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- 2024-01-01 发布
吉林省实验中学 2017-2018 学年度上学期
高三年级第四次月考数学(文科)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.)
1. 已知集合 M={x|x>x2},N={y|y=4x
2
, 0,1x },则 M∩N=( )
A.{x|0<x<1
2
} B.{x|1
2
<x<1} C.{x|0<x<1} D.{x|1<x<2}
2. “(m-1)(a-1)>0”是“logam>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是( )
A. 31
2 cm B. 32
3 cm C. 35
6 cm D. 37
8 cm
4. 执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8,则判断框内可填入的条件是( )
A. ?4
3S B. ?12
11S C. ?24
25S D. ?120
137S
(第 3 题) (第 4 题)
5.设 a>0,b>0,若 a+b=2,则 2 4
a b
的最小值为( )
A.3+2 2 B.6 C.4 2 D.2 2
6 已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
7.若 ABC 的角 , ,A B C 所对应的边分别为 , ,a b c ,且 2a ,
4B , 4ABCS ,则b
( )
A. 5 B. 2 5 C. 41 D. 5 2
8. 将函数 ( ) sin 2f x x 的图像向右平移 (0 )2
个单位后得到函数 ( )g x 的图像,若
对满足 1 2( ) ( ) 2f x g x 的 1x , 2x ,有 1 2 min 3x x ,则 ( )
A. 5
12
B.
3
C.
4
D.
6
9. 已知数列 na 为等比数列,且 2013 2015a a ,则 2014 2012 2014 2016( 2 )a a a a 的值为( )
A. B. 2 C. 2 D. 24
10. 若实数 ,x y 满足不等式组
2 0
{ 1 0
2 0
x
y
x y a
,目标函数 2t x y 的最大值为 2,则实数
a 的值是( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. -2
11. 已知 1 2,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 1 2 2F PF ,则
记 1e 和 2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有( )
A. 2 2
1 2 2e e B. 2 2
1 2 4e e C. 2 2
1 2
1 1 4e e
D. 2 2
1 2
1 1 2e e
12.数列 na 满足 1 2 sin 1 22n n
na a n
,则数列 na 的前 100 项和为( )
A. 5050 B. 5100 C. 9800 D. 9850
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分.)
13. 设向量 ,a b 满足 1a b , 1= 2a b ,则 2 =a b __________.
14. 已知定义在 R 上的函数 f(x)= lg|x|,x≠0,
1, x=0,
关于 x 的方程 f(x)=c(c 为常数)恰有三个不
同的实数根 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=________.
15. 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在半径为 5 2
2
的球面上,且 5PA BC ,
41AC BP , AB CP ,则三棱锥 P ABC 的体积是____________.
16.已知函数 22f x x m 的图象与函数 lng x x 的图象有四个交点,则实数 m 的取
值范围为________.
三、解答题:(本大题共 6 小题,其中 17-21 小题为必考题,每小题 12 分;第 22—23 题
为选考题,考生根据要求做答,每题 10 分)
17.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求 cosB 的值.
(2)若 2, 2 2BA BC b 且 ,求 a 和 c 的值.
18.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA 底面 , ,ABCD BC PB BCD 为等边三角形,
3,PA BD AB AD , E 为 PC 的中点.
(1)求证 BC PAB 平面 ;
(1)求 AB 的长度;
(2)求多面体 PBEDA 的体积.
19.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2n=an
Sn-1
2 。
(1)求 Sn 的表达式;
(2)设 bn= Sn
2n+1
,求{bn}的前 n 项和 Tn。
.
20.(本小题满分 12 分)
已知 1 2,F F 是椭圆 :C
2 2
2 2 1x y
a b
的左右焦点,O 为坐标原点, 31 2P
, 在椭圆C
上,线段 1PF 与 y 轴的交点 N 满足 N 为 PF1 的中点
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)直线 :l y kx m 与椭圆C 相交于 A B、 两点, 3
4OA OBk k ,判断 AOB 的面积
是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 21ln 12f x x bx .
