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- 2024-02-15 发布
2017～2018学年度第一学期期末六校联考
高三数学（文）试卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．
（1）若集合，那么=（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
第（4）题
（3）已知实数满足则目标函数的最大值为（ ）.
（A） （B）
（C）4 （D）
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若
输入的值为1，则输出的值为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知双曲线和的渐近线将第一象限三等分，则的离心率为（ ）.
（A）或 （B）或
（C）或 （D）或
（6）已知函数，则, ,的大小关系是（ ）.
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设函数（其中）在0≤x≤1的最小值为，则的最大值为（ ）．
（A）a （B） （C）2 （D）1
（8）已知是的外心，，若，且，则的面积为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸的相应位置上．
（9）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第________象限．
第（12）题
（10）已知圆的圆心在轴正半轴上，且半径为1．若直线：被圆截得的弦长为，则圆的方程为________________．
（11）已知分别是锐角△的角所对的边，
且，若，则
________．
O
C
A
B
第（13）题图
（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为的半球拼接组成一个
几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．
若该几何体的表面积为，则=________.
（13）如图所示，向量，，的终点
在一条直线上，且，设，
，，若，
则的值等于________．
（14）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上，若，则实数的取值范围为________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间[，]上的最大值和最小值．
（16）（本小题满分13分）
为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．
高校
相关人数
抽取人数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若从高校抽取的人中选人作专题发言，列出选择的所有可能情况，并求这人都来自高校的概率．
（17）（本小题满分13分）
M
C
B
D
A
P
如图，四棱锥中，平面平面，△是正三角形，底面是直角梯形，，，，为中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：直线平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
（18）（本小题满分13分）
已知数列的前项和，数列满足．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值．
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆和圆，若圆的直径是椭圆的焦距长的倍，且圆的面积为，椭圆的离心率为，过椭圆的上顶点有一条斜率为的直线与椭圆的另一个交点是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的右焦点为，O为坐标原点，当时，求的面积．
（20）（本小题满分14分）
已知是函数的一个极值点，其中，，，
（Ⅰ）求与的关系式；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围.
2017～2018学年度第一学期期末六校联考
高三数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
（1）A. 提示：
（2）A．提示：
，由已知得．
又∵，∴．
（3）C. 提示：相交于点
∴．
（4）B. 提示： ．
（5）B．提示：双曲线的一条渐近线倾斜角为或，
,.
（6）A．提示： 是偶函数，在上恒大于零，
所以在单调递增.
∵，，
.
（7）D．提示：，
当时，，递减，在[0，1]上的最小值为f（1）＝a；
当a＝1时，，；
当a＞1时，，递增，在[0，1]上的最小值为．
因此 的最大值为1.
（8）D．提示：取AC中点D，因为是的外心，则.
.
又，
==．
即．又，
．
．
二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分．
（9）三 提示：．
（10）． 提示：设圆心 ，
圆心到直线距离，由勾股定理得等式．
解得， 所以圆的方程为．
（11）．提示：由已知得，又，
．由正弦定理，得．
由，根据余弦定理，得．
（12）．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，其表面积
，得到．
（13）－2． 提示：由，有，
即．于是， ，
所以．
（14）． 提示：令
得到，为奇函数．
又∵在上，单调递增．
而由奇函数性质得到上单调递增. 已知，且，有，即．
∴ ．解得．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．
（15）本题满分13分．
解：(Ⅰ)
＝． …………………5分
所以的最小正周期为. …………………7分
（Ⅱ）因为≤≤，所以≤≤. ………………9分
于是，当，即时，取得最小值； ……………11分
当，即时，取得最大值. ……………13分
（16）本题满分13分．
解：（Ⅰ）由题意， 所以． ……………………4分
（Ⅱ）记从高校抽取的人为，从高校抽取的人为，则高校抽
取的人中选取人作专题发言的基本事件有：
（），（），（），（），（），（），（），
（），（），（）共种． …………………………9分
设选中的人都来自高校的事件为，
则包含的基本事件有3个（），（）（）．
． ……………………………………13分
（17） 本题满分13分．
证明：（I）取中点，连接，，
因为为中点，
所以，且． …………1分
又，且，
所以四边形是平行四边形，
有． ……………………3分
因为平面，平面，所以//平面． ………4分
（II）因为平面平面，且平面平面=，
，所以平面． ……………………5分
因为平面，所． ……………………6分
因为侧面是正三角形，中点为，所以． ………7分
又，所以平面． ……………8分
因为，所以平面． ……………………9分
解：（Ⅲ）过作于，
因为平面，平面
所以平面平面．
又平面平面=，
所以平面．（或直接由线面垂直判定定理得） …………10分
所以是在平面内的射影，
即为直线与平面所成角． ……11分
中，，
又， …………………12分
所以中，．
所以直线与平面所成角的正弦值为． ……13分
（18）本题满分13分．
解：（Ⅰ）在中，令，可得，．
当时，，
所以 ．即
．
而 ，∴．
即当，，又，
所以，数列是首项和公差均为1的等差数列． ………4分
于是，所以． ……6分
（Ⅱ）因为，
所以． ……………………………8分
．
…………………10分
由，得，即．
又关于单调递减，，
∴的最大值为4． ……………………………………13分
（19）本题满分14分．
解：（Ⅰ），，． ……………………………………1分
∵，∴． ……………………………………2分
，，，．
椭圆方程为． ……………………4分
（Ⅱ）设，直线：， ……………………………………………5分
由联立方程组，消去 得． ……7分
，． ………………………9分
．
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，则
，．
有 =， ……………………11分
．解得或．
或，……………………………………12分
此时均有= ．……………………………………………………………14分
（20）本题满分14分．
解：（Ⅰ）．
因为是函数的一个极值点,所以．
即，所以． ………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=．
由于时，有，当变化时，与的变化如下表：
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，
在上单调递减. ………………………8分
（Ⅲ）时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，，即.
又，. …………………10分
设，其函数图象是开口向上的抛物线，
解得.
又， ，即的取值范围为.………………14分