2017-2018学年河南省安阳市第三十六中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 14页

安阳市 36 中 2017-2018 学年第二学期期中试卷 高二数学（理） 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求.) 1．已知 i 是虚数单位，且复数 z1＝3－bi，z2＝1－2i，若z1 z2 是实数，则实数 b 的值为( ) A．6 B．－6 C．0 D．1 6 2. 在 x2－1 x n 的展开式中，常数项为 15，则 n 的值可以为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b ”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数，若 f(x)，g(x)满足 f′(x)＝g′(x)， 则 f(x)与 g(x)满足( ) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数 5．已知函数 f(x)＝1 2 x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1，则 座号：____ 曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( ) A．2 B.1 4 C．4 D．－1 2 7．曲线 y＝1 3 x3＋x 在点 1，4 3 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.2 9 B.1 9 C.1 3 D.2 3 8. 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若 x＝－1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则 下列图象不可能为 y＝f(x)图象的是( ) 9. 若函数 f(x)＝x＋b x (b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则 f(x)在下列区间上单调 递增的是( ) A．(－2,0) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－2) 10. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选 择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( ) A．16 种 B．18 种 C．37 种 D．48 种 11. 设函数 f(x)＝ x2，0≤x≤1， 1，1＜x≤2， 则定积分 错误!f(x)dx 等于( ) A.8 3 B．2 C.4 3 D.1 3 12．已知函数 f(x)满足 f(x)＝f(π－x)，且当 x∈ －π 2 ，π 2 时，f(x)＝ex＋sin x，则 ( ) A．f(1)＜f(2)＜f(3) B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(3)＜f(1)＜f(2) 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________. 14．平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为________ 15. 已知复数 z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3，则y x 的最大值为________． 16．在同一坐标系中作出曲线 xy＝1 和直线 y＝x 以及直线 y＝3 的图象如图所示，曲线 xy ＝1 与直线 y＝x 和 y＝3 所围成的平面图形的面积为________． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.） 17. 实数 m 为何值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1) 复数 z 是纯虚数 (2) 复数 z 对应的点在 x 轴上方； (3) 复数 z 对应的点在直线 x＋y＋5＝0 上． 18、已知(a2＋1)n 展开式中各项系数之和等于 16 5 x2＋ 1 x 5 的展开式的常数项，而(a2＋1)n 的展 开式的二项式系数最大的项的系数等于 54，求 a 的值 19. （12 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； ②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； ③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 20、某商场销售某种商品的经验表明：该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ a x－3 ＋10(x－6)2.其中 3＜x＜6，a 为常数．已知销售价格 为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获 得的利润最大． 21、已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c ex (a>0)的导函数 y＝f′(x)的两个零点为－3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为－e3，求 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 22、已知函数 f(x)＝ln x. (1)若直线 y＝x＋m 与函数 f(x)的图象相切，求实数 m 的值； (2)证明曲线 y＝f(x)与曲线 y＝x－1 x 有唯一的公共点； (3)设 00，f′(－1)>0， 不满足 f′(－1)＋f(－1)＝0. 9. 若函数 f(x)＝x＋b x (b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则 f(x)在下列区间上单调 递增的是( ) A．(－2,0) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－2) 答案：D 解析：由题意知，f′(x)＝1－b x2，∵函数 f(x)＝x＋b x (b∈R)的导函数在区间(1,2) 上有零点，∴当 1－b x2＝0 时，b＝x2，又 x∈(1,2)，∴b∈(1,4)，令 f′(x)＞0，解得 x＜－ b 或 x＞ b，即 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ b)，( b，＋∞)， ∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．故选 D. 10. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选 择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( ) A．16 种 B．18 种 C．37 种 D．48 种 答案：C 解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共 43 种，甲工厂没有班级去的分配方 案共 33 种，因此满足条件的不同的分配方案共有 43－33＝37 种．故选 C. 11. 设函数 f(x)＝ x2，0≤x≤1， 1，1＜x≤2， 则定积分 错误!f(x)dx 等于( ) A.8 3 B．2 C.4 3 D.1 3 答案：C 解析：错误!f(x)dx＝错误!x2dx＋错误!1dx＝1 3 x31 0＋x2 1＝4 3 .故选 C. 12．已知函数 f(x)满足 f(x)＝f(π－x)，且当 x∈ －π 2 ，π 2 时，f(x)＝ex＋sin x，则 ( ) A．f(1)＜f(2)＜f(3) B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(3)＜f(1)＜f(2) 答案：D 解析：由 f(x)＝f(π－x)，得 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，由 f(x)＝ ex＋sin x，得函数在 －π 2 ，π 2 上单调递增，又－π 2 <π－3<1<π－2<π 2 ， ∴f(π－2)＞f(1)＞f(π－3)，∴f(2)＞f(1)＞f(3)． 