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- 2024-02-05 发布
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乌兰察布分校2017-2018学年第二学期第一次调考
高二年级数学试题
一、选择题：（本大题共12小题。每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的
1. 在下列结论中正确的是( )
A. 在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 B. 任何两个复数都不能比较大小
C. 如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的 D. －1的平方根是i
【答案】A
【解析】利用排除法：
两个虚数不能比较大小，但是实数可以比较大小，实数属于复数，排除B，
当a＝0时，ai是实数，排除C，
－1的平方根是±i，排除D，
本题选择A选项.
2. 下列表示图书借阅的流程正确的是( )
A. 入库→阅览→借书→找书→出库→还书 B. 入库→找书→阅览→借书→出库→还书
C. 入库→阅览→借书→找书→还书→出库 D. 入库→找书→阅览→借书→还书→出库
【答案】B
【解析】利用排除法：
出库程序一定得在还书之前，故C，D两个答案错误；
找书程序一定得在借书程序之前，故A错误．
本题选择B选项.
3. 已知集合A={i，i2，i3，i4}（i为虚数单位），给出下面四个命题：
①若∈A，y∈A，则；②若若∈A，y∈A，则；
③若∈A，y∈A，则；④若∈A，y∈A，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】∵集合A={i，i2，i3，i4}
①取，则∈A，y∈A，但是不满足；①错误；
②取，则∈A，y∈A，但是不满足；②错误；
③若∈A，y∈A，设，则：，故③正确，
④若∈A，y∈A，设，则：，故④正确，
综上所述有两个说法是正确的．
本题选择B选项.
4. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A. ① B. ③ C. ①② D. ①②③
【答案】D
【解析】由三角形的性质结合正四面体的性质进行类比推理可得：
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
即比较恰当的性质是①②③.
本题选择D选项.
5. 散点图在回归分析过程中的作用是( )
A. 查找个体个数 B. 比较个体数据大小关系
C. 探究个体分类 D. 粗略判断变量是否线性相关
【答案】D
【解析】由于散点图在回归分析过程中的作用是粗略判断变量是否线性相关，
则D正确，
故选：D
6. 已知数列中，a1＝1，当n≥2时，，依次计算a2，a3，a4后，猜想的一个表达式是( )
A. n2－1 B. (n－1)2＋1 C. 2n－1 D. 2n－1＋1
【答案】C
【解析】a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，
a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，
a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，
利用归纳推理，猜想an＝2n－1，
本题选择C选项.
点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
7. 设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r,y关于x的回归直线的斜率是b,纵轴上的截距是a，那么必有 ( )．
A. b与r的符号相同 B. a与r的符号相同
C. b与r的符号相反 D. a与r的符号相反
【答案】A
【解析】若两个变量x和y之间具有正相关的线性关系，则若两个变量x和y之间具有负相关的线性关系，则所以与的符号相同.故选A.
8. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是( )
A. 3－3i B. 3＋i C. D.
【答案】A
【解析】∵的虚部为3,的实部为－3，
∴所求复数为3－3i.
本题选择A选项.
9. i是虚数单位，i（1+i）等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由复数的运算法则可得：.
本题选择D选项.
10. 以下是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则处的关系式是( )
A. y＝x3 B. y＝3－x C. y＝3x D. y＝
【答案】C
【解析】当x＝3时，因为x>0，所以执行x＝x－2，所以x＝1，
又x＝1>0，所以执行x＝x－2，x＝－1.
当x＝－1时，y＝，此时程序跳出循环
结合选项知，内应填y＝3x.
本题选择C选项.
11. 如图所示，程序的输出结果为S＝132，则判断框中应填( )
A. i≥10? B. i≥11? C. i≤11? D. i≥12?
【答案】B
【解析】可以逐个验证各选项，当判断框中填写i≥10？时，输出结果为S＝1 320；当判断框中填写i≥11？时，输出结果为S＝132；当判断框中填写i≤11？时，输出结果为S＝1；当判断框中填写i≥12？时，输出结果为S＝12.故选B.
考点：程序框图.
12. 已知复数是z的共轭复数，则＝( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】由题意可得：
，
则：，.
