃx2dx＝，ʃx2dx＝，求：‎ ‎(1)ʃ3x3dx；(2)ʃ6x2dx；(3)ʃ(3x2－2x3)dx.‎ 解　(1)ʃ3x3dx＝3ʃx3dx＝3(ʃx3dx＋ʃx3dx)‎ ‎＝3×(＋)＝12；‎ ‎(2)ʃ6x2dx＝6ʃx2dx＝6(ʃx2dx＋ʃx2dx)‎ ‎＝6×(＋)＝126；‎ ‎(3)ʃ(3x2－2x3)dx＝ʃ3x2dx－ʃ2x3dx ‎＝3ʃx2dx－2ʃx3dx＝3×－2×＝7－＝－.‎ ‎1．定积分ʃf(x)dx的大小(　　)‎ A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关 答案　A ‎2．定积分ʃexdx的几何意义是______________________．‎ 答案　由直线x＝1，x＝3，y＝0和曲线f(x)＝ex围成的图形的面积 ‎3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：‎ ‎①ʃxdx________ʃx2dx；‎ ‎②ʃdx________ʃ2dx.‎ 答案　①>　②<‎ ‎4．ʃdx＝________.‎ 答案　 解析　根据定积分的几何意义，ʃdx表示x2＋y2＝1(y≥0)与x轴围成的面积的一半，所以ʃdx＝.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．定积分ʃf(x)dx是一个确定的常数，和积分变量无关．‎ ‎2．当f(x)≥0时ʃf(x)dx表示由曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b与x轴围成的曲边梯形的面积，可以利用定积分的这种几何意义求定积分．‎ ‎3．定积分的性质可以帮助简化定积分运算．‎ 一、基础过关 ‎1．下列命题不正确的是(　　)‎ A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃf(x)dx＝0‎ B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0‎ D．若f(x) 在[a，b]上连续且ʃf(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正 ‎ 答案　D 解析　对于A，f(－x)＝－f(x)，ʃf(x)dx ‎＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝－ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，ʃf(x)dx>0即C正确；但ʃf(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.‎ ‎2．已知定积分ʃf(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则ʃf(x)dx等于(　　)‎ A．0 B．16‎ C．12 D．8‎ 答案　B 解析　偶函数图像关于y轴对称，‎ 故ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx＝16，故选B.‎ ‎3．已知ʃxdx＝2，则ʃxdx等于(　　)‎ A．0 B．2‎ C．－1 D．－2‎ 答案　D 解析　∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函数，‎ ‎∴ʃxdx＝0.而ʃxdx＝ʃxdx＋ʃxdx，‎ 又ʃxdx＝2，∴ʃxdx＝－2.故选D.‎ ‎4．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(　　)‎ A．ʃ(x2－4)dx B. C．ʃ|x2－4|dx D．ʃ(x2－4)dx＋ʃ(x2－4)dx 答案　C ‎5．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.‎ 答案　－ʃsin xdx 解析　由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－ʃsin xdx.‎ ‎6．计算定积分ʃdx＝________.‎ 答案　π 解析　由于ʃdx＝2ʃdx表示单位圆的面积π，所以ʃdx＝π.‎ ‎7．已知s求下列定积分：‎ ‎(1)ʃsin xdx；(2) ‎ 解　(1)‎ ‎(2)‎ 二、能力提升 ‎8．与定积分相等的是(　　)‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案　C 解析　当x∈(0，π]时，sin x≥0；‎ 当x∈(π，]时，sin x<0.‎ ‎∴由定积分的性质可得 ‎9．若ʃ|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为(　　)‎ A．6 B．56 C．36 D．2 016‎ 答案　A 解析　由ʃ|56x|dx＝56ʃ|x|dx≤2 016，‎ 得ʃ|x|dx≤36，∴ʃ|x|dx＝2ʃxdx＝a2≤36，‎ 即0

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