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________. 答案：10 解析：在已知等式两边对 x 求导，得 5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3 ＋5a5x4，令 x＝1，得 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10. 14．平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为________ 解析：1 条直线将平面分成 1＋1 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2)＝4 个区 域；3 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2＋3)＝7 个区域；……；n 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n n＋1 2 ＝n2＋n＋2 2 个区域． 15. 已知复数 z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3，则y x 的最大值为________． 答案： 3 解析：∵|z－2|＝ x－2 2＋y2＝ 3， ∴(x－2)2＋y2＝3. 如图可知 y x max＝ 3 1 ＝ 3. 16． 在同一坐标系中作出曲线 xy＝1 和直线 y＝x 以及直线 y＝3 的图象如图所示，曲线 xy ＝1 与直线 y＝x 和 y＝3 所围成的平面图形的面积为________． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.） 17. 实数 m 为何值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i 对应的点在： (1) 复数 z 是纯虚数 (2) 复数 z 对应的点在 x 轴上方； (3) 复数 z 对应的点在直线 x＋y＋5＝0 上． 答案：略 18、已知(a2＋1)n 展开式中各项系数之和等于 16 5 x2＋ 1 x 5 的展开式的常数项，而(a2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项的系数等于 54，求 a 的值． 解析：由 16 5 x2＋ 1 x 5 得， Tr＋1＝Cr 5 16 5 x2 5－r 1 x r＝(16 5 )5－r·Cr 5·x 20－5r 2 . 令 Tr＋1 为常数项，则 20－5r＝0. ∴r＝4. ∴常数项 T5＝C4 5×16 5 ＝16. 又(a2＋1)n 展开式的各项系数之和等于 2n， 由题意得 2n＝16，∴n＝4. 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项 T3，∴C2 4a4＝54. ∴a＝± 3. 19. （12 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； ②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； ③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－1 2 sin30°＝1－1 4 ＝3 4 . (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4 . 证明如下： sin2α ＋ cos2(30° － α) － sinαcos(30° － α) ＝ sin2α ＋ (cos30°cosα ＋ sin30°sinα)2 － sinα·(cos30°cosα ＋ sin30°sinα) ＝ sin2α ＋ 3 4 cos2α ＋ 3 2 sinαcosα＋1 4 sin2α－ 3 2 sinαcosα－1 2 sin2α＝3 4 sin2α＋3 4 cos2α＝3 4 . 20、某商场销售某种商品的经验表明：该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ a x－3 ＋10(x－6)2.其中 3＜x＜6，a 为常数．已知销售价格 为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获 得的利润最大． 解析：(1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以a 2 ＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝ 2 x－3 ＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3) 2 x－3 ＋10 x－6 2 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6. 从而，f ′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)． 于是，当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f ′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 21、已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c ex (a>0)的导函数 y＝f′(x)的两个零点为－3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为－e3，求 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f′(x)＝ 2ax＋b ex－ ax2＋bx＋c ex ex 2 ＝－ax2＋ 2a－b x＋b－c ex ， 令 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c， 因为 ex>0，所以 y＝f′(x)的零点就是 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c 的零点，且 f′(x) 与 g(x)符号相同． 又因为 a>0，所以－30，即 f′(x)>0， 当 x<－3 或 x>0 时，g(x)<0， 即 f′(x)<0， 所以 f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x＝－3 是 f(x)的极小值点， 所以有 9a－3b＋c e－3 ＝－e3， g 0 ＝b－c＝0， g －3 ＝－9a－3 2a－b ＋b－c＝0， 解得 a＝1，b＝5，c＝5， 所以 f(x)＝x2＋5x＋5 ex . 因为 f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以 f(0)＝5 为函数 f(x)的极大值， 故 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取 f(－5)和 f(0)中的最大者． 而 f(－5)＝ 5 e－5＝5e5>5＝f(0)， 所以函数 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是 5e5. 22、已知函数 f(x)＝ln x. (1)若直线 y＝x＋m 与函数 f(x)的图象相切，求实数 m 的值； (2)证明曲线 y＝f(x)与曲线 y＝x－1 x 有唯一的公共点； (3)设 01. 构造函数φ(x)＝1 2 ln x－x－1 x＋1 (x>1)， 则φ′(x)＝ 1 2x －x＋1－ x－1 x＋1 2 ＝ 1 2x － 2 x＋1 2＝ x－1 2 2x x＋1 2>0， ∴φ(x)在(1，＋∞)内单调递增， 又当 x＝1 时，φ(1)＝0，∴x>1 时，φ(x)>0， 即 1 2 ln x>x－1 x＋1 ，则有 1 2 lnb a > b a －1 b a ＋1 成立， 即ln b－ln a 2 >b－a b＋a .即f b －f a 2 >b－a b＋a .