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- 2024-01-11 发布
佛山一中2020届高三9月份月考试题
数学（文科）
本试题卷共4页，22题. 全卷满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1.已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则,实数a等于
A. -2 B. 2 C. D. -1
【答案】C
【解析】
是纯虚数,所以，选C.
2.已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得，及。
【详解】由题意得，
，
∴，∴．故选C．
【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。
3.已知各项都为正数的等比数列的前项和为，若，，则 （ ）
A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】
由等比数列的性质，求得，再由，求得公比，最后利用等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，在等比数列中，因为，得，解得，
又由，得.
设等比数列的公比为（），
则，解得（舍去）或，
所以.所以.
故选C.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和性质的应用，以及等比数列的求和，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质，求得等比数列的公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4.等差数列中，，，则数列的前项和取得最大值时的值为（ ）
A. 504 B. 505 C. 506 D. 507
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知求得数列的公差，再利用等差数列正负交界法求数列的前项和
取得最大值时的值.
【详解】∵数列为等差数列，，∴数列公差，
∴，令，得.
又，∴取最大值时的值为505.
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和等差数列的通项的求法，考查等差数列前n项和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
5.已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.
【详解】由于，排除B选项.
由于，，函数单调递减，排除C选项.
由于，排除D选项.故选A.
【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.
6.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. a B. C. D. c
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数h（x）＝xf（x），则a＝h（20.6），b＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（﹣3），分析可得h（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减函数，进而分析可得h（x）在（0，+∞）上为减函数，分析有0＜ln2＜1＜20.6，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】解：根据题意，令h（x）＝xf（x），
h（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣h（x），则h（x）为奇函数；
当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＝f（x）+xf'（x）＜0，则h（x）在（﹣∞，0）上为减函数，
又由函数h（x）为奇函数，则h（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以h（x）在R上为减函数，
a＝（20.6）•f（20.6）＝h（20.6），b＝（ln2）•f（ln2）＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（）＝h（﹣3），
因为0＜ln2＜1＜20.6，
则有；
故选：C．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h（x）＝xf（x
），并分析h（x）的奇偶性与单调性．
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，过点P作PD⊥底面ABC，垂足D在AC的延长线上，且BD⊥AD．由题中数据及锥体体积公式即可得出．
【详解】由三视图可知：该几何体为三棱锥（如图），
过点作底面，垂足在的延长线上，且，，，，
该几何体的体积.故选A.
【点睛】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由诱导公式得到，并计算出cos，再由二倍角公式计算即可.
【详解】由，则，所以cos,所以cos，又 cos=，故选D.
【点睛】本题考查了诱导公式运用，考查了二倍角公式的应用，考查了角的配凑技巧，属于基础题.
9.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象.已知函数的部分图象如图所示，则函数（ ）
A. 最小正周期为，最大值为2
B. 最小正周期，图象关于点中心对称
C. 最小正周期为，图象关于直线对称
D. 最小正周期为，在区间单调递减
【答案】D
【解析】
分析】
先根据函数的图像求出，再求出.利用函数的最小正周期否定选项A,C,再求函数f(x)的对称中心否定选项B,再求函数f(x)的单调区间确定选项D是真命题.
【详解】由图可知，，，∴.
又由可得，，而，∴.
∴，∴.
∴的最小正周期为，选项A，C错误.
对于选项B,令=kπ（k∈z）,所以x=-，所以函数f(x)的对称中心为（-）（k∈z），所以选项B是错误的；
又当时，，所以在是减函数，所以选项D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.若函数在上的值域为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
要使的值域为，得到的范围要求，则要在其范围内，然后得到的范围，找到最小值.
【详解】
而值域为，发现
，
整理得，
则最小值为，选A项.
【点睛】本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合的数学思想，属于中档题.
11.定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．
12.设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
作出函数的图象如图，令，则方程化为，要使关于的方程，恰好有六个不同的实数根，则方程在内有两个不同实数根，，解得实数的取值范围是，故选B.
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知等差数列满足：，.则数列的前项和为= ▲ ．
【答案】
【解析】
略
14.在上的单调增区间为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
【详解】
.
，，
当即时，单调递增，
的单调递增区间为
【点睛】本题主要考查二倍角公式及两角差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．
15.已知曲线：与曲线：，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】
设交点为 ，则切线斜率为
16.已知数列，，为数列的前项的和，且对任意，都有，则的通项公式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，由.所以是以为首项，为公差的等差数列，求出
，再利用项和公式求得的通项公式.
【详解】当时，由 .
又，∴是以为首项，为公差的等差数列.
∴，∴，当时，∴，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查与的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题（本大题共6小题，其中17-21每题12分，第22题10分，共70分）
17.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
Ⅰ.求：角B；
Ⅱ.若，求：的面积．
【答案】I.；II.
【解析】
【分析】
I.根据正弦定理化简边角关系式，构造出的形式，求得，从而得到；II.由同角三角函数关系求得，用正弦定理求得，再利用求得，代入三角形面积公式求得结果.
【详解】I.由正弦定理可得：，即
整理可得：
则
II.由得：
由正弦定理可得：
又
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和差的正弦公式应用、三角形面积公式的应用，熟练应用定理和公式进行边角关系式的化简和未知量的求解是解题的关键，属于常规题型.
18.已知函数，，，.的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为.
（1）求的最小正周期及的值；
（2）若点的坐标为，，求的值.
【答案】（1）6，；（2）.
【解析】
【详解】(1)由题意得T＝＝6.
因为P(1，A)在y＝Asin的图象上，
所以sin＝1.因为0<φ<，所以φ＝.
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知x0＋＝，得x0＝4，
所以Q(4，－A)．
连结PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得
cos∠PRQ＝，解得A2＝3.又A>0，所以A＝
19.已知数列的前项和为，且.等比数列中，，，.
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将n换为n﹣1，相减，由数列的递推式和等差数列的定义，以及等比数列的中项性质和通项公式，计算可得所求通项公式；
（Ⅱ）求得cn＝anbn＝（13﹣2n）•（）n﹣3，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】（Ⅰ），
当时，，
两式相减可得
可得，
即为，即为，
当时，，也满足上式，
则数列为公差为的等差数列，
等比数列中，，，.
可得，即，
即有，解得，
则；
由，，，可得公比，
即；
（Ⅱ），
可得前项和，
，
相减可得
，
化简可得.
【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.已知数列的前项和为，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求.
【答案】(1) ;(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）将n换为n﹣1，相减，得：an＝3an﹣1+1，然后证明数列{}是以为首项，3为公比的等比数列．求出通项公式．
（2）通过递推关系式求出数列的通项公式，利用分组求和法分n为奇偶求解数列的和即可．
【详解】（1）当时，，
当时，
，，两式相减得：
时也符合上式，
（2），
当为偶数时，
当为奇数时，
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查了数列求和，考查转化思想以及计算能力．
21.设函数,其中为自然对数的底数．
（1）若,求的单调区间;
（2）若,求证:无零点．
【答案】（1）的单调递减区间为,单调递增区间为 ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；
（2）分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求得函数的值域，从而证得结果.
【详解】（1）若,则,∴．
令,则,
当时,,即单调递增,又,
∴当时,单调递减,
当时,单调递增．
∴的单调递减区间为,单调递增区间为．
（2）当时,，显然无零点．
当时,
(i)当时,，显然无零点．
(ii)当时，易证，∴,
∴．
令，则，
令，得，
当时，；当时，，
故，从而，显然无零点.
综上,无零点．
【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的值域证得函数没有零点，属于较难题目.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（
为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．