数学（文）卷·2018届天津市六校（静海一中，宝坻一中等）高三上学期期末联考（2018 12页

‎2017～2018学年度第一学期期末六校联考 高三数学（文）试卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．‎ ‎（1）若集合，那么=（ ）.‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第（4）题 ‎（3）已知实数满足则目标函数的最大值为（ ）. ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C）4 （D）‎ ‎（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若 输入的值为1，则输出的值为（ ）．‎ ‎（A） ‎ ‎（B）‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（5）已知双曲线和的渐近线将第一象限三等分，则的离心率为（ ）.‎ ‎（A）或 （B）或 ‎ ‎（C）或 （D）或 ‎（6）已知函数，则, ,的大小关系是（ ）.‎ ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（7）设函数（其中）在0≤x≤1的最小值为，则的最大值为（ ）．‎ ‎（A）a （B） （C）2 （D）1‎ ‎（8）已知是的外心，，若，且，则的面积为（　 ）. ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸的相应位置上．‎ ‎（9）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第________象限．‎ 第（12）题 ‎（10）已知圆的圆心在轴正半轴上，且半径为1．若直线：被圆截得的弦长为，则圆的方程为________________．‎ ‎（11）已知分别是锐角△的角所对的边，‎ 且，若，则 ‎________．‎ O C A B 第（13）题图 ‎（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为的半球拼接组成一个 几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．‎ 若该几何体的表面积为，则=________.‎ ‎（13）如图所示，向量，，的终点 在一条直线上，且，设，‎ ‎，，若，‎ 则的值等于________．‎ ‎（14）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上，若，则实数的取值范围为________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间[，]上的最大值和最小值．‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．‎ 高校 相关人数 抽取人数 ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）若从高校抽取的人中选人作专题发言，列出选择的所有可能情况，并求这人都来自高校的概率．‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ M C B D A P 如图，四棱锥中，平面平面，△是正三角形，底面是直角梯形，，，，为中点． ‎ ‎（Ⅰ）求证：//平面； ‎ ‎（Ⅱ）求证：直线平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 已知数列的前项和，数列满足．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值．‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆和圆，若圆的直径是椭圆的焦距长的倍，且圆的面积为，椭圆的离心率为，过椭圆的上顶点有一条斜率为的直线与椭圆的另一个交点是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的右焦点为，O为坐标原点，当时，求的面积．‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 已知是函数的一个极值点，其中，，，‎ ‎（Ⅰ）求与的关系式；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围.‎ ‎2017～2018学年度第一学期期末六校联考 高三数学（文）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．‎ ‎（1）A. 提示：‎ ‎（2）A．提示： ‎ ‎ ，由已知得．‎ 又∵，∴．‎ ‎（3）C. 提示：相交于点 ‎ ‎∴．‎ ‎（4）B. 提示： ．‎ ‎（5）B．提示：双曲线的一条渐近线倾斜角为或，‎ ‎,.‎ ‎（6）A．提示： 是偶函数，在上恒大于零，‎ 所以在单调递增.‎ ‎∵，，‎ ‎.‎ ‎（7）D．提示：，‎ 当时，，递减，在[0，1]上的最小值为f（1）＝a；‎ 当a＝1时，，；‎ 当a＞1时，，递增，在[0，1]上的最小值为．‎ 因此 的最大值为1.‎ ‎（8）D．提示：取AC中点D，因为是的外心，则.‎ ‎.‎ 又，‎ ‎==．‎ 即．又，‎ ‎．‎ ‎．‎ 二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（9）三 提示：．‎ ‎（10）． 提示：设圆心 ，‎ 圆心到直线距离，由勾股定理得等式．‎ 解得， 所以圆的方程为．‎ ‎（11）．提示：由已知得，又，‎ ‎．由正弦定理，得．‎ 由，根据余弦定理，得．‎ ‎（12）．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，其表面积 ‎，得到．‎ ‎（13）－2． 提示：由，有，‎ 即．于是， ，‎ 所以．‎ ‎（14）． 提示：令 得到，为奇函数．‎ 又∵在上，单调递增．‎ 而由奇函数性质得到上单调递增. 已知，且，有，即．‎ ‎∴ ．解得．‎ 三、解答题：本大题6小题，满分80分．‎ ‎（15）本题满分13分．‎ 解：(Ⅰ) ‎ ‎ ＝． …………………5分 ‎ 所以的最小正周期为. …………………7分 ‎（Ⅱ）因为≤≤，所以≤≤. ………………9分 ‎ 于是，当，即时，取得最小值； ……………11分 ‎ 当，即时，取得最大值. ……………13分 ‎（16）本题满分13分．‎ 解：（Ⅰ）由题意， 所以． ……………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）记从高校抽取的人为，从高校抽取的人为，则高校抽 取的人中选取人作专题发言的基本事件有：‎ ‎（），（），（），（），（），（），（），‎ ‎（），（），（）共种． …………………………9分 设选中的人都来自高校的事件为，‎ 则包含的基本事件有3个（），（）（）． ‎ ‎． ……………………………………13分 ‎ （17） 本题满分13分．‎ 证明：（I）取中点，连接，， ‎ 因为为中点，‎ 所以，且． …………1分 又，且，‎ 所以四边形是平行四边形， ‎ 有． ……………………3分 因为平面，平面，所以//平面． ………4分 ‎（II）因为平面平面，且平面平面=，‎ ‎，所以平面．　　　　　　……………………5分 因为平面，所． 　　　　　　 ……………………6分 因为侧面是正三角形，中点为，所以． ………7分 又，所以平面． ……………8分 ‎ 因为，所以平面． ……………………9分 解：（Ⅲ）过作于， ‎ 因为平面，平面 所以平面平面． ‎ 又平面平面=，‎ 所以平面．（或直接由线面垂直判定定理得） …………10分 所以是在平面内的射影，‎ 即为直线与平面所成角． ……11分 中，，‎ 又， …………………12分 所以中，．‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为． ……13分 ‎（18）本题满分13分． ‎ 解：（Ⅰ）在中，令，可得，．‎ 当时，，‎ 所以 ．即 ‎．‎ 而 ，∴．‎ 即当，，又，‎ 所以，数列是首项和公差均为1的等差数列． ………4分 于是，所以． ……6分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以． ……………………………8分 ‎．‎ ‎…………………10分 由，得，即．‎ 又关于单调递减，，‎ ‎∴的最大值为4．  ……………………………………13分 ‎（19）本题满分14分．‎ 解：（Ⅰ），，． ……………………………………1分 ‎∵，∴． ……………………………………2分 ‎，，，．‎ 椭圆方程为． ……………………4分 ‎（Ⅱ）设，直线：， ……………………………………………5分 由联立方程组，消去 得． ……7分 ‎，． ………………………9分 ‎．‎ 设点到直线的距离为，点到直线的距离为，则 ‎，．‎ 有 =， ……………………11分 ‎．解得或．‎ 或，……………………………………12分 此时均有= ．……………………………………………………………14分 ‎（20）本题满分14分．‎ 解：（Ⅰ）．‎ 因为是函数的一个极值点,所以．‎ 即，所以． ………………………3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=．‎ 由于时，有，当变化时，与的变化如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，‎ 在上单调递减. ………………………8分 ‎（Ⅲ）时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，，即.‎ 又，. …………………10分 ‎ 设，其函数图象是开口向上的抛物线， ‎ 解得.‎ 又， ，即的取值范围为.………………14分