数学文卷·2017届广西桂林市桂林中学高三12月校际联考（2016 12页

广西桂林市桂林中学2017届高三12月校际联考 ‎ 数学试卷(文科)‎ ‎ 考生注意：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分．考试120分钟.‎ ‎ 2.请将各卷答案填在试卷后面的答题卡上.‎ ‎ 3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设集合,,则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知等比数列共有项，其中奇数项之积为，偶数项之积为，则其公比是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4.为了检查某高三毕业班学生的体重情况，从该班随机抽取了位学生进行称重．右图为位学生体重的茎叶图（单位：），其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这位学生体重的平均数与中位数之差为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设，，，则，，的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出等于( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7.若，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知曲线在点处切线的斜率为，则实数的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 一个正四面体的体积为，它的三视图中的俯视图如图所示（其中三个三角形全等），侧视图是一个三角形，则这个三角形的面积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10.半径为的球中有一内接正四棱柱.当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的的侧面积之差是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11.若函数与函数的部分图象如右图所示，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12.如图，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，，且，若为等边三角形，则的面积为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13.已知向量，，若，则实数＿＿＿．‎ ‎14.设变量、满足约束条件则目标函数的最小值为＿＿＿．‎ ‎15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.年，英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而配方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为＿＿＿．‎ ‎16.若直线与圆交于、两点，且、两点关于直线对称，则实数的取值范围为＿＿＿．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在锐角中，设角，，所对边分别为，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，，求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图，平面，，，，，点，分别在，上，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 年二十国集团领导人峰会（简称“峰会”）于月日至 日在浙江杭州召开，为保证会议期间交通畅通，杭州市已发布月日至日为“峰会”调休假期。据报道对于杭州市民：浙江省旅游局联合个市开展一系列旅游惠民活动，活动内容为：“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”，某旅游公司为了解群众出游情况，拟采用分层抽样的方法从有意愿“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”这三个区域旅游的群众中抽取人进行某项调查，已知有意愿参加“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”的群众分别有人.‎ ‎（1）求从“本省游”“黄山游”，“黔东南游”三个区域旅游的群众分别抽取的人数；‎ ‎（2）若从抽得的人中随机地抽取进行调查，用列举法计算这人中至少有人有意愿参加“本省游”的概率.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的焦距为，且过点，其长轴的左右两个端点分别为，，直线交椭圆于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线，的斜率分别为，，若，求的值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知曲线在处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围.‎ 桂林2017届高三12月校际联考卷 数学试卷参考答案（文科）‎ ‎1. ，， ‎ ‎2. . ‎ ‎3. 设公比为，则，得. ‎ ‎4. 平均数，中位数，选.‎ ‎5. ，‎ ‎ ‎ ‎6. . ‎ ‎7. ，则.‎ ‎8. ，，即，解得.‎ ‎9. 设正四面体的边长，其体积为，则，侧视图是一个三角形，它的高等于正四面体的高且高为，它的底边长为，故这个三角形的面积是.‎ ‎10. 设内接正四棱柱底边长为，高为，那么，‎ 正四棱柱的侧面积，‎ 球的表面积与该正四棱柱的的侧面积之差是.‎ ‎11.因为的最大值为，所以，则.将点代入 得，又，则.‎ 所以，‎ 由得，.当时，. ‎ ‎12. 由已知，，又：为等边三角形，所以，所以.在中，，，‎ ‎，，由余弦定理得，所以，，所以双曲线方程为，又在曲线上，所以，解得，即.‎ 所以.‎ ‎13. 由得，，解得. ‎ ‎14. 由，满足的约束条件画出可行域如图所示，‎ 易求出，，，‎ 可知直线过点时，最小值为.‎ ‎ ‎ ‎15. 能被除余且被除余的数就是能被整除余的数，‎ 故.‎ 由得，故此数列的项数为. ‎ ‎16. 、两点关于直线对称，可知直线的斜率为，.‎ 圆心在直线上，‎ ‎，从而，圆方程为 由，消去得.‎ ‎，，解得 ‎17.解：（1），，………………1分 由正弦定理，得，即..………………3分 ‎，即………………5分 ‎（2），.………………6分 由（1）得，解得，.………………8分 为锐角，，.………………9分 ‎，即.………………12分 平面,………………3分 平面，………………4分 又平面，‎ 平面平面.………………6分 ‎（2）若为的中点，且，所以为的中点.‎ 三棱锥的体积也就是三棱锥的体积，其高为，‎ 底面为，所以的面积为，‎ ‎………………12分 ‎19.（1）群众总数为，样本容量与总体中的个体数比为，所以从“本省游”“黄山游”，“黔东南游”三个区域旅游的群众分别抽取的人数为，，‎ ‎.………………5分 ‎（2）设，为在“本省游”中抽得的人，，，为在“黄山游”中抽得的人，，为在“黔东南游”中抽得的人，在这人中随机抽取人，全部可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有种.‎ 随机地抽取的人至少有人有意愿参加“本省游”的结果（记为事件）有：，，，，，，，，，，共有种，所以这人中至少有人有意愿参加“本省游”的概率为.………………12分 ‎20.解：（1）由题意得：，………………2分 解得，，，………………4分 椭圆的标准方程为.………………5分 ‎（2）设，，联立方程，得，‎ 判别式，………………7分 ‎，………………8分 由题意知，，，.‎ ‎，即，得①，‎ 又，，同理，………………10分 代入①式，解得，即，‎ 解得或 又（舍去），.………………12分 ‎21.解：（1）由题意得，因曲线在处的切线方程为，‎ 所以，得，即，又，从而.………………6分 ‎（2）由（1）知对任意恒成立，‎ 所以，即对任意恒成立，从而.………………8分 又不等式整理可得，令，‎ 所以，令得，………………10分 当时，，函数在上单调递增，‎ 同理，函数在上单调递减，所以，………………11分 综上所述，实数的取值范围是.………………12分 ‎22.解：（1）由消去参数，得直线的普通方程为，………………2分 由得，，即圆的直角坐标方程为.………………5分 ‎（2），，，‎ 时最小，此时.………………10分 ‎23.解：（1）当时，不等式为；‎ 当时，不等式转化为.不等式解集为空集；‎ 当时，不等式转化为，解之得；‎ 当时，不等式转化为，恒成立；‎ 综上不等式的解集为.………………5分 ‎（2）若时，恒成立，即，亦即恒成立，又因为，所以，所以的取值范围为.………………10分