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- 2024-02-05 发布
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24.3 正多边形和圆
※教学目标※
【知识与技能】
了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法.能根据定义判定一个多边形是否是正多边形，理解正多边形和圆的关系.
【过程与方法】
领会“特殊—一般—特殊”是认识事物的重要方法.使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神.
【情感态度】
通过观察、发现、探究等活动，感受数学来源于生活，服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.
【教学重点】
正多边形和圆的相关概念及其之间的运算.
【教学难点】
探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.
※教学过程※
一、情境导入
请同学们观察课件中出示的图片，提问：
（1） 你能从图案中找出多边形吗？什么样的图形叫正多边形？
（2） 正多边形与圆有怎样的关系？
二、 探索新知
问题1 把一个圆分成5等份，求证：依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形.
证明：如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点所得到五边形ABCDE.
∵，
∴AB=BC=CD=DE=EA, .
∴∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E，
∴五边形ABCDE是正五边形.
问题2 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
答案：一定.
问题3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.
3
答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.理由如下：因为各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，如矩形.
归纳总结 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l=4×6=24（m）.作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OPC中,OC=4m，PC==2m，利用勾股定理,可得边心距r==（m）.亭子地基的面积S=lr=×24×≈41.6（m2）.
想一想 你知道如何利用正多边形和圆的关系来画正多边形吗？
画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：
（1） 用量角器等分圆周
方法1：由于在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.
方法2：先用量角器画一个等于的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.
（2） 用尺规等分圆
正六边形的作法
方法1：画一个圆，用量角器画一个等于=60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，依次连接各等分点，即可得到正六边形.（如图①）
方法2：在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.（如图②）
正四边形的作法
用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形.（如图③）
① ② ③
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三、 巩固练习
1.如图，圆内接正五边形ABCDE中，∠ADB= .
2. 分别求出半径为R的圆内接正方形的边长、边心距和面积.
3.用一批共长120m的篱笆围出一块草地来．分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积（精确到0.1m2），并比较它们的大小.
答案：1.36°
2.解：连接OB，OC，作OE⊥BC，垂足为E.∠OEB=90°,∠OBE=
∠BOE=45°,Rt△OBE为等腰直角三角形.BE2+OE2=OB2，2OE2=OB2，OE2=.边心距OE=OB=R.边长BC=2BE=2×R=R.S正方形ABCD=AB•BC=(R)2=2R2.
3.解：由题意，得正三角形的边长为40m，S正三角形=×40×20=400≈692.8（m2），
正方形的边长为30m，S正方形=30×30=900（m2），
正六边形的边长为20m，S正六边形=6××20×10=600≈1039.2（m2），
圆的半径为r==（m），S圆=πr2=π×=≈1146.5（m2），
因此，在周长都是120m时，S正三角形＜S正方形＜S正六边形＜S圆.
五、归纳小结
通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？
※布置作业※
从教材习题21.3中选取．
※教学反思※
1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.
2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.
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