数学理卷·2019届天津市第一中学高二上学期期中考试（2017-11） 10页

天津一中 2017-2018-1 高二年级数学学科（理科）模块质量调查试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 ‎90 分钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在 试卷上的无效。‎ 一、选择题：‎ ‎1．已知两条不同的直线 m 、 n ，两个不同的平面 a 、 b ，则下列命题中的真命题是 A．若 m ^ a ， n ^ b ， a ^ b ，则 m ^ n .‎ B．若 m ^ a ， n ∥ b ， a ^ b ，则 m ^ n . C．若 m ∥ a ， n ∥ b ， a ∥ b ，则 m ∥ n . D．若 m ∥ a ， n ^ b ， a ^ b ，则 m ∥ n .‎ ‎2．已知直线 x + a 2 y + 6 = 0 与直线 (a - 2) x + 3ay + 2a = 0 平行，则 a 的值为 A．0或3或 - 1‎ ‎B．0 或 3 C．3 或 - 1‎ ì x - y + 3 £ 0‎ ï ‎D．0 或 - 1‎ ‎3．已知 x, y 满足约束条件 í3x + y + 5 £ 0 ，则 z = x + 2 y 的最大值是 î ï x + 3 ³ 0‎ A．0 B．2 C．5 D．6‎ ‎4．若过定点 M (-1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 + 4 x + y 2 - 5 = 0 在第一象限内的部分 有交点，则 k 的取值范围是 A． 0 < k < 5‎ ‎B． - ‎5 < k < 0‎ ‎C． 0 < k < 13‎ ‎D． 0 < k < 5‎ ‎5．在正三棱柱 ABC - A1 B1C1 中，若 AB = 2, AA1 = 1，则点 A 到平面 A1 BC 的距离为 ‎3 3‎ A． B．‎ ‎4 2‎ ‎C． 3 3 D． 3‎ ‎4‎ ‎6．若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 - ‎4x - x2 有公 共点，则 b 的取值范围是 A． é1 - 2 2,1 + 2 2 ù B． é1 - ‎2 , 3ù ‎C． é-1,1 + 2 2 ù ‎D． é1 - 2 2, 3ù ë û ë û ìx + y £ 4,‎ ï ‎ë û ë û ï ‎7．设不等式组 í y - x ³ 0, 表示的平面区域为 D .若圆 C : (x + 1)2 + (y + 1)2 = r 2‎ îx - 1 ³ 0‎ 不经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是 ‎(r > 0) A． (2‎ ‎2 ,2 5 ) ‎B． (2‎ ‎2 ,3 2 ] C． (3‎ ‎2 ,2 5 ] ‎D． (0,2‎ ‎2 )È (2‎ ‎5 ,+¥ ) ‎8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A．3‎ ‎2‎ B．2‎ ‎3‎ C．2‎ D．2‎ ‎2‎ ‎9．若直线 ax + 2by - 2 = 0(a, b > 0) 始终平分圆 x 2 + y 2 - 4 x - 2 y - 8 = 0 的周长，则 ‎1 + 1 的最小值为 ‎2a b ‎1 5‎ A． B．‎ ‎2 2‎ ‎‎ ‎3 + 2 2‎ C．‎ ‎2‎ ‎‎ D． 3 2‎ ‎10．已知二面角 a - l - b 为 60° ， AB Ì a ， AB ^ l ，A 为垂足， CD Ì b ， C Î l ，‎ ÐACD = 135° ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ A． 4‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎4‎ D． 