数学理卷·2018届陕西省黄陵中学高新部高三下学期开学考试（2018 11页

高新部高三开学考试数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷 选择题（满分60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），复数为的共轭复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.在平面直角坐标系中，设分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上一点，是的中点，且，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎5.设，满足约束条件，若目标函数的最小值大于，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.福建省第十六届运动会将于年在宁德召开.组委会预备在会议期间将，，，，，这六名工作人员分配到两个不同的地点参考接待工作.若要求，必须在同一组，且每组至少人，则不同的分配方法有（ ）‎ A．种 B．种 C. 种 D．种 ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎8.已知，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若是自然对数的底数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（ ）‎ A．10 B．‎20 C． D． ‎ ‎11.已知数列满足，则该数列的前23 项的和为（ ）‎ A．4194 B．‎4195 C．2046 D．2047‎ ‎12.已知，且，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数 的图象必过定点__________________ .‎ ‎14．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是__________________‎ ‎15. 平面几何中有如下结论：如图，设O是等腰直角底边的中点，，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为，则有.类比此结论，将其拓展到空间，如图(2)，设O是正三棱锥的中心，两两垂直，，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 则有_____________________ . ‎ ‎16.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的A,B两点，且，则的面积的最小值为______________.‎ 三、解答题 ：第17-21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若为的中点，且，求.‎ ‎18. 在直三棱柱中，，，分别为的中点.‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19．‎ 如图(1)，在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))‎ ‎（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；‎ ‎（II）求二面角E-DF-C的余弦值；‎ ‎（III）在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.‎ ‎20．（本题满分13分）已知数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，试推断是否存在常数A．B．C，‎ 使对一切都有成立？若存在，求出A．B．C 的值；若不存在，说明理由．‎ 求证：．‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数）．‎ ‎（1）写出直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当，时，证明：．‎ 参考答案 ‎1-5:ACBC 6-10：DACAD 11、12：AA ‎13.（1，-1）14. 15. ＋＋＝3 16. ‎ ‎17.【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：⑴由正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式即可证得结论；‎ ‎⑵取线段的中点，连接，推出，的值，然后根据正弦定理得，即可求得 解析：（1）在中，，∵，‎ ‎∴，∴，∴，即，‎ ‎∵，∴，∴，∴‎ 综上所述，结论是：‎ ‎（2）取线段的中点，连接，‎ ‎∵，∴，设，则，‎ ‎∴，∴，‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎∴，综上所述，结论是：‎ ‎18.【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：⑴建立空间直角坐标系，求得，的坐标，求得 ‎，从而证明；‎ ‎⑵由是直三棱柱推导出，再推出，求出平面的法向量的值，设二面角的平面角为，即可得到的值 解析：（1）建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，∴，，∵∴‎ ‎（2）∵是直三棱柱，∴，又∵，∴，设平面的法向量为，则，，‎ ‎∵，，解得 设二面角的平面角为，则.‎ ‎ ‎ ‎19.解：（ I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，‎ ‎ 得EF//AB，‎ ‎ 又AB平面DEF，EF平面DEF，‎ ‎ ∴AB∥平面DEF． ………………4分 ‎（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，‎ 设CD＝，则AC＝BC＝, AD＝DB＝，则A（0，0，），B（，0，0）， ‎ C（0，. ………………………5分 取平面CDF的法向量为，设平面EDF的法向量为，‎ 则 得，…………7分 ‎，……………………………………… 8分 ‎∴二面角E—DF—C的余弦值为 …………………………… 9分 ‎（Ⅲ）设，则，∴ —— ………… 10分 ‎ 又∵‎ ‎∴由得即 ——‚ ………… 11分 ‎∴由‚得 ‎∴P在BC的延长线上 ‎∴在线段BC上不存在一点P，使APDE. ………………… 12分 ‎20.解：（1）由已知得，∴是公比为2的等比数列，首项为，‎ ‎∴ ， ． ……………………………4分 ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎．‎ 若恒成立，则恒成立，‎ ‎∴，故存在常数A=1，B=-4，C=6满足条件． ……8分 ‎（3）由（2）得，，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎，∴原式成立． ………………12分 ‎21. 解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎∵的定义域为.‎ ‎①即时，在上递减，在上递增，‎ ‎，无极大值.‎ ‎②即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎，.‎ ‎③即时，在上递增，没有极值.‎ ‎④即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎∴，.‎ 综上可知：时，，无极大值；‎ 时，，；‎ 时，没有极值；‎ 时，，.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ ‎，‎ 设，则，，，‎ ‎∴在上递增，∴的值域为，‎ ‎①当时，，为上的增函数，‎ ‎∴，适合条件.‎ ‎②当时，∵，∴不适合条件.‎ ‎③当时，对于，，‎ 令，，‎ 存在，使得时，，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 即在时，，∴不适合条件.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）∵，∴，∴，．‎ ‎（2）曲线为以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为，‎ 所以，最大距离为．‎ ‎23.解：（1）由已知可得：‎ 所以，的解集为．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎，‎ ‎∴．‎