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- 2024-01-11 发布
安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测
高二数学试题（A1）
（必修3、选修2-1）
命题：郑 锋 审题：孙 彦
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.
1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是( )
A．抽签法
B．随机数法
C．系统抽样法
D．分层抽样法
2. 命题“若，则且”的逆否命题是（ ）
A．若，则且
C．若且，则
B．若，则或
D．若或，则
3. 从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
B．至少有一个红球与都是白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
4. 已知命题，，那么是（ ）
A．，
C．，
B．，
D．，
5. 已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面. 下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
C．若，，则
B．若，，则
D．若，，则
6. 我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的等于（ ）
第6题图
A．2
B．4
C．6
D．8
7. 下列说法正确的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件
C．，使成立
D．“”必要不充分条件是“”
8. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区户家庭，得到如下统计数据表：
收入 (万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出 (万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中，，据此估计，该社区一户收入为万元家庭的年支出为（ ）
A．万元
B．万元
C．万元
D．万元
9. 为比较甲、乙两地某月时的气温情况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图. 考虑以下结论：
① 甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；
② 甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；
③ 甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；
④ 甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）.
A.①③
B.①④
第6题图
C.②③
D.②④
10. 若如下框图所给的程序运行结果为，则图中的判断框“”中应填入的是( )
第10题图
A．
B．
C．
D．
11. 设点为双曲线（，）上一点，，分别是左右焦点， 是△的内心，若△，△，△的面积，，满足，则双曲线的离心率为（ ）.
A．2
B．
C．4
D．
12. 抛物线（）的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上.
13. 在区间上随机取一个数，则的值介于与之间的概率为_____．
14. 已知，，如果是的充分不必要条件，则的取值范围是_____．
15. 如图是一个算法流程图，则输出S的值是 ．
16. 如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为的中点，抛物线经过，两点，则 ．
第16题图
第15题图
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过程.
17. （本题满分10分）“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价元和销售量杯之间的一组数据如下表所示：
价格
5
5.5
6.5
7
销售量
12
10
6
4
通过分析，发现销售量对奶茶的价格具有线性相关关系．
（Ⅰ）求销售量对奶茶的价格的回归直线方程；
（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？
注： 已知 .
在回归直线中，，.
18.（本题满分12分）设命题函数的定义域为；命题，不等式恒成立. 如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围
19.（本题满分12分）一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是，，，. 现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.
（Ⅰ）若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于的概率；
（Ⅱ）若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字的卡片的概率.
20.（本题满分12分）如图，在长方体中，，为中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．
21. （本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取件产品，求这件产品都在区间内的概率．
22.（本题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测
高二数学试题（A1）（必修3、选修2-1）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
D
D
B
A
D
B
B
C
A
C
二、填空题（每小题4分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题（共70分）
17. （本题满分10分）解：（Ⅰ），．
，，
，，
所以销售量对奶茶的价格的回归直线方程为． …………… 6分
（Ⅱ）由，得．
答：商品的价格定为元． ………… 10分
18.（本题满分12分）解：因为命题“”为真命题，且“”为假命题，所以和一真一假. ………… 2分
命题“函数的定义域为”为真的充要条件是或. ………… 3分
命题 “，不等式恒成立”为真的充要条件是或. …………… 8分
故使命题“”为真命题，且“”为假命题的实数的取值范围是
. …………… 12分
19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）设表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于”.
抽取三张卡片，三张卡片上数字的全部可能的结果是，，，，其中三张卡片上的数字之和大于的是，，
所以. …………… 5分
（Ⅱ）. …………… 12分
20.（本题满分12分）（Ⅰ）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
设，则，，，，，
所以，，
所以，故1. …………… 5分
（Ⅱ）解 假设在棱上存在一点，使得∥平面，此时．
又设平面的法向量，因为，，
由⊥平面，得
取，得平面的一个法向量.
要使∥平面，只要⊥，有，解得.
又平面，∴存在点，满足∥平面，
此时. …… 12分
21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）设这些产品质量指标值落在区间内的频率为，
则这些产品质量指标值落在区间，内的频率分别为和．
依题意得，
解得．
所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为． …………… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，这些产品质量指标值落在区间，，内的频率依次为，，．
用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，
则在区间内应抽取件，记为，，．
在区间内应抽取件，记为，．
在区间内应抽取件，记为．
设“从样本中任意抽取件产品，这件产品都在区间内”为事件，
则所有的基本事件有：，，，，，，
，，，，，，，，，共种．
事件包含的基本事件有：，，，，，
，，，，，共种．
所以这件产品都在区间内的概率为． ………… 12分
22.（本题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以.
设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，
由椭圆的定义知，所以，
所以，从而，
所以椭圆的方程为． …………… 5分
（Ⅱ）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为，
因为直线与椭圆交于两点，.
设点（不妨设），则点，
联立方程组，消去得，所以，，
所以直线的方程为.
因为直线与轴交于点，令得，即点，
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则，
即，即．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．
…………… 12分