(1)证明:曲线 y f x 在 1x 处的切线恒过定点,并求出该定点的坐标;
(2)若关于 x 的不等式 1f x b x 恒成立,求整数b 的最小值.
请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:参数方程极坐标选讲
以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系
中取相同的长度单位, 直线 l 的参数方程为
22 2
21 2
x t
y t
(t 为参数)圆 C 的极坐标方程为
4 2 sin 4
.
(1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程;
(2)设曲线C 与直线l 交于 ,A B 两点, 若 P 点的直角坐标为 2,1 ,求 PA PB 的值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 2 2 3 , 1 2f x x a x g x x .
(1)解不等式 5g x ;
(2)若对于任意 1x R ,都有 2x R ,使得 1 2f x g x 成立,求实数 a 的取值范围.
吉林省实验中学 2017-2018 学年度上学期
高三年级第四次月考数学(文科)参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B D B A B B C D A D B
13.【答案】 14. 【答案】0 15.【答案】:20 16.【答案】
17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求 cosB 的值.
(2)若 · =2,且 b=2 ,求 a 和 c 的值.
由 b2=a2+c2-2accosB,可得 a2+c2=12,
所以(a-c)2=0,即 a=c,所以 a=c= .
18.
①式两边同除以 Sn-1·Sn,得 1
Sn- 1
Sn-1=2,
∴数列 1
Sn是首项为 1
S1= 1
a1=1,公差为 2 的等差数列。
∴ 1
Sn=1+2(n-1)=2n-1,
∴Sn= 1
2n-1。
(2)又 bn= Sn
2n+1= 1
(2n-1)(2n+1)
=1
2
1
2n+1,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=1
2
1
2n+1
=1
2
1
2n+1= n
2n+1。
19. (1)略(2)AB=1;(3)
试题解析:(2)连接 AC, 因为 PA⊥底面 ABCD, 平面 ABCD,所以 PA⊥BC,又因为
PB⊥BC, ,所以 BC⊥底面 PAB,因为 平面 PAB,所以 AB⊥BC,因为
△BCD 为等边三角形,所以∠ABD=30°.又已知 AB=AD,BD=,可得 AB=1.
20. (1)N 为 中点,而 又为 中点,所以 为 的中位线,又由于
, 所 以 , 由 P 坐 标 可 知 , 所 以
中,由勾股定理得
∴椭圆 标准方程为 .
(2)设 ,由 得,
由 得 ,且有
,且有
因为 ,得 ,即 化简得:
满足 , ,
点 到直线 的距离 ,所以 (定值)
21.试题解析:(1) ,所以 ,
所以 ,
所以 处的切线为 ,
所以 ,恒过 ;
(2)令 恒成立,
因为 ,
①当 时, 递增, ,不成立;
②当 时,当 在 时, 递增;
当 在 时, 递减;
所以函数最大值为 ,
令 ,可知为减函数,因为 ,所以整数 的值为 .
22.试题分析:(1)消去参数 可得直线的普通方程,由公式 可化极坐标方程
为直角坐标方程;(2)直线 的参数方程是过 点的标准参数方程,因此把直线 参数方程
代入圆 的直角坐标方程,方程的解 ,则 ,由韦达定理可得.
试题解析:(1)直线 的普通方程为: ,
,所以 .
所以曲线 C 的直角坐标方程为 (或写成 )..
(2)点 P(2,1)在直线 上,且在圆 C 内,把 代入 ,
得 ,设两个实根为 ,则 ,即 异号.
所以 .
23.试题解析:(1)由 ,得 ,
得解集为 .
( 2 ) 因 为 任 意 , 都 有 , 使 得 成 立 , 所 以
,
又 ,
所以 ,解得 或 ,所以实数 的取值范围为 或 .
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