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- 2024-02-15 发布
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第2课时 等比数列的性质及应用
双基达标 (限时20分钟)
1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于 ( )．
A．4 B．8 C．16 D．32
解析 由等比数列的性质得a2·a6＝a42＝42＝16.
答案 C
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于 ( )．
A．－ B．－2 C．2 D.
解析 根据an＝am·qn－m，得a5＝a2·q3.
∴q3＝×＝.∴q＝.
答案 D
3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于 ( )．
A．3 B．2 C．1 D．－2
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
答案 B
4．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，则a5＋a6＝________.
解析 根据等比数列的性质：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．
∴a5＋a6＝(a3＋a4)·＝120×＝480.
答案 480
5．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
解析 由等比数列的性质得a3a11＝a72，
∴a72＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4.
∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
答案 8
6．已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9的值．
解 法一 由等比数列的性质，有a2a10＝a3a9＝a62，
由a2·a6·a10＝1，得a63＝1，
∴a6＝1，∴a3a9＝a62＝1.
法二 由等比数列通项公式，得
a2a6a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a13·q15＝(a1q5)3＝1，
∴a1q5＝1，∴a3a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.
综合提高 (限时25分钟)
7．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于 ( )．
A．5 B．7 C．6 D．4
解析 ∵a1a2a3＝a23＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a83＝10，∴a8＝.
∴a52＝a2a8＝＝50，
又∵数列{an}各项为正数，∴a5＝50.
∴a4a5a6＝a53＝50＝5.
答案 A
8．在等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为 ( )．
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5或3×29
解析 ∵a2＝，a4＝a3q，∴a2＝，a4＝12q.
∴＋12q＝30.即2q2－5q＋2＝0，
∴q＝或q＝2.
当q＝时，a2＝24，
∴a10＝a2·q8＝24×8＝3×2－5；
当q＝2时，a2＝6，
∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29.
答案 D
9．在等比数列{an}中，若an>0，a1·a100＝100，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝________.
解析 由等比数列性质知：a1·a100＝a2·a99＝…＝a50·a51＝100.
∴lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝lg(a1·a2·a3·…·a100)＝lg(a1·a100)50＝lg 10050＝lg 10100＝100.
答案 100
10．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为________．
解析 ∵a，b，c成等比数列，公比是q＝3，
∴b＝3a，c＝a·32＝9a.
又由等差中项公式有：2(b＋8)＝a＋c，
∴2(3a＋8)＝a＋9a.∴a＝4.
∴b＝12，c＝36.
答案 4,12,36
11．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解 ∵a1a5＝a32，a3a5＝a42，a3a7＝a52，
∴由条件，得a32－2a42＋a52＝36，
同理得a32＋2a3a5＋a52＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.
12．(创新拓展)互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．
解 设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，
∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；
(2)若－2q为－和－2的等差中项，则＋1＝2q，
∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；
(3)若－为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.
故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.
