2019-2020学年四川省广安市广安中学高二上学期第四次月考数学（理）试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年四川省广安市广安中学高二上学期第四次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【答案】B ‎【解析】直接利用倾斜角定义计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 直线与轴垂直，倾斜角为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题查看了直线的倾斜角，属于简单题.‎ ‎2．直线：和：垂直，则实数　　‎ A． B．1 C．或1 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题可以根据直线与直线的解析式以及两直线垂直的相关性质列出算式，然后通过计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ 由，解得，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线之间的位置关系，主要考查两直线垂直的相关性质，有直线和直线垂直，则有，考查计算能力，是简单题。‎ ‎3．若命题p：，，则为　　‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可以判断出命题是特称命题，然后根据特称命题的否定是全称命题，分别对量词和结论进行否定即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 命题是特称命题，则命题的否定是：，，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，特称命题的否定是全称命题，需要对量词和结论进行否定，是简单题。‎ ‎4．椭圆的焦距是（ ）‎ A．4 B． C．8 D．与有关 ‎【答案】C ‎【解析】利用椭圆公式得到，计算得到，再计算焦距得到答案.‎ ‎【详解】‎ 椭圆，则 ‎ 焦距 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了焦距的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，0） C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的标准方程为，即，开口向上，焦点在轴的正半轴上，‎ 故焦点坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎6．如图所示，执行如图的程序框图，输出的S值是　　‎ A．1 B．10 C．19 D．28‎ ‎【答案】C ‎【解析】逐条执行程序框图即可。‎ ‎【详解】‎ 由程序框图得：‎ ‎,,‎ 成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ 成立，‎ 不成立，‎ 输出：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图知识，只需逐条执行即可看出规律，属于基础题。‎ ‎7．已知数据，，的方差，则，，的方差为　　‎ A．4 B．6 C．16 D．36‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用方差的性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ 数据，，的方差，‎ ‎，，的方差为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎8．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则.‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的概率为 故选A.‎ ‎9．“”是“方程表示椭圆”的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得 且，‎ 所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.‎ ‎10．若圆：与圆：恰有三条公切线，则的最大值为（ ）‎ A．9 B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三条公切线得到两圆外切，得到，再利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎；‎ 两圆有三条公切线，故两圆外切，即 ‎ 当时等号成立.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两圆的位置关系，均值不等式，根据公切线条数判断两圆的位置关系是解题的关键.‎ ‎11．.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设P点坐标为（x，y）（x≥1或x≤-1），由双曲线方程可得点坐标为（-1，0），点坐标为（2，0）,则,当x=1，y=0时，取最小值-2，故选A ‎12．已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】：取的中点，连接，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知，对这个等式，进行化简，得到，再根据椭圆的定义，结合，可以求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：取的中点，连接，‎ ‎，， ，‎ ‎，，因为，所以设，，‎ ‎..由椭圆的定义可知：，，‎ ‎，，‎ ‎，，故本题选C.‎ ‎..【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离心率.本题考查了运算能力.‎ 二、填空题 ‎13．某学校有教师100人，学生900人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先求出每个个体被抽到的概率，再用教师的人数乘以此概率，即得所求．‎ ‎【详解】‎ 每个个体被抽到的概率等于，则应抽取的教师人数为，‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．‎ ‎14．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点2，，0，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用空间中两点间距离公式直接求解．‎ ‎【详解】‎ 在空间直角坐标系Oxyz中，‎ 点2，，0，，‎ ‎．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两点间的距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎15．设双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则 _____。‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】根据双曲线的定义求出，，再有即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由双曲线，则，又由双曲线定义可得，‎ 所以或，‎ 因为，所以 或，‎ 又因为，所以（舍去），‎ 所以 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义以及几何性质，要熟记双曲线的基本性质，属于基础题。‎ ‎16．过抛物线：的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意判断为等边三角形，再联立方程解得得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎：的焦点，，且，即为等边三角形 直线：，联立方程得到 ，解得：‎ 故，点到直线的距离为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线中线段的长度，判断为等边三角形是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．已知三角形的三个顶点，，，‎ ‎（1）求边所在直线的一般方程；‎ ‎（2）求线段的中垂线所在直线的一般方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用直线的截距式得到答案.