2‎ 二、填空题：‎ ‎11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的 体积是 （单位：cm3）．‎ ‎12．已知点 A(-1 , 1) 和圆 C ： ( x - 5) 2 + ( y - 7) 2 = 4 ，从点 A 发出的一束光线经过 x 轴反射到圆周 C 的最短路程是 ．‎ ‎13．已知圆 C ： ( x -1)2 + y 2 = 25 与直线 l ： mx + y + m + 2 = 0 ，当 m = 时， 圆 C 被直线 l 截得的弦长最短．‎ ‎14．已知直线 ax + y - 2 = 0 与圆 心为 C 的圆 (x -1)2 + (y - a)2 = 4 相交于 A，B 两点，且 DABC 为等边三角形，则实数 a = ．‎ ‎15．正方形 AP1 P2 P3 的边长为 4，点 B, C 分别是边 P1 P2 , P2 P3 的中点，沿 AB, BC, CA 折 成一个三棱锥 P - ABC （使 P1 , P2 , P3 重合于 P ），则三棱锥 P - ABC 的外接球表面积为 ‎ ．‎ ‎16．若关于 x 的不等式 k = ．‎ 三、解答题：‎ ‎‎ ‎9 - x2 £ k ( x + 2) - ‎2 的解集为区间 [a, b] ,且 b - a = 2 ，则 ‎17．已知点 A(-3,0), B(3,0) ，动点 P 满足 PA = 2 PB ‎（Ⅰ）若点 P 的轨迹为曲线 C ，求曲线 C 的方程 ‎（Ⅱ）若点 Q 在直线 l1 : x + y + 3 = 0 上，直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M ，求 QM 的最小值 ‎18．如图，在三棱台 DEF - ABC 中，（平面 DEF 与平面 ABC 平行，且 DDEF ∽‎ DABC) ， AB = 2DE, G, H 分别为 AC, BC 的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证： BD // 平面 FGH ；‎ ‎（Ⅱ）若 CF ^ 平面 ABC ， AB ^ BC, CF = DE ACFD 所成的角（锐角）的大小.‎ ‎， ÐBAC = 45o ,求平面 FGH 与平面 ‎19．已知圆 C 的圆心在直线 l1 : x - y -1 = 0 上，与直线 l2 : 4x + 3 y + 14 = 0 相切，且截直 线 l3 : 3x + 4 y + 10 = 0 所得弦长为 6‎ ‎（Ⅰ）求圆 C 的方程 源头学子小屋 ‎（Ⅱ）过点 M (0,1) 是否存在直线 L，使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆经过原点?若存 在，写出直线 L 的方程；若不存在，说明理由新疆 http:// www.xjktyg.com/wx/c 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ‎20．如图， DACB 和 DADC 都为等腰直角三角形， M ， O 为 AB ， AC 的中点，且平 面 ADC ^ 平面 ACB ， AB = 4 ， AC = 2‎ ‎2 ， AD = 2 .‎ ‎（Ⅰ）求证： BC ^ 平面 ACD ； （Ⅱ）求点 B 到平面 CDM 的距离 d ‎（Ⅲ）若 E 为 BD 上一点，满足 OE ^ BD ，求直线 ME 与平面 CDM 所成角的正弦值.‎ D E C O B ‎ A M 一、选择题：‎ ‎参考答案 ‎1．A 2．D 3．C 4．A 5．B ‎6．D 7．D 8．B 9．C 10．B 二、填空题：‎ p ‎11． + 1‎ ‎2‎ ‎‎ ‎12．8 13．1‎ ‎14． 4 ± 15‎ ‎15． 24p ‎16． 2‎ 三、解答题：‎ ‎17．