2018-2019学年安徽省淮北一中、合肥六中、阜阳一中、滁州中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 19页

‎2018-2019学年安徽省淮北一中、合肥六中、阜阳一中、滁州中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．抛物线y2＝2x的准线方程是（　　）‎ A．y＝﹣1 B． C．x＝﹣1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线方程是：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．‎ ‎2．在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意，该双曲线的焦点在轴上，排除A、B项；‎ ‎ 又方程的渐近线方程为，‎ 而方程的渐近线方程为，故选C.‎ ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．“若x＝3，则x2﹣2x﹣3＝0”的否命题是：“若x＝3，则x2﹣2x﹣3≠0”‎ B．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件 C．若p∧q为假命题，则p∨q一定为假命题 D．“存在x0∈R，使得ex0≤0”的否定是：不存在x0∈R，使得e0”‎ ‎【答案】B ‎【解析】写出命题的否命题判断；中，由正弦定理判断的正误；若“”为假命题，则、至少一个是假命题，判断；利用命题的否定形式判断.‎ ‎【详解】‎ 对于，命题“若，则”的否命题是“若，则 ‎”，故不正确．‎ 对于，中，“” “”；由正弦定理得“” “”；“ ” “”所以正确；‎ 对于，若“”为假命题，所以、至少一个是假命题，所以错误；‎ 对于，“存在，使得”的否定是：不存在，使得”，不满足命题的否定形式，所以不正确；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系：“”有假则假，全真则真；“”有真则真，全假则假；“”真假相反；考查命题的否定与否命题的区别以及考查三角形中正弦定理，是基本知识的考查．‎ ‎4．如图所示，在长方体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接,交于点,,代入整理即可 ‎【详解】‎ 由题,连接,交于点,‎ 则 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于基础题 ‎5．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1的6个项点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是（　　）‎ A．B，C，A1 B．B1，C1，A C．A1，B1，C D．A1，B，C1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据空间中的线面平行关系，画出图形即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 过点作，则，是上异于点的点，‎ 连接，，如图所示；‎ 则平面即为所作的平面，‎ 则平面，且；‎ 所以这3个点是、、．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间中线面平行的应用问题，是基础题．‎ ‎6．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，及正弦定理求得：，结合即可求得，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∵，为锐角，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，考查大边对大角、三角形的内角和结论在解三角形中的应用，属于基础题.‎ ‎7．我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”即是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，如图：‎ 正方体的体积为，半圆柱的体积为，从而其体积为，故选B．‎ ‎8．已知直线xy﹣2＝0及直线xy+6＝0截圆C所得的弦长均为6，则圆C的半径为（　　）‎ A． B． C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断两条直线为平行直线，求出两平行直线的距离，得到圆心到直线的距离，根据半径，半弦以及圆心距之间的关系求圆的半径即可．‎ ‎【详解】‎ 直线及直线平行，且截圆所得的弦长均为6，‎ 圆心到两直线的距离相等，‎ 两平行直线的距离，‎ 即圆心到直线的距离为，‎ 则圆的半径，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是基础题．‎ ‎9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD，则直线AA1与平面AB1D1所成的角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，‎ 则，0，，，0，，，2，，，0，，‎ ‎，0，，，0，，，2，，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，得，，，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则直线与平面所成的角的正弦值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），过F作圆x2+y2‎ ‎＝b2的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，利用已知条件和，，的关系，可得，，进而得到椭圆方程.‎ ‎【详解】‎ 设，，，过作圆的一条切线，切点为，延长交椭圆于点，若为线段的中点，，，‎ 所以，可得，所以，，解得，，则椭圆方程为：；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是椭圆的标准方程和性质、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．‎ ‎11．正方形ABCD的四个顶点都在双曲线1（a＞0，b＞0）上，若双曲线的焦点都在正方形的外部，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，） B．（） C．（） D．