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- 2024-02-20 发布
高新部高三开学考试数学试题（理）
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数（为虚数单位），复数为的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
4.在平面直角坐标系中，设分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上一点，是的中点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. 2 D．
5.设，满足约束条件，若目标函数的最小值大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
6.福建省第十六届运动会将于年在宁德召开.组委会预备在会议期间将，，，，，这六名工作人员分配到两个不同的地点参考接待工作.若要求，必须在同一组，且每组至少人，则不同的分配方法有（ ）
A．种 B．种 C. 种 D．种
7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A． B．
C. D．
8.已知，，，则（ ）
A． B． C. D．
9.若是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（ ）
A．10 B．20 C． D．
11.已知数列满足，则该数列的前23 项的和为（ ）
A．4194 B．4195 C．2046 D．2047
12.已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数 的图象必过定点__________________ .
14．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是__________________
15. 平面几何中有如下结论：如图，设O是等腰直角底边的中点，，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为，则有.类比此结论，将其拓展到空间，如图(2)，设O是正三棱锥的中心，两两垂直，，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为
则有_____________________ .
16.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的A,B两点，且，则的面积的最小值为______________.
三、解答题 ：第17-21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若为的中点，且，求.
18. 在直三棱柱中，，，分别为的中点.
（1）求证；
（2）求二面角的余弦值.
19．
如图(1)，在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))
（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（II）求二面角E-DF-C的余弦值；
（III）在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.
20．（本题满分13分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，试推断是否存在常数A．B．C，
使对一切都有成立？若存在，求出A．B．C
的值；若不存在，说明理由．
求证：．
21.已知函数，.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若不等式对恒成立，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数）．
（1）写出直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）解不等式；
（2）当，时，证明：．
参考答案
1-5:ACBC 6-10：DACAD 11、12：AA
13.（1，-1）14. 15. ＋＋＝3 16.
17.【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：⑴由正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式即可证得结论；
⑵取线段的中点，连接，推出，的值，然后根据正弦定理得，即可求得
解析：（1）在中，，∵，
∴，∴，∴，即，
∵，∴，∴，∴
综上所述，结论是：
（2）取线段的中点，连接，
∵，∴，设，则，
∴，∴，
在中，由正弦定理得，
∴，综上所述，结论是：
18.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：⑴建立空间直角坐标系，求得，的坐标，求得
，从而证明；
⑵由是直三棱柱推导出，再推出，求出平面的法向量的值，设二面角的平面角为，即可得到的值
解析：（1）建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，∴，，∵∴
（2）∵是直三棱柱，∴，又∵，∴，设平面的法向量为，则，，
∵，，解得
设二面角的平面角为，则.
19.解：（ I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，
得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，
∴AB∥平面DEF． ………………4分
（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
设CD＝，则AC＝BC＝, AD＝DB＝，则A（0，0，），B（，0，0），
C（0，. ………………………5分
取平面CDF的法向量为，设平面EDF的法向量为，
则 得，…………7分
，……………………………………… 8分
∴二面角E—DF—C的余弦值为 …………………………… 9分
（Ⅲ）设，则，∴ —— ………… 10分
又∵
∴由得即 —— ………… 11分
∴由得
∴P在BC的延长线上
∴在线段BC上不存在一点P，使APDE. ………………… 12分
20.解：（1）由已知得，∴是公比为2的等比数列，首项为，
∴ ， ． ……………………………4分
（2），
∴
．
若恒成立，则恒成立，
∴，故存在常数A=1，B=-4，C=6满足条件． ……8分
（3）由（2）得，，
∴
=
，∴原式成立． ………………12分
21. 解：（Ⅰ），
，
∵的定义域为.
①即时，在上递减，在上递增，
，无极大值.
②即时，在和上递增，在上递减，
，.
③即时，在上递增，没有极值.
④即时，在和上递增，在上递减，
∴，.
综上可知：时，，无极大值；
时，，；
时，没有极值；
时，，.
（Ⅱ）设，
，
设，则，，，
∴在上递增，∴的值域为，
①当时，，为上的增函数，
∴，适合条件.
②当时，∵，∴不适合条件.
③当时，对于，，
令，，
存在，使得时，，
∴在上单调递减，
∴，
即在时，，∴不适合条件.
综上，的取值范围为.
22.解：（1）∵，∴，∴，．
（2）曲线为以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为，
所以，最大距离为．
23.解：（1）由已知可得：
所以，的解集为．
（2）由（1）知，，
，
∴．