‎ ‎（Ⅰ）P（x，y） (x+3)2+y2=4[(x-3)2+y2] x2+y2-10x+9=0‎ ‎（Ⅱ）圆心（5，0）‎ r = 1‎ ‎2‎ ‎‎ ‎100 - 36 = 4‎ ‎| QM |= ‎| QC ‎|2 -16‎ QC ^ l1 时 ‎| QC ‎‎ ‎|min ‎= dc -e1 = ‎8 = 4 2‎ ‎2‎ | QM ‎18．‎ ‎|min = 4‎ ‎（Ⅰ） DF // 1 AC ‎‎ Þ □DGCF Þ O为 DC 中点 Þ DB//OH Þ BD//平面 FGH = 2‎ ‎（Ⅱ）DG//FC ‎∴DG⊥面 ABC EG⊥AC ‎∴如图建系 令 CF=DE=1‎ ‎∴AB=BC=27‎ GB= 2‎ ‎∴B（ 2 ，0，0） C（0， 2 ，0） D（0，0，1）‎ ‎2‎ H（ ，‎ ‎2‎ ì 2‎ ‎2‎ ‎，0） F（0， 2 ，1）‎ ‎2‎ ‎2‎ ï x + í 2‎ ï ‎y = 0‎ ‎2‎ î 2y + z = 0‎ ‎∴面 GFH 法向量 n ‎= (1, - 1, 2)‎ 又面 ACFD 法向量取 m ‎1‎ ‎= (1, 0, 0)‎ ‎∴ cos < ‎m, n = ‎2‎ ‎∴平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小 60°。‎ ‎19．‎ ‎（Ⅰ）‎ ì ïa - b ï ‎- 1 = 0 ①‎ ï(4a í ï ï (3a ‎+ 3b ‎5‎ + 4b ‎+ 14) = r ②‎ + 10)‎ ‎5‎ ï( )2‎ î ‎+ 9 = r 2 ③‎ ‎∴a=2 ∴c(2，1) r=5‎ ‎∴(x ‎- 2)2‎ ‎+ (y ‎- 1)2‎ ‎= 25‎ ‎（Ⅱ）由已知 L 斜率存在设 L：y=kx+1‎ ìy = kx + 1‎ 由 í î(x ‎- 2)2‎ ‎+ (y ‎- 1)2‎ ‎= 25‎ ‎∴(x ‎- 2)2‎ ‎+ k 2x 2‎ ‎= 25‎ ‎(k 2‎ ‎+ 1)x 2‎ ‎- 4x ‎- 21 = 0‎ ‎△=16+84（k2+1）>0‎ x + x = ‎4 , x - x = ‎- 21‎ ‎1 2 k 2 + 1‎ ‎1 2 k 2 + 1‎ ‎2‎ y1y 2‎ ‎= (kx1‎ ‎+ 1)(kx2‎ ‎+ 1) = k ‎x1x2‎ ‎+ k(x1‎ ‎+ x2 ) + 1‎ 由 x1x2‎ ‎+ y1y 2 = 0‎ ‎∴(k 2‎ ‎+ 1) × ‎- 21‎ ‎+ k × 4‎ ‎+ 1 = 0‎ k 2 + 1‎ ‎k 2 + 1‎ ‎-2|k2-2|+4k+k2+1=0‎ ‎20k2-4k+20=0‎ ‎5k2-k+5=0‎ ‎△=1-100<0‎ ‎∴无解 ‎∴不存在 ‎20．‎ ‎（Ⅰ）DO⊥面 ACB ‎∴DO⊥CB 又 BC⊥AC ‎∴BC⊥面 ACD ‎（Ⅱ）C（- 2 ，0，0） D（0，0， 2 ） M（0， 2 ，0） B（- 2 ， 2‎ ‎‎ ‎2 ，0）‎ CM = ( 2,‎ ‎2, 0)‎ CD = (‎ ‎2, 0, 2)‎ ìï 2x + í îï 2x + ‎2y = 0‎ ‎2z = 0‎ ‎∴ M = (1, - 1, - 1)‎ 又 BC ‎= (0, - 2‎ ‎2, 0)‎ ‎∴d = | m ‎× BC | = 2 3‎ ‎| m | 3‎ ‎（Ⅲ）设 DE ‎= lDB DE = OD ‎+ DE ‎= (0, 0,‎ ‎2) + l(- ‎2, 2‎ ‎2, - ‎2) = (- ‎2l, 2‎ ‎2l,(1 - l) 2)‎ 由OE ^ BD BD = (‎ ‎2, - 2 2, 2)‎ ‎∴ - 2l - 8l + 2 - 2l = 0‎ ‎1‎ l = ‎6‎ ME = MD ‎‎ + DE ME ‎‎ = (0, - × m ‎‎ ‎2， 2) + (- 2 + ‎6‎ ‎14‎ ‎‎ ‎2 , - ‎3‎ ‎‎ ‎2) = (- ‎6‎ ‎‎ ‎2 , - 2‎ ‎6‎ ‎‎ ‎2 , 5 2)‎ ‎3 6‎ ‎∴ sin q ‎‎ = ‎| ME ‎‎ = ‎|| m | 21‎