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- 2024-01-18 发布
南康中学2018～2019学年度第二学期高二第二次大考
数学（文）试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知复数，则( )
A． B． C． D．
2. “”是 “”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如右表,由表中数据，得线性回归方程，则下列结论错误的是( )
广告费用x(万元)
2
3
5
6
销售利润y(万元)
5
7
9
11
A. B. C.直线过点 D.直线过点
4．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．用反证法证明命题“若则”时，
第一步应假设（ ）
A． B．
C． D．
6．如果执行下图的算法框图，若输入n＝6，m＝4，
那么输出的p等于 ( )．
A．720 B．360
C．240 D．120
7．据统计，某位同学在大考中语文和数学成绩达到优秀等级(120以上)的概率分别为和
，假设两科考试成绩相互独立，则这位同学在期中考试中语文和数学至少有一科优秀的概率是( )
A． B． C． D．
8．已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，且（O为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，该几何体各个面中，
最大面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11山。．已知抛物线与双曲线有一个相同的焦点，则动点 的轨迹是（ ）
A．直线的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
12．已知定义在上的函数，为其导数，且恒成立，则（ ）
A． B．
C． D． 0
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．
13. 掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生概率为 .
14. 曲线在处的切线方程为 .
15．设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则；类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为，则 ．
16．已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．
17．（本小题满分10分）已知命题直线与圆有公共点；
命题函数在区间上单调递减；
（1）分别求出两个命题中的取值范围，并回答是的什么条件；
（2）若真假，求实数的取值区间．
18．（本小题满分12分）某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图3所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意，
3 3
4 6 8
5 1 3 6 4
6 2 4 5 5 1
7 3 3 5 6 9
8 3 2 1
图3
（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得，则在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？
不满意
满意
合计
男
4
7
女
合计
附：
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
（2）根据这次的调查数据估计用户对该公司的产品“满意”的概率；
（3）该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取2人，求这两人都是男用户或都是女用户的概率.
19．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2x3－x2＋ax＋b，
(1)若函数f(x)的图像上有与x轴平行的切线，求参数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)＜b2＋b恒成立，求参数b的取值范围．
20、（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，，且，点是的中点，且交于点.
（1）求证：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积.
21．（本小题满分12分）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到直线
x＋y＋＝0的距离为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M(0，－ 1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足＝－，求直线l的方程．
22．（本小题满分12分）已知函数
⑴若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
⑵若（为自然对数的底数），证明：当时，
南康中学2018～2019学年度第二学期高二第二次大考
数学（文）参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
C
B
B
D
C
B
B
D
A
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．
13. 14. 15. 16.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．
17．解：（1）在命题中，由； ------3分
在命题中，由 ， ------5分
当时，函数也满足条件 ------6分
， 是的必要不充分条件 ------7分
（2） 由真假可得：
------10分
18．解：（1）
不满意
满意
合计
男
3
4
7
女
11
2
13
合计
14
6
20
-----------------2分
∵<3.84 1，
∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。----4分
（2）因样本20人中，对该公司产品满意的有6人，故估计用户对该公司的产品“满意”的概率为 -----------------6分
（3）由（1）知，对该公司产品满意的用户有6人，其中男用户4人，女用户2人，
设男用户分别为；女用户分别为 -----------------8分
从中任选两人，记事件A为“选取的两个人都是男用户或都是女用户”，则
总的基本事件为
共15个， ------------------10分
而事件A包含的基本事件为共7个，
故． ------------------------------------12分
19、【解】 (1)f′(x)＝6x2－2x＋a，依题意知，方程f′(x)＝6x2－2x＋a＝0有实根，所以Δ＝4－4×6a≥0，得a≤. 即参数a的取值范围为(－∞，]．
(2)由函数f(x)在x＝1处取得极值，知x＝1是方程f′(x)＝6x2－2x＋a＝0的一个根，所以a＝－4，方程f′(x)＝6x2－2x＋a＝0的另一个根为－，
因此，当x＜－或x＞1时，f′(x)＞0；
当－＜x＜1时，f′(x)＜0.
所以f(x)在[－1，－]和[1,2]上为增函数，在(－，1)上为减函数，
∴f (x)有极大值f(－)＝＋b.
极小值f(1)＝b－3，又f(－1)＝b＋1，f(2)＝b＋4，
∴当x∈[－1,2]时，f(x)max＝4＋b.
∵f(x)＜b2＋b恒成立，∴4＋b＜b2＋b.
∴b＜－2或b＞2.
即参数b的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
20.（1）证明：底面，，又易知，
平面，，
又，是的中点，，
平面，，
又已知，
平面；
（2）平面，平面，
而，，，
又，，
又平面，，而，，
，，
.
21、解：(1)设右焦点为(c，0)，则＝2，c＋＝±2，c＝或c＝－3(舍去)．
又离心率＝，即＝，解得a＝2，则b＝＝，
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，0)，因为＝－，
所以(x1－x0，y1)＝－(x2－x0，y2)，y1＝－y2 ①，
易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，
于是设l的方程为y＝kx－1(k≠0)，联立消去x得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，
因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交．
于是y1＋y2＝－ ②，y1y2＝ ③，
由①②得，y2＝，y1＝－，代入③整理得8k4＋k2－9＝0，k2＝1，k＝±1.
所以直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.