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- 2024-03-03 发布
宁夏育才中学2019-2020学年高二年级第一学期期末考试数学试题（理科）
一、选择题
1.抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程.
【详解】抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以2p=1，即,
因此：抛物线的准线方程为：，即.
故选：B
【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，考查了学生对概念的理解，数学运算能力，属于基础题.
2.命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据逆否命题的定义进行判断即可．
【详解】根据逆否命题的概念可知，命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若，
则”．
故选B．
【点睛】本题考查命题的有关概念，属于基础题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
3.已知命题：“，”，命题的否定“”正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定为特称命题，即可得答案.
【详解】∵命题：“，”，
∴为：，.
故选：A.
【点睛】本题考查全称命题的否定，考查对概念的理解，求解时注意任意要改成存在，属于基础题.
4.条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的 （ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
本题考查不等式性质，充分条件，必要条件，充分条件的概念和判定.
例如：；但故选A
5.已知双曲线，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令方程右边的为，化简方程即可得答案.
【详解】令方程右边的为，
∴，
∴双曲线的渐近线方程为：.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，考查对概念理解，属于基础题.
6.若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：本题已知：焦点坐标，渐近线方程为：,距离为：
化简得：， 又：，得：
考点：双曲线几何性质及点到直线的距离和方程思想．
7.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设这条弦的两端点,则：,用点差法得到：，代入中点坐标，即得解斜率k.
【详解】设这条弦的两端点，斜率为，
则：
两式相减得：
变形得：，又弦中点为：，故
故这条弦所在得直线方程为：，即
故选：D
【点睛】本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
8.如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
【详解】转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.
【点睛】本题考查了焦点在轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式.
9.已知，，且，则x的值是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
根据题意，，
若，则有
解得
故选
10.已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A 一定不共面 B. 一定共面 C. 不一定共面 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
由若 ，当且仅当 时， 四点共面．
，
而 故 四点共面，故选B
11.已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设，面积为
考点：线面角
12.设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A. B.
C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
二、填空题
13.已知椭圆的一个焦点为，则______.
【答案】
【解析】
分析】
根据椭圆标准方程中满足：，即得解.
【详解】由于椭圆的一个焦点为，因此焦点在x轴上，又椭圆的标准方程满足：，故：
故答案为：
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程中，a,b,c的关系，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.
14.设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题设条件写出直线AB的方程为：，与抛物线联立得到：，利用弦长公式求.
【详解】因为焦点直线AB的方程为：，代入，整理得到：或，所以不妨取.
故答案为：
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系以及弦长公式，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
15.已知，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算，再计算即得解.
【详解】由于，故.
【点睛】本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.
16.对于曲线：，给出下面四个命题：
①曲线可能表示圆；
②当时，曲线表示椭圆；
③若曲线表示双曲线，则或；
④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则；
其中所有正确命题的序号为______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
利用圆、椭圆、双曲线对参数的限制条件分别列等式与不等式计算，即得解.
【详解】对于①，当，即时，曲线C表示圆，故①正确；
对于②，当时，曲线C表示圆，故②不正确；
对于③，，即或表示双曲线，故③正确；
对于④，，即，故④不正确.
故选：①③
【点睛】本题考查了圆、椭圆、双曲线的标准方程定义，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
三、解答题
17.已知，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）-6
（2）-4
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；
（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；
【详解】解：（1），
∴，
∴.
（2），
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
18.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）已知某椭圆的左右焦点分别为，，且经过点；
（2）椭圆经过点，.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆的定义求得，又，即得解；
（2）代入点坐标待定系数，即得解.
【详解】解：（1）设椭圆方程：，
，
∴.
∵，
∴椭圆方程：.
（2）设椭圆：，
由题可知：
，，
∴椭圆方程：.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程的求解，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为8，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在椭圆上，点、为椭圆的两个焦点且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由长轴长等于8可得的值，再由椭圆过点，代入椭圆方程，即可得答案；
（2）利用椭圆的定义和余弦定理可求得的值，再代入三角形的面积公式，即可得答案.
【详解】（1）由，∴，
∵椭圆焦点在轴上，设方程为，
又椭圆过点，∴，解得.
∴椭圆的标准方程：.
（2）由（1）知，∴，，
在中，，
∴，
∴，解得：，
∴.
点睛】本题考查椭圆的定义、余弦定理、三角形面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
20.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，是的中点.
（1）证明：面面；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求面与面所成二面角余弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）证明面面，只需证明平面内的直线垂直于平面内的相交直线即可；（2）建立空间直角坐标系，求得，，利用向量所成的角，即可求解异面直线与夹角的余弦值；（3）作在上取一点，则存在，使，得，.所以为所求二面角的平面角，即可利用向量所成角的公式，求解面与面所成二面角余弦值的大小.
【详解】
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
，，，，，
（1）证明：因，，故，所以.
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面，
又在面上，故面面.
（2）解：因，，
故，，，
所以.
（3）解：在上取一点，则存在，使，
，，∴，，.
要使，只需，即，解得.
可知当时，点坐标为，能使.
此时，，，有.
由，，得，.
所以为所求二面角的平面角.
∵，，，
∴
面与面所成二面角余弦值的大小为
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与证明以及空间角的求解，注意根据题设的特征建立合适的空间直角坐标系来证明与求解，本题属于中档题.
21.已知直线：与抛物线：相切于点.
（1）求实数的值；
（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）联立直线方程与抛物线方程消去，再利用，即可求得的值；
（2）求出切点坐标及圆的半径，即可得答案.
【详解】（1）由，联立消去，得，
∴，即，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，得，
切点，准线，∴，
方程：.
【点睛】本题考查直线与抛物线相切、圆的方程求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
22.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于
的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.