- 806.50 KB
- 2024-01-12 发布
岳阳县一中2017-2018学年高二年级10月阶段考试
理科数学试卷
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（A ）
A． B． C． D．
2、设命题：，则为( C )
（A）（B）
（C）（D）
3、已知直线和平面，下列推理错误的是（ C ）
A、且 B、∥且
C、∥且∥ D、且∥或
4、为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(D )．
A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32
C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47
5、程序框图如图：
如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入（ A ）
A．K<10？ B．K10？ C．K<11？ D．K11？
6、已知向量，则下列结论正确的是（ D ）
A. B. C. D.
7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ D ）
A. B. C. D.
8、下列各式中，值为的是（D ）
A．sin15°cos15° B．
C． D．
9、已知，且，若恒成立，则实数的值取值范围是（ D ）
A．或 B．或
C． D．
10、若将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，（B ）
A. B. C. D.
11、定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，又是锐角三角形的两个内角，则（A ）
A. B.
C. D.
12、设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为( B )
A.9 B.10 C.11 D.12
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若非零向量满足，则与的夹角余弦值为 -1/3 ．
14、已知实数，满足则的取值范围为 [-4,-2/3] ．
15、如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ．
16、已知cos＝，<α<，则的值为_－._______.
＝
＝
＝sin 2α＝sin 2α·tan.
由<α<得<α＋<2π，又cos＝，
所以sin＝－，tan＝－.
cos α＝cos＝－，sin α＝－，sin 2α＝.
所以＝－.
三、解答题(本大题6个小题,满分70分)
17、（本小题满分10分）设实数满足, 实数满足.
(1)若且为真，求实数的取值范围；
(2)若其中且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
解（1） 由得
当时，,即为真时实数的取值范围是
由, 得, 得
即为真时实数的取值范围是,
若为真，则真且真，
所以实数的取值范围是.
(2) 由得
是的充分不必要条件，即,且,
设A=,B=,则,
又A==, B=={x|x≥4或x≤2}，
则,且
所以实数的取值范围是
18、（本小题满分12分）已知圆O的方程为x2＋y2＝4。
(1)求过点P(1,2)且与圆O相切的直线L的方程；
(2)直线L过点P(1,2)，且与圆O交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线L的方程；
解 (1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，
则由＝2，得k1＝0，k2＝－，
从而所求的切线方程为y＝2和4x＋3y－10＝0.
(2)①当直线m垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，m与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；
②当直线m不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d(d＞0)，则2＝2，得d＝1， 7分从而1＝，得k＝，
此时直线方程为3x－4y＋5＝0，
综上所述，所求直线m的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
19、（本小题12分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1，
由S1＋a1＝1，得a1＝，
当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，
所以an＝an－1(n≥2).
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列.
故an＝·＝2·(n∈N*).
(2)因为1－Sn＝an＝.
所以bn＝log(1－Sn＋1)＝log＝n＋1，
因为＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝－＝.
20、（本小题12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范围.
解 (1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，
∴(2a＋c)cos B＋bcosC＝0，
∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0.
即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A.
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cosB＝－.
∵0＜B＜π，∴B＝.
(2)由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号.
∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.
又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2].即a＋c的取值范围是(，2].
21、（本小题满分12分）
从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，上图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm以上(含180 cm)的人数；
(2) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x－y|≤5的事件概率．
解 (1)由频率分布直方图知，前五组频率为
(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，
后三组频率为1－0.82＝0.18，
人数为0.18×50＝9(人)，
这所学校高三男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144(人)．
(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2(人)，
设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m，又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，
即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.
身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d.身高在[190,195]的人数为2人，设为A，B.
若x，y∈[180,185)时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况．
若x，y∈[190,195]时，有AB共1种情况．
若x，y分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况．
所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15(种)．
事件|x－y|≤5所包含的基本事件个数有
6＋1＝7(种)，故P(|x－y|≤5)＝.
22、（本小题满分12分）已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若函数的最小值为，求实数的值；
（3）若对任意互不相同的，都有成立，求实数的取值范围.
解：（1）设
则
又，故恒成立，
则，得
又
故的解析式为
（2）令，∵，∴
从而，
当，即时，，
解得或（舍去）
当，即时，，不合题意
当，即时，，
解得或（舍去）
综上得，或
（3）不妨设，易知在上是增函数，故
故可化为，
即（*）
令，，即，
则（*）式可化为，即在上是减函数
故，得，故的取值范围为