（1，）‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用已知条件列出不等式，转化求解双曲线的离心率的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 令得，，因为双曲线的焦点在正方形的外部，所以，‎ 即，又，‎ 化简可得，‎ 可得，，‎ 解得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎12．如图，在三棱椎A﹣BCD中，底面△BCD为正三角形，且AB＝AC＝AD，设（0＜λ＜1），记AP与BC、BD所成的角分别为α、β，则（　　）‎ A．α≥β B．α≤β C．当λ∈时，α≥β D．当λ∈时，α≤β ‎【答案】D ‎【解析】过点作，交于，过作，交于，连结，，则，，当时，，，，由余弦定理得，由此能求出．‎ ‎【详解】‎ 过点作，交于，过作，交于，连结，，‎ 则是与所成角，即，是与所成的角，即 ‎，‎ 当时，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，取得最大值为4．‎ ‎【详解】‎ 作出，满足约束条件表示的平面区域得到如图的及其内部，‎ 其中，，，‎ 设，将直线进行平移，‎ 当经过点时，目标函数达到最大值，‎ ‎，‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．‎ ‎14．椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任意一点，已知|PF1|+|PF2|＝4，且|F1F2|＝2，则椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】通过，且，求出，，然后求出，即可求解椭圆的四个顶点构成的菱形的面积．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上任意一点，已知，且，可得，，则，‎ 则椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质的应用、菱形面积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．‎ ‎15．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，A（1，2），点P是抛物线C上的一个动点，且P、A、F三点不共线，则△PAF的周长的最小值为_____.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】为抛物线的任一点，连接，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，这时，所以过作准线的垂线与抛物线的交点是使周长最小值的情况．‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 过作垂直于直线的垂线交抛物线与点，连接，‎ 由抛物线的性质得，‎ 则的周长等于，‎ 故三角形的周长的最小值为5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的性质，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎16．已知棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是侧面DCC1D1内（包括边界）的一个动点，且满足∠APD＝∠MPC.则当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为_____.‎ ‎【答案】21π ‎【解析】由题意得三角形相似，再借助函数求最大值，求出的位置在棱上，且时三棱锥的体积最大，然后由三棱锥为一条侧棱垂直于底面的三棱锥，它的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和三棱锥的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积．‎ ‎【详解】‎ 由题意得是的中点，点是侧面内（包括边界）的一个动点，‎ 且满足 ‎，，及．‎ 设，，，，‎ 化简得，当时，，‎ 所以点在上，且时三棱锥的体积最大，‎ 这时底面外接圆圆心为斜边的中点，球心为过垂直于底面的直线与中截面的交点，‎ 则，底面半径，设球的半径，则，，‎ 所以三棱锥的外接球的表面积为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥体积最大时的位置，再求一条侧棱垂直于底面的棱锥的外接球，属于难题．‎ 三、解答题 ‎17．设p：∃x0∈R，使得x02+2ax0+2+a＝0成立；q：∀x＞0，不等式x2﹣2x+a＞0恒成立.若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】a≥2.‎ ‎【解析】因为“ “为真命题，所以，都为真命题．当为真时，方程有解，所以△，解得的取值范围，当 为真时，解得的取值范围，取交集即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 当P为真时，方程x2+2ax+2+a＝0有解，‎ 所以△＝4a2﹣4（2+a）≥0，‎ 解得a≥2或a≤﹣1；‎ 又x2﹣2x+a＝（x﹣1）2+a﹣1的最小值为a﹣1，‎ 故当q为真时，a﹣1＞0，即a＞1，‎ 因为“p∧q“为真命题，所以p，q都为真命题，‎ 由，解得a≥2，‎ 故实数a的取值范围为a≥2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假，属于基础题．‎ ‎18．已知各项均不相等的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4，a9成等比数列.‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝（﹣1）n•an，令cn＝b1+b2+b3+…+b2n，求{cn}的前10项和.‎ ‎【答案】（1）3n﹣2；（2）165；‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，，结合等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（2）求得，由并项求和可得，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）各项均不相等的等差数列的公差设为，，满足，且，，成等比数列，可得，即有，解得，‎ 则；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 所以的前10项和为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查数列的并项求和，化简运算能力，属于基础题．