本题选择A选项.
点睛：在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
分卷II
二、填空题（本大题共4小题。每小题5分，满分20分。）
13. 计算：____________ .
【答案】16i
【解析】由题意可得：
14. 如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．
【答案】2
【解析】如果z为纯虚数，则：，
据此可得：，即：.
点睛：(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．
(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．
15. 已知函数y＝如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．
①处应填写________；②处应填写________．
【答案】 (1). x<2？ (2). y＝log2x
【解析】满足判断框中的条件执行y＝2－x，故①处应填“x<2？”．
不满足x<2，即x≥2时，执行y＝log2x，故②处应填“y＝log2x”．
16. 分类变量X和Y的列表如下，则下列说法判断正确的是________．(填序号)
①ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱；②ad－bc越大，说明X与Y的关系越强；
③(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强；④(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强．
【答案】③
【解析】列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度，
由，
当(ad-bc)2越大，k2越大，表明X与Y的关系越强.
(ad-bc)2越接近0，说明两个分类变量X和Y无关的可能性越大.
即所给说法判断正确的是③.
三、解答题(共70分)
17. 已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？
【答案】第四象限，轨迹为y＝－x＋2.
【解析】
试题分析:根据二次函数确定实部与虚部范围，确定正负，决定象限，再设复数代数形式，再消去a得实部与虚部关系，即得轨迹方程.
试题解析:由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，复数z的虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x、y∈R)，则 消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)．
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)．
18. 已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥ 平面ACD.(写出每一个三段论的大前提、小前提、结论)
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：
试题解析：
如图所示，连结BM，BN，并延长分别交AD，DC于P，Q两点，连结PQ.
因为三角形的重心是中线的交点，(大前提)
M，N分别是△ABD和△BCD的重心，(小前提)
所以P，Q分别是AD，DC的中点．(结论)
因为三角形的重心将中线分成长为1∶2的两部分，(大前提)
M，N分别是△ABD和△BCD的重心，BP，BQ分别是△ABD和△BCD的中线，(小前提)
所以＝2＝.(结论)
结合平行线分线段成比例定理的逆定理，(大前提)
可得：，(结论)
直线外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行，(大前提)
而平面ACD，平面ACD，(小前提)
故MN∥ 平面ACD.(结论)
19. 已知y=f(x)在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足.
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)若，求x的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)0；(3).
【解析】试题分析：
(1)由题意利用函数关系式即可证得；
(2)结合(1)中的结论，令可得；
(3)结合题中的结论可知不等式等价于，结合函数的单调性和函数的定义域得到关于实数x的不等式组，求解不等式组可得x的取值范围是.
试题解析：
(1)∵(大前提)
∴2)＝
＝．(结论)
(2)∵＝12)＝2，(小前提)
∴.(结论)
(3)∵
，(小前提)
且函数在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∴解得(结论)
20. 已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝，求cos(α＋β)的值．
【答案】.
【解析】试题分析：
由题意可得∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝
，实部，虚部分别相等，结合三角函数的性质计算可得cos(α＋β)的值为.
试题解析：
∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1
即cos(α＋β)＝.
21. 用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0至少有一个方程有实根．
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：
利用反证法，假设关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根，则判别式的值均为负值，据此可得：，明显不存在这样的m，则原命题成立．
试题解析：
要证命题的否定为：关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根，
假设关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根，
则有△=25﹣4m＜0，且△′=1﹣8（6﹣m）=8m﹣47＜0．
解得m＞，且，矛盾，
故假设不正确，原命题得证．
22. 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
【答案】答案见解析.
【解析】试题分析：
由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为25.“非体育迷”人数为75，据此完成2×2列联表即可，结合列联表计算观测值可得，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下可以认为“体育迷”与性别有关．
试题解析：
由所给的频率分布直方图知，
“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25.
“非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：
将2×2列联表的数据代入公式计算：
K2＝≈3.030>2.706.
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下可以认为“体育迷”与性别有关．
点睛：利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，计算随机变量的观测值k值越大，说明“
两个变量有关系”的可能性越大．
