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- 2024-02-05 发布
2019-2020 学年宁夏石嘴山市平罗中学高三（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【详解】因为，所以.选C.
【点睛】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．
2.已知向量 ,且,则=( )
A. 5 B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【详解】因为所以，
,
故选B.
3.求函数零点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
可根据函数求导，根据导函数求得函数的极大值与极小值，再根据函数特点判断零点个数
【详解】,
在上单调递增,在上单调递减,在上上单调递增,
所以当时,取到极大值,
所以当时,取到极小值,
所以函数零点的个数为3
所以C选项是正确的
【点睛】三次函数问题一般通过求导解决函数的增减性问题和零点问题．
4.命题“”为真命题的一个充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
若成立,则在成立,即小于等于在的最小值,即可求解.
【详解】解:由,得,
因为函数在上的最小值为2.
所以成立,可得.
即命题为真命题的一个充要条件是,
故选:B
【点睛】本题考查求命题的充要条件,考查不等式的恒成立问题.
5.如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为，再由题意得到矩形的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果.
【详解】由题意，阴影部分的面积为，
又矩形的面积为，
所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为
.
故选B
【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.
6.函数的一个单调增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数在每个选项的区间上的单调性进行逐一验证，可得出正确选项.
【详解】对于A选项，当时，，所以，函数在区间上不单调；
对于B选项，当时，，所以，函数区间上单调递增；
对于C选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减；
对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减.故选B.
【点睛】本题考查正弦型函数在区间单调性的判断，一般利用验证法进行判断，即求出对象角的取值范围，结合正弦函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题.
7.已知△ABC的内角的对边分别为且，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】因为，即.
所以，所以，又，
所以即，故的面积.
故选C.
【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.
8.在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形,设是中点,连接,则,即可得到三点共线,进而根据线段的比来确定面积的比.
【详解】在中,为其内部一点,且满足,
设是中点,连接,如图所示,
则,且,
三点共线,且,
,
则和的面积比是6
故选:C
【点睛】本题考查向量加法的应用,考查向量的数乘向量的应用.
9.已知函数，如果，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式，转化为，即可求解．
【详解】由函数，可得，所以函数为单调递增函数，
又由，所以函数为奇函数，
因为，即，
所以，解得，故选A．
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10.如图点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B，则()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，点B得到，
将所求的转化为，按照公式展开，得到答案.
【详解】由题意因为，点B
所以，
所以，
故选C
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题.
11.若函数在区间上有两个零点，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数零点的定义、函数的图像的对称轴方程，求得，再根据的图像和直线在区间上有两个交点，正弦函数的定义域和值域求得的范围，可得的取值范围.
【详解】解：的周期为，令，求得.
∴函数在轴右侧第一条对称轴方程为
由于函数的两个零点为，
∴
∵函数在区间上有两个零点
∴可转化为：的图像和直线在区间上有两个交点
由，可得
如下图所示：，，
∴
∴
求得
∴
故选B.
【点睛】本题考查了正弦函数的图像，函数零点的定义，体现了转化的数学思想.
12.已知函数，若且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，计算出直线的倾斜角为，可得出，于是当直线与曲线相切时，取最大值，从而取到最大值.
【详解】如下图所示：
设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，
由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，
当时，，令，得，切点坐标为，
此时，，，故选B.
【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若锐角的面积为，且，则等于 .
【答案】
【解析】
由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．
考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．
【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．
14.设函数的导数为，且，则 .
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以，令，得，解得，则，所以．
考点：导数的运算；函数值的求解．
15.若将函数（）的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是________
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数图象的平移变换得：，因为为偶函数，所以
，由，所以ω的最小值为，得解．
【详解】解答：解：将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为
因为为偶函数，
所以，
由，
所以ω的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．
16.如图，向量，，，是以为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
将两边平方，利用数量积的运算化简可得，用基本不等式即可求得最大值．
【详解】因为，，，
所以,
因为为圆上，所以，
，
，
，
，
，
，故答案为1．
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、基本不等式的应用，属基础题．数量积的运算主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
三、解答题（共70分）
17.已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求周期，（2）根据自变量范围确定正弦函数单调区间，根据单调区间确定函数最小值.
详解： （1）
所以，的最小正周期为.
（2）由，得，
∴，
，
∴在区间上的最小值是.
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
18. 某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.
【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为.
（2）X的分布列为：
X的期望为.
【解析】
【分析】
(1) A中至少有1名学生入选代表队的对立事件是A中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B中的学生，计算概率后，再用1减，即是所求概率；
(2)6名队员中有3男，3女，所以选4人中，X表示参赛的男生人数，X的可能取值为1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列分布列和求期望.
【详解】(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．
参赛学生全部从B中学中抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－
(2)根据题意得，X的可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.
所以X的分布列为
因此，X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.
19.在中，角的对边分别是，已知.
（1）求角的大小；
（2）若为边上的中线，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先利用正弦定理化边为角可得,整理可得,即可求解；
（2）由（1）及条件可得求得,则利用正弦定理可得,设,利用余弦定理求得,即可求得,进而求得三角形面积.
【详解】（1）因为
由正弦定理得,
即,
所以,
因为,
所以,
所以,
又,
所以
（2）在中,,所以,
由（1）可得
由正弦定理得
设,
在中,由余弦定理得,
可得
解得,可得
所以的面积
【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积公式的应用.
20.已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，交轴于点，满足，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）设出右焦点的坐标，通过点到直线距离公式，可以求出的值，根据已知可知离心率，进而可以求出的值，利用，可以求出，最后求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线交椭圆于两点的坐标，利用，可以求出两点纵坐标的关系，直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，可以求出直线的斜率，进而求出直线的方程.
【详解】（1）设右焦点为，由题意得，则，或 （舍去）．
又离心率，即，解得，则，
故椭圆的方程为.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），因为，
所以，①，
易知当直线的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，
于是设直线的方程为，联立消去得，
因为直线过的点在椭圆内，所以恒成立．于是②， ③，
由①②得，y2＝，y1＝﹣，代入③整理得.
所以直线的方程是或.
【点睛】本题考查了通过已知的条件求出椭圆的标准方程.重点考查了直线与椭圆的关系，根据向量式，得到纵坐标的关系，根据根与系数的关系求出直线斜率的问题，属于中档题.
21.已知函数f(x)=-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
【答案】(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析
【解析】
【详解】(1)．
由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．
于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．
函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．
所以f(x)(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．
当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．
又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．
当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．
由f '(x0)=0得=，，
故．
综上，当m≤2时， f(x)>0．
四、选做题（请在22、23题中任选一题作答，共10分）
22.在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为A，B，求的面积．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及ρ2=x2+y2，可得C1，C2的极坐标方程；
（2）将代入C2的极坐标方程，可得|AB|，可得直角△C2AB的面积．
【详解】（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ=3，
圆C2：（x2）2+（y1）2=1即为x2+y24x2y+4=0，
可得C2的极坐标方程为．
（2）将代入ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0，得，
解得．故，即．
由于C2的半径为1，所以直角△C2AB的面积为．
【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．
23.已知函数，关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）已知，且，求最小值．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】
(1)直接对不等式化简得，然后对比它的解集，即可求出m.
(2)直接利用柯西不等式化简．
【详解】（1），由题意，
故．
（2）由（1）可得，
由柯西不等式可得，
所以.
当且仅当，即，，时等号成立，
的最小值为．
【点睛】本题考查解绝对值不等式和柯西不等式，属于中档题．