‎ ‎19．如图，已知四边形和均为直角梯形，，且，平面平面，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意可证，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由证之即可；（2）应用等体积转换求体积即可，即 求之.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵平面 平面，平面平面，，平面，∴平面，‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，，‎ ‎∴取，得，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵平面，∴平面．‎ ‎（2）‎ ‎∵，面面，‎ 而面面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ ‎1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.‎ ‎20．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（﹣1，0）.‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求△ABM的外接圆方程；‎ ‎（2）记△AMF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当S1＝4S2时，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）xy+1‎ ‎【解析】（1）由题意求出，的坐标，设圆的一般方程，将，，坐标代入圆的方程求出参数，即求出圆的方程；（2）由题意得面积之比为纵坐标的绝对值之比，求出坐标的关系，代入抛物线方程，求出的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：焦点F（1，0），‎ 当l与x轴垂直时，l的方程：x＝1，代入抛物线得A（1，2），B（1，﹣2），‎ 而M（﹣1，0）设△ABMD的外接圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，‎ 所以：解得：D＝﹣2，E＝0，F＝﹣3，‎ 所以△ABM的外接圆方程：x2+y2﹣2x﹣3＝0；‎ ‎（2）由题意的直线l的斜率不为零，设直线l的方程：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），‎ 设A在x轴上方，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝4m，‎ 由题意知：y＝﹣4y'，‎ ‎∴y'，代入直线得x'1，B在抛物线上，‎ 所以：（）2﹣4（1）＝0，解得m，‎ 所以直线l的方程：xy+1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的综合，属于中档题．‎ ‎21．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，腰长为2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B﹣ADEC，且F为棱BC中点，BA.‎ ‎（1）求证：EF⊥平面BAC；‎ ‎（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，‎ ‎【解析】（1）取中点，连结、，在等腰中，由已知可得，则，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面，则，可得平面，然后证明是平行四边形，得，从而得到平面；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系．求出，，，，的坐标，设，，，求出平面的法向量，由求得，即线段上存在一点，使得平面，再求出平面的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取中点，连结、，在等腰中，‎ ‎，，、分别是边、的中点，，‎ 又翻折后，翻折后，且为等腰直角三角形，则，‎ 翻折后，，且，平面，‎ ‎，平面，则，‎ 又，平面，‎ 又，，且，‎ 是平行四边形，则，‎ 平面；‎ ‎（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系．则，1，，，0，，，0，，，1，，，设，，，‎ 则，‎ 设平面的法向量为，，，则由，取，则，1，，‎ 要使平面，则须，‎ ‎，即线段上存在一点，使得平面，‎ 设平面的法向量为，，，则由，取，则，1，，‎ ‎，‎ 二面角为锐二面角，其余弦值为，‎ 即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），‎ 使得平面，此时二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0），B ，M（x，y）是曲线C上的动点，且直线AM与BM的斜率之积等于.‎ ‎（1）求曲线C方程；‎ ‎（2）过D（2，0）的直线l（l与x轴不垂直）与曲线C交于E，F两点，点F关于x轴的对称点为F′，直线EF′与x轴交于点P，求△PEF的面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（y≠0）；（2）（0，4）‎ ‎【解析】（1）利用斜率公式由题意可得：，化简即可得到曲线方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点的坐标，在求出的面积，利用换元法得到，再令利用导数得到，从而得出的面积的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得：，‎ 化简得：，‎ 故曲线C方程为：（y≠0）；‎ ‎（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），由题意可知直线l的斜率存在且不为零，‎ 设直线l的方程为x＝my+2（m≠0），代入化简并整理得：（m2+4）y2+4my﹣8＝0，‎ ‎∴y1+y2，y1y2，‎ 由题意可知，F'（x2，﹣y2）且x1≠x2，∴直线EF'的方程为y﹣y1（x﹣x1），‎ 令y＝0得，x＝x12＝6，‎ ‎∴点P（0，6），‎ ‎∴S△PEF2，‎ 令t，则t＞2，S△PEF，‎ ‎∵f（t）＝t在（2，+∞）上单调递增，∴f（t）＞3，‎ ‎∴0＜S△PEF＜4，‎ ‎∴△PEF的面积的取值范围为（0，4）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求曲线方程，考查了直线与椭圆的位置关系．‎