‎ ‎（2）先计算中点为，再根据得到中垂线斜率为，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由、知直线所在直线方程为，即；‎ ‎（2）由、可知中点为，‎ ‎，所以线段的中垂线斜率为，‎ 所以线段的中垂线所在直线方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18．命题：函数有意义，命题：实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) （2，3）．(2) [1，2]．‎ ‎【解析】（1）由函数有意义化简，求解分式不等式化简，再由为真，得，同时为真，取交集得答案；‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，得⫋，再由两角和端点值间的关系列不等式组求解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，‎ 即，其中，‎ 得，，‎ 则：，．‎ 若，则：，‎ 由，解得．‎ 即：．‎ 若为真，则，同时为真，‎ 即，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，‎ ‎∴即⫋．‎ ‎∴，且，不能同时成立，‎ 解得．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式及分式不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．‎ ‎19．为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.‎ ‎（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；‎ ‎（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.‎ ‎【答案】(1) ；中位数为82.5. (2) ‎ ‎【解析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为，结合频率计算公式求解即可；‎ ‎（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）由频率和为1，得，；‎ 设综合评分的中位数为，则，解得，‎ 所以综合评分的中位数为82.5.‎ ‎（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；‎ 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；‎ 所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、、，非一等品2个，记为、；‎ 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：、、、、、、、、、共10种；‎ 抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：、、、、、共6种，‎ 所以所求的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题 ‎20．已知圆过两点，，且圆心在直线上.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）(x－1)2＋(y－1)2＝4；（2）。‎ ‎【解析】(1)由待定系数法求解圆的方程即可；‎ ‎(2)由题意利用圆的几何性质将原问题进行等价转化，然后结合点到直线距离公式即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，‎ 根据题意得 解得a＝b＝1，r＝2，‎ 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2)由题意知，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM＝AM·PA＋BM·PB.‎ 又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA，‎ 而PA＝＝，‎ 即S＝2.‎ 因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，‎ 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得PM的值最小，‎ 所以PMmin＝＝3，‎ 所以四边形PAMB面积的最小值为Smin＝2＝2＝.‎ ‎【点睛】‎ 求圆的方程，主要有两种方法：‎ ‎(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．‎ ‎(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．‎ ‎21．椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）‎ 又点P的坐标为（0，1），且＝－1‎ 于是，解得a＝2，b＝‎ 所以椭圆E方程为.‎ ‎（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1‎ A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）‎ 联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0‎ 其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0‎ 所以 从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]‎ ‎＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1‎ ‎＝‎ ‎＝－‎ 所以，当λ＝1时，－＝－3，‎ 此时，＝－3为定值.‎ 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD 此时＝－2－1＝－3‎ 故存在常数λ＝1，使得为定值－3.‎ ‎【考点】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.‎ ‎22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数)，曲线的极坐标方程为:．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）利用极坐标与直角坐标之间的转化公式求曲线的直角坐标方程，通过对参数方程消参简求得直线的普通方程.‎ ‎（2）联立直线参数方程与曲线方程，利用参数的几何意义结合根与系数的关系求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）., 由,得, ‎ 所以曲线的直角坐标方程为,‎ 由,消去解得：.所以直线l的普通方程为． ‎ ‎（2）把 代入, 整理得,‎ 设其两根分别为 ，则 ‎． ‎ 亦可求圆心到直线的距离为，从而．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的相互转化，以及直线参数方程中参数的几何特征的应用.第（2）问中利用参数方程结合根与系数关系求解可大大简化计算.‎ ‎23．已知函数, ．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，都有恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】（1）当 时，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝ ，分段解不等式即可．‎ ‎（2）f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝ ．当时，得 ，当时，得，利用恒成立求最值，可得m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝‎ 当，解得；‎ 当恒成立 当解得﹣2，‎ 此不等式的解集为 ‎（2）当x∈（﹣∞，0）时f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝．‎ 当时，得恒成立，由 当且仅当即时等号成立．∴，‎ ‎∴‎ 当时，得．∴恒成立，令，，‎ ‎∵ ，∴在上是增函数．‎ ‎∴当时，取到最大值为 ‎∴.‎ 又， 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